初中数学四边形提高练习(辅助线)

1、四边形常见辅助线提高【题型一】若一个四边形的一组对角为直角，且其中一个直角的两边相等，则可以作两条垂线，可以构造出一个正方形其实，这个图也可以看做是把AND旋转以后得到的正方形,应用举例1 .如图，四边形 ABCD中，AB=BC, / ABC = /CDA =90 , BEX AD于点E,且四边形 ABCD的面积为8,则BE=()A. 2 B. 3C. 2y/2D , 2/3B发散思维：也可以连接BD,旋转BDC会得到一个什么形？2 .如图，在四边形 ABCD中，/ A=90 , / ABC与/ ADC互补.(1)求/ C的度数;(2)若BOCD且AB=AD,请在图5上画出一条线段，把四边形A

2、BCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由;(3)若 CD=6, BC=8, SHW abcd =49,求 AB 的值.3 .在 ABC中，/ ACB为锐角，动点 D (异于点B)在射线BC上，连接 AD ,以AD为边在AD的右侧作正方形 ADEF ,连接CF.1 / 12如图一，当点D在线段BC上时，线段 CF与BD之间的位置、大小关系是(直接写结论)(1)若 AB=AC, / BAC=90 那么A如图二，当点 D在线段BC的延长线上时，中的结论是否仍然成立？请说明理由(2)若ABKAC, / BACK 90。点D在线段BC上，那么当/ ACB等于多少度时，线段 CF与

3、BD之间的位置关系仍然成立。请画出相应图形,并说明理由。图(二)2.如图，矩形 ABCD的两边 AB = 3,图L)【题型二】四边形一边上的动点到两对角线距离之和1.已知正方形 ABCD的边长为a,两条对角线 AC、BD相交于点O,P是射线 AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF,垂足为 E、F.(1)如图1,当P点在线段AB上时，求PE + PF的值.(2)如图2,当P点在线段AB的延长线上时，求 PE-PF的值.BC=4, P是AD上任一点，PE AC于点E, PF BD于点F。求PE+PF的值3.如图， ABC中，AB=AC, AD、AE分别是BAC及其外角CAF的平

4、分线，CE AE(1)求证：AB=DE 若 S arc 48 , AD=8, P为线段CE上的动点，设 x为点P到直线AC的距离，y为点P到直线AB的距离，求y与x的函数关系式,ABC并写出自变量 x的取值范围B【题型三】正方形内部有垂直线段，则一定有全等或可以构造全等;1. (2010浙江绍兴)(1)如图1,在正方形 ABCD中，点E, F分别在边 BC, CD上,AE, BF交于点O, / AOF = 90求证：BE=CF.(2)如图2,在正方形 ABCD中，点E, H, F, G分别在边 AB, BC, CD ,DA上，EF,GH交于点 O,/FOH = 90EF4.求GH的长.图1图2

5、3 / 122 .如图i ,在正方形ABCD中，E, F, G, H分别为边AB, BC, CD, DA上的点HAEB FCGD ,连接EG, FH ,交点为O如图2,连接EF, FG, GH , HE ,试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论;矩形内部有垂直线段，则一定有相似或可以构造相似;3.小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决:(1)如图1,正方形 ABCD 中，作 AE 交 BC 于 E, DFAE交AB于F ,求证 AE DF(2)如图2,正方形 ABCD点e, F分别在 AD,BC上点G, H分别在AB, CD上，且EFGH求图i图25 / 12

6、EF的值;GH(3)如图 3,矩形 ABCD, AB a , BCb,点E, F分别在AD, BC上且EFGH求EF的值.GH第2题(1)4.如图，矩形ABCD , M为CD中点，点 E在线段MC上运动，GH垂直平分AE,垂足为O,分别交于 AD、BC于点G、H , AB=3, BC=4.(1)求 AE: GH;（2）设 CE x ,四边形AHEG的面积为 y ,求 y关于X的函数关系式；当 y取最大值时，判断四边形AHEG的形状，并说明理由.【题型四】连接四边中点所得到的四边形1 .顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形2 .顺次连结对角线相

7、等的四边形四边中点所得的四边形一定是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形3 .顺次连结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形4 .顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形一定是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形【题型五】有角互余，则暗示应该构造直角三角形：让这组互余角成为一个三角形的内角1 .如图，在梯形 ABCD 中，DC /AB, /A + / B=90 。若 AB=10, AD=4, DC=5,则梯形 ABCD 的面积为2 .已知在梯形 ABCD中，ADBC, Z B与Z C互余，AD =5, BC=

8、13, / c=60 ,则该梯形的面积为3 .上底长为3,下底长为15,若此两个底角，则两底中点间的距离为1.在直角坐标系中，已知点 A【题型六】线段旋转90。，必有全等三角形,O是坐标原点.若连接 OA,将OA绕点O逆时针。得到 OB,则点B的坐标是2.如图1,在平面直角坐标系中， 点B的坐标是（10）,若点A的坐标为（a,b）/BA绕点B顺时针。得到 BA,则点A的坐标是3.如图2,直角梯形 ABCD中，AD II BC , AB BC , AD =2,将腰CD以D为中心逆时针旋转 90至DE,连接 AE、CE , ADE的面积为3,则BC的长为【题型七】直角顶点在正方形中心，必有全等；直

