“未来教育”案例1悬链线和多边形

1、未来教育”案例 1悬链线和多边形、团队介绍1）团队介绍：2）团队成员介绍：、问题来源我们都知道车轮是圆的， 但是在科技馆中有一件展品叫做方轮与圆轮， 我们看到尽管轨 道不平，方轮车也能作平稳运动，这个原因是因为下面的轨道是悬链线。而对于任意正 n 边 形的车轮，满足平稳前行的道路形状又该是怎样的呢？多边形是数学当中常见的基本图形， 也是初中生学习当中欧几里得方面重要的一环。 而 悬链线在工程学当中有着非常非常重要的应用。、解决方案如果直接给学生一个正多边形轮子的小车， 和相应的轨道， 同学们可能推两下觉得挺有 意思的，就放到一边不管。我们希望通过一个学生亲自制作的过程，让学生们自己能够动手 来

2、研究和思考，尽管对于任意正 n 边形的车轮，满足平稳前行的道路形状也是一个悬链线。 首先我们通过数学推导得到公式，而后通过 CAD 作图得到拼查结构的模型，而后用激光切 割机进行加工得到成品。3.1数学推导作图如下3.2 推导过程y=y(x) 为轨道方程，其中 I(x,y) 是正方形车轮与“道路”的一个切点，根据道路与车轮 的关系，线段 AI 的长度要等于弧 KI 的长，记该长为 s，用微积分的符号表示为(x0 左端的一个零点)我们有以下关系从中解出 s，得到将两个 s 用等号联系起来，得到积分方程 通过取导数变化得到根据初始条件，可以得出 C=0，于是最终的轨道方程为这是一条悬链线。3.3

3、多边形推导对于任意正 n 边形的车轮，它依旧只是一条悬链线！设正n 边形的边长为 2a，高为 h，方程为：四、方案和模型4.1 CAD 作图 通过数学推导得到公式，而后通过 CAD 作图得到拼插结构的模型，而后用激光切割机 进行加工得到成品。4.2尺寸标注 （略）4.3. 激光切割4.4 组装得到的成品五、作品前景展望5.1教育意义通过方轮与圆轮这个展品， 我们可以知道方轮也可以代替圆轮做平滑的滚动， 而且轨道 是一条悬链线。但其实不只是方轮， 正多边形的轮子都可以代替圆轮，而且轨道的形状也是 一个悬链线。当轮子半径一定的时候，正多边形的轨道都是同样的悬链线，只不过是距地面 的高度降低了一些。

4、从这个角度出发，我们会得到一个极限的思想，当正多边形的边数的增 加，下面的轨道也愈趋于平缓，当无限边数时，轨道就成为了一条直线，而轮子也变为了圆 形。这样就延伸了展品的内涵。这样这个产品既可以在科技博物馆或学校，可以用其做逆向 思维及动手、 数学等学科教育， 学生自己也可以作为一个益智项目通过产品本身进行学习和 认知。5.2 改进展品该设计的市场前景看好， 我们也可以通过改进来丰富科技馆这个展项的内容。 科技馆的 展品可以从原来只有方轮和圆轮的情况变为多种情况， 通过提供不同种类的轮子， 例如莱洛 三角形，正六边形、八边形之类供观众进行拼装，这样通过互动操作和体验来扩充原有展项 所展示的内容。

5、未来教育”案例 2锥体上滚一、团队介绍（1）团队介绍：（2）团队成员介绍：二、问题来源我们都知道水往低处流， 在重力的作用下几乎所有物体都会有从高处向低处运动、 降低 重心的趋势，这样的现象屡见不鲜，若展品直接展示此运动规律很难给观众留下深刻印象。 我们希望设计一件展品， 通过演示它看起来与常理不符的现象， 引发观众好奇， 但经过实验、 探索之后，观众可发现展品背后的原理，加深印象与认识。三、解决方案3.1 展品名称及设计思路 我们计划设计相应道具，利用轨道和物体，展示物体在重力作用下，重心降低，但看起 来却是从轨道低端自发向轨道高端运动的现象。经多次测试，我们拟选用两根支撑杆架设为 V 形倾

6、斜轨道，闭口端低，开口端高，同 时选用中间厚， 两边薄的对称物体作为实验物体， 通过物体在轨道不同处支撑点不同的特点， 让物体随着在轨道的上升运动，实际重心则降低。根据两边薄、中间厚、具有对称性、在轨道上可以持续滚动等特点，我们选择了双圆锥 体作为实验物体。双圆锥体，即将两个同样的圆锥体底面对底面拼接起来。根据计算，密度 均匀的双圆锥体， 其重心位于两端点连线的中点，即原本圆锥体底面圆心处。故展品名称为 锥体上滚。3.2展品原理在 V 形轨道最低处，两根支撑杆距离较小，在此处双圆锥体与支撑杆的接触点最靠近 中间最厚部分，此时双圆锥体的重心最高，重力势能最大。在 V 形轨道最高处，两根支撑 杆的

