《概率论与数理统计》考试题(含答案)

1、概率论与数理统计考试题一、填空题(每小题 2 分，共计 60 分)1、A、B是两个随机事件，已知 p(A) 0.5,p(B) 0.3，则a)、若 A,B互斥，则 p(A- B) ; b)若 A,B 独立, 则p(A B) ;c)、若 p(A B) 0.2,则 p(A B) 3/7 .2、袋子中有大小相同的红球 7只，黑球 3 只，(1) 从中不放回地任取 2 只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 7/15 。(2) 若有放回地任取 2 只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/50 。(3) 若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取 第二只球 , 则第一、二次取到

2、球颜色不同的概率为：21/55 .3、设随机变量 X服从泊松分布 ( ), pX 7 PX 8 ，则E X 8 .4、设随机变量 X服从B(2，0. 8 )的二项分布 , 则 p X 2 , Y 服从 B(8，0. 8 )的二项分布 , 且 X 与 Y相互独立，则 PX Y 1 =1- ，E(X Y) 8 。5 设某学校外语统考学生成绩 X 服从正态分布 N(75，25)，则该学校学 生的及格率为 ，成绩超过 85分的学生占比 PX 85 为 。其中标准正态分布函数值 (1) 0.8413, (2) 0.9772, (3) 0.9987 .XY10-1a1是有体 N(8,16)6、设二维随机向

3、量 (X , Y)的分布律 则a ， X的数学期望 E(X) ， X与Y 的相关系数 xy 。7、设 X1,., X16及Y1,.,Y8分别是总 的容量为 16，8的两个独立样本， X,Y 分别为样本均值， S12 ,S22分别为样本方19差。则： X N(8,1)， X Y N(0, ， p X Y 2 1.5 = ，15 S12 2(15) ， S12 F(15,7) 。 此 题 中16 1S22(1) 0.8413, (2) 0.9772, (3) 0.99878、设X1 ,.X2 , X 3是总体 X 的样本，下列的统计量中， A，B，C 是E(X)的无偏统计量， E(X) 的无偏统计

4、量中统计量 C最有效。A. X1 X 2 X3B. 2X1 X3 C. 1(X1 X2 X3)3D.X1 X 29. 设某商店一天的客流量 X是随机变量 , 服从泊松分布 ( ), X1 ,., X 7为总体 X的样本， E( X )的矩估计量为 X ，160，168，152，153，159，167，161为样本观测值，则 E( X )的矩估计值为 16010、在假设检验中，容易犯两类错误，第一类错误是指： 下拒绝 H0 的错误 , 也成为弃真错误。H0 成立的条件、(6分)已知随机变量 X的密度函数 f(x)x2 , 20,x其它求：( 1)常数 a ，2) p(0.5 X4)(3)X 的分

5、布函数 F(X)解:(1) 由 f (x)dx 1,得 a 2(2) p(0.5 X44)= 04.5 f (x)dx(3)F(x)1-2x22xe x , 0 x,0 , 其它、(6分)设随机变量 X，Y的概率密度分别为： fX (x)fY(y)1,01,其它，且随机变量 X，Y相互独立（1）求（X，Y）的联合概率密度为： f （x,y） （2）计算概率值 p Y 2X 。 解 :（1）X ， Y 相 互 独 立 ， 可 见 （ X ， Y ） 的 联 合 概 率 密 度 为 f（x，y） fX（x） f（Y y）,xe,0 x,0 y 1f (x, y)0e , 其它2(2) P(Y 2X

6、)f (x,Y)dxdyy 2x1 1 x2 dx e x dy0 2x3 '=3e 1 11'四、（8 分）从总体 X N(u,2） 中抽取容量为25 的一个样本，样本均值 和 样 本 方 差 分 别 是 ： X 80,S2 9 t0.025 (24) 2.0639,x02.975(24) 12.4, x02.025 (24) 39.36求 u 的置信度为的置信区间和 2 的置信度为的置信区间。解: (1)n=25, 置信水平 1 0.95, /2 0.025, t0.025(24) 2.0639,X 80,S2 9由此 u 的置信水平为的置信区间为3(80 2.0639)

7、, 即(80 1.238) 4 '25(2) n=25, 置 信 水 平221 0.95, /2 0.025, x02.975 (24) 12.4, x02.025 (24) 39.36S2 9由此 2 的置信水平为的置信区间为 :24 9 24 9( 224 9 , 224 9 ) (5.49,17.42) 4 '0.025 (24)0.975 (24)五、(8分)设总体X服从均匀分布U(a,b), X1, , X n是X的一个样本，求 a, b的矩估计量nn解:设 X的一阶样本矩、二阶样本矩分别为 A1 1Xk,A2 1 Xkt 值在拒绝域内 , 故拒绝 H 0 , 认为该

