专题05参数方程与极坐标(精讲篇)-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

1、专题05参数方程与极坐标本专题所说的参数方程不仅指直线和圆锥曲线的参数方程，还包括在解题过程中要根据具 体情况自行选取的参数 .参数在解题过程中起到桥梁”作用，用参数沟通其他量之间的关系，最后消去参数，达到解题目的 .本专题思维导图如右16思路点拨要求y 1 x2,就要把 p的坐标表示出来，注意到曲线是半圆，想到圆的参数方程，转化为三角函数最值问题；当然，P的坐标也可以用(x, V)表示，最终可转化为 X代数式求最值;uur -uuu uuu由于|BA|=J2是定值，由数量积的投影几何意义可知，只要求 BP在BA上投影的最大值，于是，有下面三种解法：解 1 设 P(cos ,sin ),uuu

2、 uuu0,，则 BA (1,1),BP(cos ,sin1)，uuu uuuBA BP cos sin1.2sin(-) 1.因为一4一，所以 4-)1,故 0 sin( -)+11.解 2 设 P(x, y), 1 xuuu um1,则 BP BAy+1.那么222'222 c(x y) x 1 x 2xv1 x 1 x 1 x 2,所以x y 2 ,当且仅当x= 1 x2 ,即x= 2时等号成立;2当 x 1 时，x y 1,所以 0 x y 1 J2 1.uuu um uuu uuruur _解 3 由 BP BA=|BP|BA cos PBA , |BA|=J2uuu uuu

3、uuu uurBPgBA的最大值就是BP在BA上投影的最大值的 J2uuu倍，这只要作 BA的垂线且与半圆相切，如图的点 P .VN(l,0 卜、，.一，、 一 一 u当P位于P时，此时直线uuuP B恰与BA垂直时数量积最小，最小值为 0.、一 一 '.设直线PM的方程为 yxb,圆心到直线的距离d1,解彳导b V2, bJ2J2 (舍)，因此，在| BM |(.2 1).uuu uuu uuur uun所以 BPgBA = |BM|BA| ="(.2 1) 22 1.2uuu uuu一综上所述，BPgBA的取值范围是0,J2 1.2例2设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物

4、线y 2 px(p 0)上任意一点，M是线段PF上的点，且pm|=2|mf，则直线OM的斜率的最大值. 32(A)3(B) 3、2(C) 2(D) 1思路点拨设出点P 2 pt2 , 2 Pt,M x , y ,用参数t表示xy,把直线OM的斜率表示成t的函数，然后求最值.一 2 一2pt ,2ptx , y (不妨设tuuu0),则 FP2pt2uuurp,2Pt. FM 21 uur-FP ， 3P22 Pt3所以洱232 Pt3 ,-2t所以kOM一12t2v2-，所以kOM max ,故选（C）.i max.2例3在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x 3cos ,y sin ,

5、（ 0为参数），直线l的参数方程为y14t,（t为参数） t,(1)若a=-1，求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l的距离的最大值为 折求a.思路点拨第(1)题将参数方程化为直角方程后，直接联立方程求解即可.第(2)题将参数方程直接代入距离公式即可.满分解答将曲线C的参数方程化为直角方程为1,直线化为直角方程为1x141 1a.4（1）当 a=-1时，代入可得直线为由y 由2 x1x49y234解得21故而交点为21253cos sin ,3cos 4 sin 4依题意得:17dmax 后,225或25空或254 0,则当sin当a+4 0 ,则当sin3,0 .1+ -a4的距离为5si

6、n17其中tan1时最大，即1时最大，即5 a 4 17a 9 17,a 16；综上a16或a 8.3 cos , %（为1 sin直线 l的极坐标x例4在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数万程为y参数).以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,方程为 0, R .(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于不同的两点 P,P2,指出0的范围，并求的取值范围思路点拨(1)将曲线C的参数方程先消参化简得到直角坐标方程，再代入x cos及y sin化简即可.(2)将 0代入曲线C的极坐标方程得出韦达定理，再根据的几何意义代入韦达定理，并x t cos n利用三角函数的最值