7、距离最大， 在此处双圆锥体与支撑杆的接触点靠近两端最薄处， 此时双圆锥体的重心最 低，重力势能最小。 所以，当从轨道最低处释放双圆锥体， 双圆锥体会沿着轨道滚向最高端， 重心逐渐降低，重力势能逐渐减小，转化为锥体滚动时的动能。原理图如下：在这个设计中， 有一些参数会影响到锥体是否能上滚。 所以我们可以推导出满足锥体上 滚的条件。3.3 数学推导若双圆锥体从轨道低处到轨道高处重心高度会降低， 根据能量守恒， 双圆锥体始终能上 滚；若双圆锥体从轨道低处到轨道高处重心高度升高，双圆锥体则不会上滚；而双圆锥体上 滚的临界情况， 则是当双圆锥体在轨道低处和轨道高处重心高度没有变化时， 双圆锥体在轨 道任

8、何地方均可保持稳定。作图如下设双圆锥体顶角为 ，长度为 n，底面直径为 m，则有tan /2 (m/2)/(n/2)m/ n（1）当双圆锥体在轨道最高处时，轨道张开宽度应与双圆锥体长度相同，即 s =n ，若轨道张开角度为 ，则有tan /2 (s/ 2)/ls/ 2l（2）由（ 1）（ 2）两式可得tan /2 * tan /2 ( m/ n) *(s/ 2l ) m/ 2l（3）m 2l * tan /2tan /2（4）设轨道与水平面倾斜角度为 , 双圆锥体滚动至轨道最高处时，锥体轴线（两端点连线）与水平面高度为 h，如图 2（a） ，则 tanh/lh l * tan（ 5 ）由图 2

9、（a） 知，若双圆锥体刚好可以滚动，需满足 m/2 h ，带入（ 4）（5）两式，则有tan /2 * tan /2 tan（ 6）该式即为我们讨论的锥体上滚能实现的条件。四、方案和模型根据以上计算出来的条件，通过 CAD 作图得到方案如下（尺寸略） ：通过制作相应展品并成功实现。当双圆锥体被放置在轨道低处并释放时， 双圆锥体会自发向轨道更高处滚动过去， 实现 锥体上滚。五、作品前景展望通过体验锥体上滚这件展品， 观众可第一时间观察到看似与常识不符的现象， 即双圆锥 体沿着倾斜轨道向更高的地方滚动上去， 引发观众的注意与思考， 进而继续探索是否有与常 识不一致的物理定律导致了上滚的现象。 我们

10、鼓励观众可以用自己随身携带的其他物品进行 体验，如水杯等，引导观众注意到双圆锥体的形状特点，以及轨道随着上升还张开了一定角 度等，最终明白双圆锥体虽然随着轨道上升，但重心实际上依然在下降。未来教育”案例 3转动惯量一、团队介绍（1）团队介绍：（2）团队成员介绍：二、问题来源我们知道物体保持静止状态或匀速直线运动状态的性质， 称为惯性， 度量物体惯性大小 的是质量。而与惯性类似， 转动惯量则是度量刚体绕轴转动惯性的量， 又称惯性距、惯性矩。 刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等 工业领域也是一个重要参量。 惯性的大小是和物体的质量有关， 但是转动惯量的

11、大小是和什 么有关呢？我们希望通过设计一个展品，来帮助观众了解转动惯量。三、解决方案3.1 展品设计思路转动惯量是刚体绕轴转动时惯性 （回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性） 的量度。 转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速 度的大小）无关。我们计划利用轨道使物体在重力的作用下下滚， 通过两个轨道来比较具有同等重量但形 状不同的物体的滚动速度。计划设计六个相同重量的旋转物体，分别是：质量分布远离圆心 的圆形、质量分布靠近圆心的圆形、 质量分布远离中心的三角形、质量分布靠近中心的三角 形、质量分布远离中心的正方形、质量分布靠近中心的正方形。3.1数学推导 转动惯量的计算公式如下：（式中 mi表示刚体的某个质元的质量， ri 表示该质元到转轴的垂直距离， 求和号遍及整个刚 体）从公式中我们可以看出，物体质量越集中，转动惯量越小，就越难改变其初始状态四、方案和模型4.1 CAD 作图根据以上计算出来的条件，通过 CAD 作图得到方案如下：重量分布主要集中在转盘上面的三个圆环上，圆环采用铜质，转盘采用轻质材料轨道设计如下：采用同样高度的两组轨道并排放置4.2 尺寸标注 （略）五、作品前景展望该设计