9、角顶点在矩形中心，必有相似1. 如图，两个正方形的边长均为1,其中一个的顶点在另一个的中心，则两个正方形重合部分的面积为2. 一次数学兴趣活动，小明提出这样三个问题，请你解决:(1)把正方形 ABCD与等腰RtZXPAQ如图1所示重叠在一起，其中/RAQ = 90 ,点 Q在边BC上，连接PD ,求证： ADPA ABQ.(2)如图2, O为正方形 ABCD对角线的交点，将一直角三角板FPQ的直角顶点F与点O重合，转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交于点M、N,求证：OM =ON .(3)如图3,将(2)的正方形改为矩形，其它条件不变，如果AB=4, AD=6, FM =x, FN=y,试

10、求y与x之间的关系式.P【能力提升】1.如图 3,在直角梯形 ABCD 中，AD II BC, Z ABC=90 , BD DC,BD = DC, CE平分/ BCD ,交 AB于点E,交BD于点H, EN / DC交BD于点N,下列结论：BH=DH;CH= J2 1S ENHEH;S EBHEH.其中正确的是(ECA.B.只有C.只有D,只有82.如图4,将两张长为 8,宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8,那么菱形周长的最大值是3. （ 2011湖北武汉市）如图 5,在菱形 ABCD中，AB=BD,点E, F分一别在AB, 1rAD上，

11、且AE = DF.连接 BF与DE相交于点 G,连接CG与BD相交于点H ,下列结论：（）.3AEDZXDFB;S四边.bcdg = CG2;若 AF=2DF,则BG=6GF .其中正确的结论4A,只有.B.只有.C.只有.D.图5图64.已知：如图6 ,在正方形 ABCD 外取一点E，连接 AE BE DE *过点a作 AE 的垂线交 ED 于点p .若AE AP 1，PB J5,下列结论： APDa AEB；点B到直线AE的距离为J2 ； EB ED ； S apd S apb 1 V6 ；S正方形ABCD 4 76其中正确结论的序号是（）A.B,C.D.5. （2011四川重庆，24,

12、10分）如图，梯形 ABCD中，AD II BC , Z DCB =45 , CD =2, BD CD .过点C作CE AB于E,交对角线 BD于F.点G为BC中点，连结 EG、AF.(1)求EG的长;(2)求证：CF = AB +AF.13 / 126如图，在RtzXABC中，ACB 90, B 60 , BC 2点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D .过点C作CE / AB交直线l于点E,设直线l的旋转角为.(1)当 度时，四边形 EDBC 是等腰梯形，此时 AD的长为当 廖时，四边形 EDBC 是直角梯形，此时 AD的长为；(2)当9

13、0时，判断四边形 EDBC是否为菱形，并说明理由.7.如图，在梯形ABCD 中，AD / BC,E 是 BC 的中点，AD=5, BC=12, CD =4 J2 , / C= 450，点 P 是 BC 边上一动点，设 PB 长为 x.(1)当x的值为 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形(2)当x的值为时，以点P、A、D、 E为顶点的四边形为平行四边形(3)点P在BC边上运动的过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由8. （2011湖北咸宁，22, 10分）（1）如图，在正方形 ABCD中， AEF的顶点E, F分别在BC , CD边上，高AG与正方形的边长相

14、等，求/ EAF的度数.（2）如图，在 RtAABD中，/ BAD=90 , AB=AD,点M, N是BD边上的任意两点，且/ MAN =45 ,将 ABM绕点A逆时针旋转90 至AADH位置，连接 NH,试判断 MN, ND , DH之间的数量关系，并说明理由.(3)在图中，连接 BD分别交 AE, AF于点M, N,若EG=4, GF=6, BM=3j2,求AG, MN的长.9. （2010江苏连云港）（本题满分10分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线.如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线.（1）三

15、角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有;（2）如图1,梯形 ABCD中，AB II DC,如果延长 DC到E,使CE=AB,连接 AE,那么有 S棉.abcd = 8 ade .请你给出这个结论成立的理由, 并过点A作出手形 ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图2,四边形 ABCD中，AB与CD不平行，3adc 8abc ,过点A能否作出四边形 ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线， 并给出证明；若不能，说明理由.10. （2011?营口）已知正方形 ABCD，点P是对角线 AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运

16、动而运动，PE=PD总成立.（1）如图（1）,当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想 PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）（2）如图（2）,当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由;（3）如图（3）,当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时 PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）图（1）图（2）图（3）11. （ 2009山东德州）已知正方形ABCD中，E为对角线 BD上一点，过 E点作EFLBD交BC于F,连接 DF , G为DF中点，连接 EG, CG.（1

17、）求证：EG = CG;将图中 BEF绕B点逆时针旋转 45o,如图所示，取 DF中点G,连接EG, CG .问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图中4 BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）图图【厦门中考】1 . （9分）已知四边形 ABCD, AD/BC,连接BD .（1）小明说：“若添加条件 BD2=BC2+CD2,则四边形 ABCD是矩形.你认为小明的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举出一个反例说明.(2)若BD平分/ABC, /DBC=/BDC, tan / DBC = 1,求证：