七年级数学竞赛题：有理数的计算

1、七年级数学竞赛题：有理数的计算在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算， 当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的 计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算 每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理 数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算.数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地 算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵 活选用算法和技巧，提高计算的速度.有理数的计算常用的技巧与方法 有：1 .利用运算律；2 .以符代数；3 .裂项相消4 .分解相约；5 .巧用公式等

2、.例题与求解例1已知m、n互为相反数，a、b互为负倒数，x的绝对值等于3.则 x3 一（1+m+n+ab）x2 + （m+n）x-<XI1 + （ ab） 2<XJ2 的值等卜.（2002年湖北省黄冈市竞赛题）解题思路利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算.例2把足够大的一张厚度为0. 1mm的纸连续对折，要使对折后 的整叠纸总厚度超过12mln,至少要对折（）.（A）6 次 （B）7 次 （08 次 （D）9 次（2002年江苏省竞赛题）解题思路探索对折的规律，运用估算求解.例3计算：（1） 1 H1 +H；1 + 2 1 + 2 + 31 + 2 + 3 + .+100

3、（“祖冲之杯”邀请赛试题）（2） 7 + 72 +73 +74 +. + 7,W8;（江苏省泰州巾奥校竞赛题）（3） 19492 -19502 +19512 -19522 +.+ 19972 -19982 +19992.（北京市竞赛题）解题思路对于（1）,若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不 妨先从考察一般情形入手；对于（2）,由于相邻的后一项与前一项的比 都是7,考虑用字母表示和式；（3）式使人联想到平方差公式.例4设三个互不相等的有理数，既可表示为1, a+b, a的形式，又可表示为0、b的形式，求4999 +/尸100的值.a（“希望杯”邀请赛试题）解题思路由于三个互不相等的有理数有

4、两种表示形式，因此，应 考虑对应分情况讨论.例5有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法（第一 次可以是加法，也可以是乘法），每次加法，将上次运算结果加2或加 3：每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3,例如，30可以这样得到：（D证明：可以得到22；（2）证明：可以得到2m+297 2.'（全国初中数学竞赛题）解题思路要证明可以得到相应的数，只要依据程序编出相应的 程序即可.1 .初一 “数学晚会”上，有十个同学藏在10张盾牌后面，男同学的 盾牌前面写的是一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数，这10 张盾牌如下所示：«2+0. 13 (一3"19994(-2

5、)51-118 19-99则盾牌后面的同学中，有女同学 人，男同学 人.2 .有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1 至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除 四则运算，例如对1, 2, 3, 4,可作运算：（1+2+3） X4=24（注意上述运 算与4X （1+2+3）应视作相同方法的运算）.现有四个有理数3, 4, -6, 10运用上述规则写出三种不同方法的运算式，使其结果等于24, 运算式如下：（1）'（2）/3）（2000年杭州市重点中学加送试题）111 13. 计算：(1) 3?5 +577+ ?79+,"+1997x199

6、9（2）（ - 0.25）4 x（8）3 2 + （_2只 （,6）-u（_!_）=.4 .将1997减去它的L再减去余下的二再减去余下的23L再减去余下的二，依此类推，直主最后减去余下的上,451997最后的答数是.（“祖冲之杯”邀请赛试题）5 .如果对于任意非零有理数定义运算如下:心则5%心）=-6 .如果有理数满足关系式。40一那么代数式练牛 an c的值（）.（A）必为正数（B）必为负数（C）可正可负（D）可能为0（第十六届江苏省竞赛即）7 . 一摆ll，一圈，一If这四个数由小到大的排列顺序是（ ）.、_1997 _971998- 981998"' 981999、9

7、9 1998199798971999 199899 - 98，、97,一98 . 1997 .1998（C98' "99"" 1998''1999小、981998/ 97,.1997（D991999'" 98'"T9988 .若a与（一。）互为相反数,则"喘*"=（）.（1997年重庆市竞赛题）（A） 0（B） 1（C） -1（D） 19979 .如果（a + 公2M = 1（4一）2002 = 1,则触十户颂的值 是（）.（A） 2（B） 1（C） 0（D） -1（第十三届“希望杯”

8、遨请赛试题）10 .若a、b、c、d是互不相等的整数,且a/九力=9.则a+，+c+d等 于（ ）.(A) 0(B) 4(C) 8（D）值无法确定11 .把 1 ； .3.7.6 12.9.4.6 分别填在 图4 > />.个。内,再在每个口中填上和它相连的 三个。中的数的平均数，再把三个口中的平均 数填在中.找出一种填法,使 41的数尽可 能小,并求这个数.华罗庚金杯”少年数学邀请赛）12 .已知、（都不等于零.且I, + ； +； +解5的最大值 为7.最小值为,求1998的值.L计算（> :）+（>卷+1）+（上+煮+（第十届"五羊杯''

9、竞赛题）2.计算：2 22-23-2'-2s-2,:-2t 2、一2'十2想二.（第十届“希望杯”遨请赛试题）世（1X2X4+2X4X8+ + 2 4“.； 9+2X6X18HHj393一.4 .据美国詹姆斯马丁的测算，在近十年，人类知识总量已达到 每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度，因 此，基础教育的任务已不是“教会一切人一切知识，而是让一切人会学 习”.已知2000年底，人类知识总量为以a.假如从2000年底到2009年 底是每3年翻一番；从2009年底到2019年底是每1年翻一番：2020 年是每73天翻一番.则:（1）2009年底人类知识总量是

10、一一：（2）2019年底人类知识总量是一一：（3）2020年按365天计算，2020年底人类知识总量是.（2002年北京市顺义区中考题）5 .你能比较两个数2001加工和20022的大小吗？为解决这个问题，我们先写出它的-股形式,即比较与（+ D"的大小（是自然数），然后,我们从分析，?=1，? = 2，? = 3,中发 现规律,经归纳、猜想得出结论.（1）通过计算.比较下列各组中两个数的大小（在空格中填写 号） V _ 2】；23_3。©45_5*；5弓_63 （2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想出和的大小关系是：（3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个

11、数的大小 200120022002加I（2002年福建省龙岩市中考题）6 .如果ac<0,那么卜.面的不等式。<0,奴2<0,/<<0.<，<；0, 4小VO中必定成立的有（）.（A） 1个 （B） 2个 （C） 3个 ）4个7. a Jf 都是有理数,代数式 a 4/> .a': -b .（abY . （a F/?）2 b' + l.a2 +从+o. ooi工/ +3/ +1中.其中值为正的共有（）个.（A） 3（B）4（05（D）68 .三进位制数201可用十进位制数表示为2 X3工'+°X3】+1 = 2X

12、9+0+1219：二进位制数1011可用十进位制法表示为IXT+0X22+ lX2' + l=8+0+2+l=ll.前者按3的事降暴排列，后者按2的事 降基排列，现有三进位制数a=221,二进位制数b=10111,则a与b的 大小关系为（）.(A) a>b (B) a=b (C) a<b 不能判定（2001年重庆市竞赛题）9 .如果有理数a. b、c、d满足a+b>c+d,则（ ）. （第十一届“希望杯”邀请赛试题）(A) a-l + b+W>c+d(B) a2+b>c2+d2(C) J+Qn()3+-410 .有1998个互不相等的有理数，每1997个的和都是分母为 3998的既约真分数，则这1998个有理数的和为（）.（学习报公开赛试题）（A）