7、问题求解即可.也可以把极坐标系下的方程0用参数方程y tsin 0(t为参数)，代入圆的方程，由|?= |?1?, |?= |?2?|,并利用韦达定理即可得所求表达式。当然若利用几何意义，则更简单。【满分解答】,、 x 3 cos(1)将曲线C的参数方程，消去参数，y 1 sin得 x .3 y 1 2 1.将 x cos 及 y sin 代入上式，得 2 273 cos 2 sin 3 0.(2)解1 (用极坐标)依题意由知00,.3将0代入曲线C的极坐标方程，得2 273 cos 0 2 sin 0 3 0.,P210Pl0P22.3 cos 0 2sin 034一 sin3因为0，3，所

8、以nt 4 .，则一sin3晅4，所以|0R|1的取值范围为2、30F2（用直线的参数方程）设直线1的参数方程tcostsin（t为参数），代入圆的方程2, 0，则 12 273cos 0 2sin 0, 1 2 3，所以整理得?-(2 v3?2?+ 3=0.OP2t2t1 t22.3 cost1t20 2sin °34 asin 0,以下同解1.1Op11OBmopOP 0F2当直线1与圆相切时,op = op，=7310P2的最小值为了当直线1过圆心时,0P2 1, 0F2 =2+1 '此时函画的最大值为4 o本题本意考查圆参数方程化简极坐标的方法，同时也考查了极坐标的几

9、何意义与三角函数求最值的方法.实际上，把直线的极坐标方程化成直角坐标的参数方程也可以，利用切割线定理则十分简单。M(2)例5已知抛物线C:y2 2x ,过点2,0的直线l交C于A,B两点，圆 是以线段AB为直径的圆.证明：坐标原点0在圆M上；设圆M过点P 4, 2 ,求直线|与圆M的方程.思路点我第（1）只需证明OA 0B,可以用向量的数量积为0,也可以利用斜率之积等于-1.第（2）.求圆方程需要确定圆心题设点A、B坐标可以根据抛物线方程设出参数式，也可以设普通形式和半径，根据不同选择参数的方法，用参数表示圆心和半径，再根据其他条件求出圆心和半径即可.满分解答,221 2b 2a解1 (1)设

10、A 2a ,2a , B 2b ,2b ,则直线AB的斜率是kAB 222b 2a一 一12所以AB的方程为 y (x 2a2) 2a,a b令y=0得直线与x轴交点横坐标 xuur uLir22OA OB 2a 2b命I播浮,有PA PB 2a22a 2b 4ab ab_ 2_4 2b2 4222a(a b)+2 a 2ab 2,即 ab1,因此2a0,因此命题得证.2 2b4a2b28 a2b24abb 202ab200,解得a b 1或a因为直线l的方程为2x 2a b的圆心坐标为a2 b2,a b所以当ab 1时,直线l的方程为的圆心坐标为M的方程为 x2, a22 y 1b2= (a

11、 b)22ab10.1一时，直线l的方程为22x4,圆M的圆心坐标为，圆M的方程为(1)1 y 2A x-y8516x my y2 2x2又X -Y-人x1一2,Bx2,y2,l : xmy 2.2可彳# y2 2my 42, x2= T2-, 所以 x1x2 =0,则 YiY22V】V2 = 4.4y1 y2因OA的斜率与OB的斜率之积为 一g=x x2-4=-1 4所以OA OB.故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得 y1+y2=2 m,x+x2 =my1+y22,4=2 m 4 .故圆心P(4, 2),故x1 2 .M的坐标为 m +2, m ,圆uur uuu因此 APgBP 0.

12、4 x2 4y12y2 2的半径由于圆M过点x 4 x+x2yy2 2 y y220由（1）可得%丫2=-4,*2=4,所以2m2当m 1时，直线l的方程为x2 0,圆心m的坐标为（3, 1）,圆M的半径为 J10 , _ 2圆M的方程为 x 31012时，直线l的方程为2x9 10 ,圆心M的坐标为 一， ，圆M的半径4 2为晅,4M的方程为29x 48516已知椭圆(1)若点P在(2)8 3P(5,5)(3)若点uuiruuuu占 C PQ 4PM八、)上,y2 ”是其上顶点，M是x轴正半轴上的-点。且P在第-象限，|OP|APM为直角三角形，求上一动点，且 P不在上顶点,M的坐标;PQ过

13、点M , AQ交uuur uurAQ 2AC,1AM 11PM |,求直线AC的方程.思路点拨第（1）只要解方程组即得。第（2）题要哪个角是直角进行讨论。第（3）题设出P, M的坐标，通过已知条件去表示出点C或Q的坐标，从而求出直线 AC的方程。其中点可设P(x,y),或 P(2cos,sin )。满分解答(1)设P(x,y),则2.33632,3 6、P(丁学.M (m,0)( m0），则uuuu AM(m,uuu1),AP8(5,25)uuuu 8PM (m -, 535) 0uuuu AMunrAP8-m50, m14(舍);一时, 2uuuu PMuuurAP一时,2uuur uuuu

