初二数学压轴几何证明题(含规范标准答案)

1、1 .四边形ABCD是正方形， BEF是等腰直角三角形，/ BEF=90 , BE=EF ,连接DF, G为DF的中点，连接EG, CG, EC.(1)如图1 ,若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；(2)将图1中的4BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)将图1中的4BEF绕点B顺时针旋转a (0 a 90 ),若BE=1 , AB=,当E, F, D三点共线时，求DF的长及tan ZABF的值.解:理由是：过G作GH LEC于H , ZFEB= ZDCB=90. EF/ZGH /D

2、C,.G为DF中点，. H为EC中点，1 1. EG=GC , GH= Z (EF+DC) = 2(EB+BC ),即 GH=EH=HC ,ZEGC=90 ,即AEGC是等腰直角三角形，EC.CC =的;解：结论还成立，理由是：如图2,延长EG到H,使EG=GH ,连接CH、EC,过E作BC的垂线EM ,延长CD,在nEFG 和4HDG 中rCF = GDt FGE=zDGH.EG = HC.ZEFGzHDG (SAS), .DH=EF=BE , /FEG=/DHG,. EF/ZDH , ./= Z2=90 -Z3= /4, .ZEBC=180 -74=180 - Z1= ZHDC ,在AEB

3、C和AHDC中EE = DH,BC = CD ZEBg/HDC . .CE=CH , /BCE= ZDCH ,ZECH= ZDCH+ ZECD= ZBCE+ ZECD= ZBCD=90 .ZECH是等腰直角三角形，. G为EH的中点，EC.EGXGC, GC =V5,即（1）中的结论仍然成立；图3解：连接BD,1. AB=、屋,正方形ABCD ,.BD=2 ,BE 1 .cos ZDBE= ED = 2ZDBE=60.DE= V3be=/3,.DF=DE-EF= V3-1 ,解析：(1 )过G作GH，EC于H,推出EF/GH /DC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求1 1出 EG=GC ,

4、 GH= 2 (EF+DC) = 2 (EB+BC ),推出 GH=EH=BC ,根据直角三角形的判定推出 EGC是等腰直角三角形即可；(2)延长EG至ij H,使EG=GH ,连接CH、EC,过E作BC的垂线EM ,延长CD,证4EFGZHDG ,推出 DH=EF=BE , ZFEG= ZDHG ,求出/ EBC= ZHDC ,证出EBCzHDC ,推出CE=CH , /BCE=/DCH ,求出AECH是等腰直角三角形，即可得出答案；BE 1(3)连接 BD,求出 cos/DBE= ED = 2 ,推出/DBE=60 ,求出zABF=30 ,解直角三角形求出即可.2.已知正方形 ABCD和等

5、腰直角三角形 BEF, BE=EF , /BEF=90 ,按图1放置，使点E在 BC上，取DF的中点G,连接EG, CG.延长EG交DC于H,试说明：DH=BE .(2)将图1中4BEF绕B点逆时针旋转45 ,连接DF ,取DF中点G(如图2),莎莎同学发现： EG=CG且EGXCG.在设法证明时他发现：若连接 BD ,则D, E, B三点共线.你能写出 结论 EG=CG且EGLCG”的完整理由吗？请写出来.将图1中4BEF绕B点转动任意角度a (0Va90),再连接DF ,取DF的中点G(如图3),第2问中的结论是否成立？若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由. EF/ZDH ,ZE

6、FG= ZGDH ,而/EGF=/DGH , GF=GD ,GEFzGHD ,. EF=DH ,而 BE=EF,.DH=BE ;(2)连接DB,如图,. ZBEF为等腰直角三角形,ZEBF=45而四边形ABCD为正方形,ZDBC=45 .D, E, B三点共线.而/BEF=90 ,/FED为直角三角形，而G为DF的中点，. EG=GD=GC , ZEGC=2 ZEDC=90 ,. EG=CG 且 EGXCG;(3)第2问中的结论成立.理由如下：连接AC、BD相交于点 O,取BF的中点M ,连接OG、EM、MG ,如图,V F,G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，. OG /BF,

7、GM /OB ,四边形OGMB为平行四边形， .OG=BM , GM=OB ,而 EM=BM , OC=OB , .EM=OG , MG=OC , ZDOG= ZGMF ,而/DOC= ZEMF=90 ,ZEMG= ZGOC ,.ZMEGzOGC,. EG=CG , /EGM= ZOCG ,又. /MGF= ZBDF , ZFGC= ZGDC+ ZGCD ,ZEGC= ZEGM+ ZMGF+ ZFGC= ZBDF+ ZGDC+ ZGCD+ ZOCG=45 +45 =90 , . EG=CG 且 EGXCG.解析：(1)由/BEF=90 得至 ij EF/DH,而 GF=GD，易证得GEF/GH

8、D，得 EF=DH，而 BE=EF , 即可得到结论.(2)连接DB,如图2,由4BEF为等腰直角三角形，得/ EBF=45 ,而四边形ABCD为正 方形，得/ DBC=45 ,得到D, E, B三点共线，而 G为DF的中点，根据直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半得到EG=GD=GC ,于是/EGC=2 ZEDC=90。，即得到结论.(3)连接AC、BD相交于点 O,取BF的中点M ,连接OG、EM、MG ,由G为DF的中 点，O为BD的中点，M为BF的中点，根据三角形中位线的性质得OG /BF, GM /OB ,得至U OG=BM , GM=OB ,而 EM=BM , OC=OB ,得至

