一元二次方程讲义

1、实用标准文档一元二次方程复习课题一兀二次方程,复习课学情分析学生已经可以掌握简单的算法,但是不扎实,强化练习.学习目标与考点分析复习一元二次方程的四种解法以及韦达定理： 函数提升题学习重点 难点用因式分解法、直接开平方法和公式法解简单的一元二次方程配方法,列一元二次方程解决实际问题,并检验解的合理性学习方法例题讲解,课堂随练,归纳总结,课后反思.教学过程知识梳理考点一、概念(1)内容：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是F二次方程.(2) 一般表达式：ax +bx + c = 0(a 丰 0)(3)关键点：强调对最高次项的讨论：次数为“ 2；系数不为“ 0.典型例题：

2、例1、以下方程中是关于x的F二次方程的是()A 3(x+1 2 =2(x+1 )B3+1-2 = 0x xC ax2+bx+c = 0D x2+2x=x2+1变式：当k时,关于x的方程kx2 +2x=x2 +3是一元二次方程.例2、方程(m+2 k"+3mx + 1 0是关于x的一兀一次方程,那么 m的值为.针对练习：1、方程8x2 =7的一次项系数是 ,常数项是.2、假设方程(m 1 x +,1m ,x-1是关于x的一兀一次方程,那么 m的取值氾围是.考点二、方程的解内容：使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解.应用：利用根的概念求代数式的值；文案大全实用标准文档典型例题：例1、

3、2y2 + y 3的值为2,那么4y2 +2y+1的值为.例2、关于x的一兀二次方程a -2 X2+x + a2-4 = 0的一个根为0,那么a的值为说明：任何时候,都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、关于x的一元二次方程ax2+bx+c = 0a #0 的系数满足a+c = b,那么此方程必有一 根为.说明：此题的关键点在于对“代数式形式的观察,再利用特殊根“ -1 巧解代数式的值.例 4、 a=b, a2-2a-1=0, b2 -2b -1=0,求 a+b=变式：假设 a22a1=0, b2 -2b 1 =0 ,那么 a+B 的值为.b a针对练习：1、方程x2+kx-10 =

4、0的一根是2,那么k为,另一根是 o2、m是方程x2 -x -1 =0的一个根,那么代数式 m2-m =.3、 a 是 x2 3x+1 = 0 的根,贝 U 2a26a =.4、方程abf +bck+ca=0 的一个根为A -1B 1 Cb-c D -a5、假设 2x +5y -3 =0那么 4x *32y =.作业：1、假设方程m-2 xm.=0是关于x的一元一次方程,求m的值；写出关于x的一元一次方程.2、关于x的方程x2 +kx-2 = 0的一个解与方程 工匚=3的解相同.x - 1求k的值；方程的另一个解.考点三、解法方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接

5、开方法：x2 = m m - 0 ,= x = m对于x +a 2 = m , ax + m 2 = bx + n f等形式均适用直接开方法文案大全实用标准文档一 ,2 一 一3 1-x -9 = 0;_2_D. x 9 = 0典型例题：例 1、解方程：1 2x2 -8 =0;2 25 -16x2=0;例2、假设9x 1 f =16x+2 2 ,那么x的值为.针对练习：1、以下方程无解的是-9_92A.x2 3=2x2-1 B. x-2 =0 C.2x 3 = 1-x类型二、因式分解法：x-x1奴-x2 =0 = * =不,或* = *2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0,方

6、程形式：如ax+mj =bx+nj, x 十 a x+b = x+a jx + c , x2 + 2ax + a2 = 0典型例题：例 1、2xx -3 =5x -3 的根为.55_2Ax=Bx=3Cx1=,x2=3 Dx= 225例 2、假设4x+y f +34x+ y 4 =0 ,那么 4x+y 的值为.变式 1 : Q2 +b2 2 a2 +b26 = 0,贝Ua2 +b2 =.变式 2:假设x + yj2xy+3=0,那么 x+y 的值为.变式 3 :假设 x2 +xy + y =14 , y2 +xy +x = 28 ,贝U x+y 的值为.例3、方程x2 +|x|-6=0的解为A.