14、AM PM88"(m -)55,8、m(m -)5625350,m0, m292029-3综上，M (,0) , (1,0)或(30)。205(3)解 1 设 M (m,0), P(x, y),由 MA MP 得 Jm2 1,(x m)y2 2mx 1又P(x, y)在椭圆上，所以3x2-得咨2mx 0.4因为点P不为上顶点，所以3-x8uuur uuuu由 PQ 4PM 得 Q(4m3y)uuur 由AQuuur2AC 得 C(4m 3x 1 3y),代入椭圆方4m 3x 2程(2)4(L_3y)2 1 ,整理 9x2236y2216m2 24mx 24 y 12。将式代入得2 m

15、23mx3y 3联立式解得遮38.59194.5 12.5 2从而Q( , ),C(,一),所以AC方程y3 33 3x 1.10解 2 设 P(2 cos,sin ),M (m,0)uuur uuu,m 0,则 OQ OPuur uuuPQ OPuuur 4PM=(2cos ,sin )+4 m 2cos , sin )(4m 6cos , 3sinuuur 1 uuu uuuOC (OA OQ)2/c c1(2m 3cos ,-把点c坐标代入椭圆方程得，_、 2,_、 2(2m3cos)(13sin)I=1 ,22m 6mcos3sin又 |AM | |PM|,所以1 (m 2cos、22

16、)sin ,即 4mcos 3cos 。因为P不过顶点,所以 cos把代入得 9 sin2 -8sin 1 0，即(9sin1) (sin D =0 ,因为p不过顶点，所以sin 1,从而sin 1,于是C( "5 -)，所以AC直线的方程为y Y5x 1 93 310第(2)题中若点P、Q关于直线l对称，则直线PQ的方程为y=-x+n,代入直线方程利用韦p的取值范围.这里是选n作为参数达定理可得中点坐标，利用判别式可得不等式，由此解出也可以用 熏差法”，用点P、Q坐标作为参数 满分解答(1)因为l:x y 2 0与x轴的交点坐标为2,0 ,即抛物线的焦点为2,0 ,即E 2,2所以

17、抛物线方程为 y2 8x .(2)解1由已知可设直线 PQ的方程为y=-x+n,代入抛物线方程整理得y2 +2 py -2pn=0.4p2 4( 2pn) 4p2 8pn 0,即 p 2n 0.(*)设点P Xi，w , Q x2,y2 , M (%,丫。)为PQ中点，则由韦达定理得y0 yy2p,代2入直线方程l :x y 2 0解得x0 2 p ,所以线段PQ上的中点坐标为2 p, p .因为2 p, p在直线y=-x+n上，所以 p p 2 n,即n 2 2p ,代入(*)得rr 44p 4 4 p 0,即 p 一，所以 p (0,-).332I41一，另解 因为2 p, p在抛物线焦点

18、区域内，所以 (p) 2p(2 p),即p 一，所以34p (0,，3设点P Xi, yi , QX2, y2 ，则2 yi2y22 PXi'即2 PX2,2 yi2p2 y22pxi,从而kpQX2?yi y222yiy22 p 2p2Pyi y2又P,Q关于直线l对称，所以kpQV22pyiV22又PQ中点一定在直线l:x y。上，所以XX2-2yi_y22-p，所以线段PQ的中点坐标为 2 p, p .因为线段PQ的中点坐标为P，由此可得XiX2yi y22p22yi V22P即 2p,yi2yiV2y222p,8p 4p2,yiNN2y2 2p,4 p2 4 p.即关于y的一元二次方程 y2 2 py24pi0有两个不等根所以0,即2P4 4p24解得P 0-.3注此题结论可推广为:,心 2my=kX十m对称，贝1 k若抛物线2 _y =2px(p> 0)上存在与坐标轴不对称的两点关于直线若用此结i仑立得k=i,m=-2 ,代入上式得43P-4<0 ,所以 p 0,3还可推广到椭圆和双曲线的情况22例8已知椭圆E： 上 i的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为 t 3k(k 0)的直线交E于A, M两点，点N在E上，MA