9、U EM=OG , MG=OC ,又/ DOG= ZGMF ,而/DOC= ZEMF=90 ,得zEMG= ZGOC ,则AMEG 且/OGC ,得到 EG=CG , / EGM= ZOCG ,而/MGF= ZBDF, ZFGC= ZGDC+ ZGCD ,所以有/ EGC=/EGM+ ZMGF+ZFGC= ZBDF+ ZGDC+ ZGCD+ ZOCG=45 +45 =90 3.已知正方形 ABCD和等腰RtBEF, BE=EF , /BEF=90 ,按图放置，使点F在BC上, 取DF的中点G,连接EG、CG.（1）探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；（2）将图中4BEF绕B点顺时针旋转4

10、5 ,再连接DF ,取DF中点G（如图），问（1）中的结 论是否仍然成立.证明你的结论；将图中4BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0到90 之间，再连接DF,取DF的中点G（如图），问（1）中的结论是否仍然成立，证明你的结论.解：（1） EG=CG 且 EGXCG.证明如下：如图，连接 BD. 正方形ABCD和等腰 RtBEF,ZEBF= ZDBC=45 . B、E、D三点共线.ZDEF=90 ,6为口5 的中点，/ DCB=90 . EG=DG=GF=CG .ZEGF=2 ZEDG , /CGF=2 /CDG .ZEGF+ /CGF=2 /EDC=90 ,即/EGC=90 , EGXCG.(

11、2)仍然成立，证明如下：如图，延长 EG交CD于点H. .BEX EF,，EF/CD ,，/1= /2.又.与二 /4, FG=DG , .ZFEGzDHG ,.EF=DH , EG=GH . ZBEF为等腰直角三角形， .BE=EF, .1.BE=DH . .CD=BC , .1.CE=CH . .ZECH为等腰直角三角形.X /EG=GH ,. EG=CG 且 EGXCG.(3)仍然成立.证明如下：如图，延长 CG至H,使GH=CG ,连接HF交BC于M ,连接EH、EC. . GF=GD , ZHGF= ZCGD , HG=CG , .ZHFGzCDG ,.HF=CD , ZGHF= Z

12、GCD , .HF /CD . 正方形ABCD ,. HF=BC , HF BC. .ZBEF是等腰直角三角形， .BE=EF, /EBC=/HFE, .ZBECzEEH,.HE=EC , /BEC=/FEH,ZBEF= ZHEC=90 ,.ZECH为等腰直角三角形.y.CG=GH ,. EG=CG 且 EGXCG.解析:(1)首先证明B、E、D三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明 EG=DG=GF=CG ,得到/EGF=2 ZEDG , ZCGF=2 ZCDG ,从而证得/ EGC=90 EG=CG 且(2)首先证明 FEGzDHG ,然后证明 ECH为等腰直角三角形

13、.可以证得：EGXCG.(3)首先证明： BEC/FEH,即可证得： ECH为等腰直角三角形，从而得到：EG=CG且 EGXCG.已知，正方形ABCD中，ABEF为等腰直角三角形， 且BF为底，取DF的中点G,连接EG、CG(1)如图1 ,若4BEF的底边 BF在BC上，猜想 EG和CG的数量关系为 ;2(2)如图2,若4BEF的直角边BE在BC上，则(1)中的结论是否还成立？请说明理由;中的结论是否还成立？说明理由.(3)如图3,若4BEF的直角边 BE在/DBC内，则(1)解：(1 ) GC=EG ,(1分)理由如下：也EF为等腰直角三角形，1/DEF=90 又 G为斜边DF的 中点，EG

14、= _2.ABCD为正方形，DF ,1 一 。 一./BCD=90，又G 为斜边DF的 中点，.,.CG= DF.GC=EG ;(2)成立.如图，延长EG交CD于M ,./BEF= ZFEC= ZBCD=90，/EFG= /MDG ,又 /EGF= /DGM , DG=FG GEFGMD ,.EG=MG ,即 G为EM 的中点.CG为直角AECM的斜边上的中线， .CG=GE= EM ;(3)成立.取BF的中点H ,连接EH , GH ,取BD的中点O ,连接OG ,1 .CB=CD , /DCB=90,.1.CO=BD-.DG=GF ,2 .GH /BD，且 GH=OG /BF ,且 OG=

15、 BF ,2.CO=GH也EF为等腰直角三角形.1BF.EH=，EH=OG.四边形OBHG 为平行四边形，/BOG= ZBHG . ZBOC= /BHE=90 .，/GOC= ZEHG .HOC 0ZEHG .，EG=GC .此题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质.要求学生掌握直角三角形斜边上的中线等II于斜边的一半，以及三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半.掌握这些性质，熟练运用全I等知识是解本题的关键.IIIIII解析：(1) EG=CG,理由为：根据三角形 BEF为等腰直角三角形，得到/ DEF为直角，又G为IIDF中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半， 得到EG为DF的一半，同理在直角I：I三角形DCF中，得到CG也等于DF的一半，利用等量代换得证；IIII! ； (2)成立.理由为：延长EG交CD于M,如图所示，根据“ASA”得到三角形EFG与三角形GDM全等，由全等三角形的对应边相等得到 EG与MG相等，即G为EM中点，根据直角三角形斜边上IIIIII的中线等于斜边的一半得到 EG与CG相等都等于斜边EM的一半，得证；(3)成立.理由为：取BF的中点H,连接EH, GH,取BD的中点O,连接OG, OC ,如图所示，因为直角三角形DCB中，O为斜边BD的