7、 x1=-3,X2=2 B.x=3, X2=-2C. x1=3,X2=-3D.x1=2, X2 = -2例4、解方程：x2+2口3+1 x+2J3+4 =0例 5、 2x2 3xy-2y2 =0,贝U _y 的值为.x - y文案大全实用标准文档变式： 2x2 3xy 2y2 =0,且 x >0, y >0,那么xy 的值为.x - y针对练习：1、以下说法中：方程 x2 + px +q =0 的二根为 x1, x2 ,那么 x2 + px + q = (x -x1)(x -x2) x2 6x -8 =(x -2)(x -4). a2 -5ab 6b2 =(a -2)(a -3)

8、x2 - y2 =(x y)(、.x , y)( x - . y)方程(3x +1)2 _7=0可变形为(3x+1 +<7)(3x+1-77)=0正确的有()A.1个B.2个 C.3个D.4个2、写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1 ,且两根互为相反数： 3、假设实数x、y满足(x +y -3 Kx +y )+2 =0 ,那么x+y的值为()A、-1 或-2B、-1 或 2C、1 或-2D、1 或 2、一Io 14、方程：x +2=2的解是. x22类型三、酉己方法 ax2+bx+c = 0(a 00 )= x+也 Ta

9、c< 2a J4a2在解方程中,多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题.典型例题：例1、试用配方法说明x22x+3的值恒大于0, 10x2 +7x 4的值恒小于0.例2、x、y为实数,求代数式x2 +y2 +2x-4y + 7的最小值.文案大全实用标准文档变式：假设t =2 -v1-3x+12x -9 ,贝U t的最大值为,最小值为.例3、x2 +y2 +4x6y+13=0, x、y为实数,求xy的值.变式 1 : x2 + J2-x-1-4 = 0,贝*!1：.x xx 变式2 :如果a +b + <c1-1 =4jO2 +2而干4,那么a+2b3c的值为.

10、类型四、公式法条件：Q#0,且 b2 -4ac >0 ),2 A公式：x =- , (a * 0,且b2 4ac ' 0 )2a典型例题：例1、选择适当方法解以下方程： 3(1 +xf =6.(x+3'fx+6)=8. x2 -4x + 1 =0 3x2 -4x -1 =0 3(x -1 j(3x +1 )=(x 1 '(2x+5)说明：解一元二次方程时,首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法.考点四、根的判别式b2 -4ac根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它.典型例题：例1、假设关于x的方程x2 +2人x-1

11、 =0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是.例2、关于x的方程(m -1 k2 +2mx + m =0有实数根,那么m的取值范围是()A. m-0且m - 1 B. m - 0 C. m = 1D. m 1例3、二次三项式9x2-(m+6)x+m-2是一个完全平方式,试求 m的值.说明：假设二次三项式为一个完全平方式,那么其相应方程的判别式小=0即：假设b2-4ac = 0,那么二次三项式ax2+bx+c (a 00)为完全平方式；反之,假设文案大全实用标准文档ax2+bx+c (a.0)为完全平方式,b2_4ac=0.针对练习：1、当k 时,关于x的二次三项式x2 +kx+9是完全平方式

12、.2、方程mx2 -mx+2=0有两个不相等的实数根,那么 m的值是.考点五、根与系数的关系前提：对于ax2 +bx+ c =0而言,当满足a/0、上0时,才能用韦达定理.bc王要内谷：x1 x2 -,x1x2 =aa应用：整体代入求值.典型例题：例1、一个直角三角形的两直角边长恰是方程 2x2 -8x+7 =0的两根,那么这个直角三角形的斜边是()A. 3B.3C.6D. 6说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系,必须熟练掌握a + b、a-b、ab、a2 +b2之间的运算关系.例2、解方程组：(1),x+y：Q ,x2：y2、xy=24;、x + y=2.说明：一些含有x+y

13、、x2+y2、xy的二元二次方程组,除可以且代入法来解外,往往还可以利用根与系数的关系,将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时,后者显得更为简便.例3、关于x的方程k2x2+(2k-1k+1 =0有两个不相等的实数根Xi,X2,(1)求k的取值范围；文案大全实用标准文档(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？假设存在,求出 k的值；假设不存在,请说明理由.典型例题：1、关于x的方程(m十1 X2十2mx 3=0有两个实数根,那么m为,只有一个根,那么m为.2、解方程,判断关于x的方程x2 -2(x-k)+k2 = 3根的情况.3、如果关于x的方程x2+kx + 2 = 0及