8、校长的断言不正确 . 七、(8 分) 设某衡器制造厂商的数显称重器读数近似服从正态分布N(u, 2), 2,u未知,现他声称他的数显称重器读数的标准差为不超过10 克, 现检验了一组 16只数显称重器 ,得标准差 12克，试检验制造商的言是否正确(取，nk 1 nk 122X 的一阶 矩、二阶矩分别为 E(X) a b,E(X2) a b ab , 令 234'E(X)abA1,E(X2)b2 abA2b? 3(A2 A12) A1 a? A1 3(A2 A12 )2'六、(8 分)某地区参加外 语统考的 学生成绩近 似服从正 态分布N(u, 2),u, 2未知,该校校长声称学

9、生 平均成绩为 70 分，现抽取 16 名学生的成绩，得平均分为 68 分，标准差为 3 分，请在显著水平0.05下，检验解: 按题意学生成绩 X 该校长的断言是否正确。 (此题中 t0.025(15) 2.1315 )N(u, 2),u, 2未知,现取0.05检验假设 :H0 :u u0 70,H1：u u0 70用 t 检验 , 现有 n 16，0.05，t 0.025 (15)2.1315 , 拒绝域为 :2 't x 70t s/ 162.1315,由: x 68,s3, t x 70 2.67,s/ 160.05)，此题中 02.05 (15) 24.9962'2&#

10、39;2'1'解: 按题意数显称重器读数 X N（u,H0 : 10,H1：102),u,2未知, 现取 0.05检验假在 H 0 成立的条件下，用绝域为不在拒绝域内, 故接受检验 , 现有n 16，2 (n101)s222 s 1022 (n 1)0.05，t 0.025 (15)24.996 ,02.05(15)24.99615102122 21.624.996H0 , 认 为 读数 的标 准差 不显 著 超过10 克 .1'现有一八、（6 分） 某工厂要求供货商提供的元件一级品率为 90%以上， 供应商有一大批元件，经随机抽取 100 件，经检验发现有 84 件为

11、一级品 , 试以 5%的显著性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。（已知 Z0.05 1.645 ，提示用中心极限定理）解 总体 X 服从 p 为参数的 0-1 分布，H0 : p p0 0.9, H1: p p0 0.9 2X1 ,., X100为总体 X 的样本，在 H 0成立条件下，选择统计量X p0，由中心极限定理，z近似服从标准正态分布，则拒绝域为z z0.05经计算该体 z 2 z0.05 ，即得 Z 在拒绝域内 ,故拒绝 H 0 ，认为这个供应商提供的元件的一级品率没有达到该厂方的的要求东莞理工学院(本科)试卷( B 卷)2006-2007 学年第二

12、学期一、填空题(每小题 2 分，共计 50 分)1、A、B是两个随机事件，已知 p(A) 0.25,p(B) 0.5,P(AB) 0.125 ， 则p(A - B) ; p(A B) ; p(A B) .(3) 4 只中没有白球的概率为：2、袋子中有大小相同的 5 只白球， 4 只红球， 3 只黑球， 在其中任 取4只(1)4 只中恰有 2 只白球 1 只红球 1 只黑球的概率为：C52C41C31C142(2) 4 只中至少有 2 只白球的概率为：1 C83C41 C84 .1C142.C74C1423、设随机变量 X 服从泊松分布 ( ),pX 5 PX 6 ，则 E X6 .4、设随机变

13、量 X服从 B(2，0. 6 )的二项分布 ,则pX 2 , Y服从 B(8，0. 6 )的二项分布 , 且 X与Y相互独立，则 PX Y 1 =E(X Y) 6 。5 设某学校外语统考学生成绩 X 服从正态分布 N(70，16)，则该学校学 生的及格率为 ，成绩超过 74分的学生占比 PX 74 为 。其中标准正态分布函数值 (1) 0.8413, (2) 0.9772, (2.5) 0.9938.6、有甲乙两台设备生产相同的产品，甲生产的产品占60%，次品率为 10%；乙生产的产品占 40%，次品率为 20%。(1) 若随机地从这批产品中抽出一件 , 抽到次品的概率 为；( 2)若随机地从

14、这批产品中抽出一件，检验出为次品，则该产品是甲设备生产的概率是 3/7 .7、设 X1 ,., X10及Y1 ,.,Y15分别是总体 N (20,6)的容量为 10，15 的两个独立样本， X,Y 分别为样本均值， S12, S22分别为样本方差。则：X 3N(20,3/5) ，X Y N(0,1) ，p X Y 1 = ，3S12 2(9)， S212 F(9,14)。S22此题中 (1) 0.8413, (2) 0.9772, (3) 0.99878、设X 1,.X 2, X 3是总体X的样本，下列的 E( X )统计量中， C 最有 效。1A. X1 X 2 X3B.2X1 X3 C.(

15、X1 X2 X3)39. 设某商店一天的客流量 X是随机变量 , 服从泊松分布 ( ), X1 ,., X 7为总体 X 的样本， E( X )的矩估计量为 X ，15,16,18,14,16,17,16 为样本观测值，则 E(X) 的矩估计值为 1610、在假设检验中，往往发生两类错误，第一类错误是指 H0 成立的条件下 拒绝 H0 的错误 , 第二类错误是指 H1 成立的条件下拒绝 H1 的错 误 , 显著水平 是指控制第一类错误的概率 小于 .、(6分)已知随机变量 X的密度函数 f (x)1 x2 , 0 x0 , 其它求：(1)常数 a ，x2, 0 x 2,0 , 其它2) p(

16、1 X 3) (3)X 的分布函数 F(X)解:(1) 由f (x)dx 1, 得a22(2) p(31 X3)=1f(x)dx3 2 122 dx0 1 x2320x0(3) F(x)arctanx20x2、(6分)设随机变量 X，Y的概率密度分别为： fX (x)fY(y)2y, 00,1）求（ X，Y）的联合概率密度为：f(x,y)2）计算概率值解 :(1)X ， Y相互独立，可见X，Y）的联合概 率密度为f（x，y） fX（x） f（Y y）,xy, 0f (x, y)0xy, 02,0 y其它2)P(Y X 2)f (x,Y )dxdy1dx 2 xydy四、（8 分）从总体 X N

17、(u,和样本方差t0.05(24) 1.71, x0.95(24) 13.85, x02.0510x1'2 ）中抽取容量为 25 的一个样本，样本均值分 别 是 X(24) 36.42 分别求 u、80,S2 9 ，2 的置信度为的单侧置信下限。解: （1）n=25, 置信水平1 0.95,0.05, t0.05(24)1.71,80,S2 9 由 此 u的置信水平为的单侧置信下限为 : 8031.71 78.974 4 '25(2) n=25, 置信水平 10.95,0.05, x02.05 (24) 36.42S2 9 由 此 2 的 置 信 水 平 为 的 单 侧 置 信

18、 下 限 为 :24 902.05(24)4'五 、（8分）设总体 X服从N（u, 2）, 2已知,u未知。 X1, 一个样本，求 u 的极大似然估计量，并证明它为 u 的无偏估计。,Xn是 X的解: 样本 X1 ,., X n的似然函数为 :y 1,，且随机变量 X，Y 相互独立。 其它L(x1,.,xn,u) (2 ) n/2 expn1(xi u) 22k1ln L( x1 ,., xn ,u)n/2ln(2 )1 (xi2 k 1u)2d(ln L(x1,.,xn,u)dun(xik1u) 0解得u? 1nxink11的 最 大 似 然 估 量 u? 1nXink1E(u?)E

19、(1nnk1Xk ) u它 为 u 的 无 偏 估 计 量六、（8 分）一工厂生产化学制品的日产量 （ 以吨计）近似服从正态分布 , 当800 吨, 现测得最近 5 天的产量分别为 :785,805,790,790 ， 0.05 ），此 题中设备正常时一天产802， 问是否可 以认 为 日产量显著不 为 800 吨。（取t 0.025 (4)2.7764 。解:按题意日产量X N(u, 2),u, 2未知,现取0.05检验假设 :H0:u 800,H 1：u 800用 t 检验 , 现有 n5，0.05，t0.025(4)2.7764 ,拒绝域为 :x 800t s/ 52.7767,算得: x 794 .4, s 8.6169 , tx 800s/ 51.4527 ,),组 16 只温度计 , 得标准 0。 7 度，试检验制造商的言是否正确（取 题中0.05），此02.05(15) 24.996 。解:按题意温度计读数X N(u,2）,u, 2未知, 现取0.05检验假设H0:0.5,H 1：0.51