14、方程x2-x-2k = 0均有实数根,问这两方程是否有相同的根？假设有,请求出这相同的根及k的值；假设没有,请说明理由.考点六：一元二次方程应用题典型例题一例 某公司八月份售出电脑 200台,十月份售出242台,这两个月平均每有增长的百分率是多少？分析 设平均每月的增长率为x.那么九月份售出电脑 (200+200x)台,即200(1 + x)台,十月份售出200(1 +x)+200(1+x)x】台,即200(1 +x)2台,于是根据题意,可以列出方程 .解：设平均每月增长的百分率为x.依题意,有200(1 x)2 =242,2(1 x) =1.21,(1 x)二1.1x1 =0.1, x2 =

15、 -2.1 (不符合题意,舍去)答：平均每月增长的百分率为10%.说明 在有关增长率的问题中,要掌握等量关系：a(1±x)n = p ,其中a为变化前的数,如此题中的200台,p为变化后的数,如此题中的242台,x为增长(降低)率,n为变化次数,如此题从八月到十月份共变化两次,因此n =2.典型例题二文案大全实用标准文档例 某工厂第三年的产量比第一年的产量增长21%,平均每年比上一年增长的百分率为 .解 设平均增长率为x,那么1 +x2 =1 +21%.1 +x =±1.1.X1 =0.1,x2 =/.1 不合题意,舍去.x=10%.说明：此题主要考查利用一元二次方程求平均

16、数增长率的问题,解题关键是设出未知数,列出方程典型例题四例安徽省,1997如图,要建一个面积为150m2的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长为 a米,另三边用竹篱笆围成,如果篱笆的长为35米.1求鸡场的长与宽各为多少？ 2题中,墙的长度 a对题目的解起着怎样的作用？解1设鸡场的宽为 x米,那么x35 2x =150.x1 =10, x2 =7.5.当宽为10米时,长为35-20=15米.当宽为7.5米时,长为35-15=20米.2由1的结果可知,题中的墙长 a对于问题的解有严格的限制作用.当a ：二15时,问题无解；当15Ea<20时,问题有一解,只可建宽为10

17、米,长15米一种规格的鸡场；当a之20时,问题有两解,可建宽 10米,长15米,或宽为7.5米,长为20米两种规格的鸡场.说明：此题考查利用一元二次方程解与面积有关的实际问题,解题关键是设出未知数,表示出长与宽, 根据面积公式列出方程,易错点是在讨论a的限制作用时漏解或表达不清.典型例题五例 将进货单价为40元的商品按50元出售时,能卖500个,该商品每涨价1元,其销售量就要减少10个,为了赚8000元利润,售价应定为多少,这时应进货多少个？分析：该题属于经营问题.设商品单价为50 + x元,那么每个商品得利润 150+x-40】元,由于每涨价1元,其销售量会减少 10个,那么每个涨价x元,其

18、销售量会减少10x个,故销售量为500-10x个,为了赚 得8000元利润,那么应有500 10x450 +x -40=8000 ,进而可以求解.解 设每个商品涨价x元,那么销售价为50+x元,销售量为500-10x个.根据题意,得500 -10x50 +x -40 1=8000 ；整理,得文案大全实用标准文档2 一 一x -40 x 300 = 0解之,得 x =1.,X2 =30.经检验,x1 =10, x2 =30都符合题意.当 x =10 时,50 + x=60, 500-10x=400当 x =30时,50+x=80, 500-10x=200答：要想赚8000元,售价应定为60元或8

19、0元,假设售价为60元,那么进货量应为 400个；假设售价为80 元,那么进货量应为 200个.说明：根据题意列出相应的等量关系是解决问题的关键.对于此题要注意单价的上涨与销售量的减少之间的相互关系.典型例题六例 某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,假设存款的利率不变,到期后本金和利息共 1320元,求这种存款方式的年利率.分析：可设存款的年利率为x ,依题意,以本利和为主线列方程解之.解 设这种存款的年利率为 x ,那么2000元存入一年后,应得本金和利息为2000(1+ x)元,支取1000元后,还有 2000(1 +x)1000】元,再存入一年后,本息应为2000(1 +x)1000,(1 + x)元,依题意,得2000(1 x) -1000 1(1 x) =1320整理,得一 25