函数的单调性知识点汇总典型例题(高一必备)

1、第二讲：函数的单调性一、定义：1 .设函数y f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两 个自变量的值X1,X2,当X1 X2时，都有f(Xi) f(X2)，那么就说f(x)在区间D上 是增函数.区间D叫y f (x)的单调增区间.注意：增函数的等价式子：(、 X2)f(Xi) f(X2) 0f(Xl) f(X2) 0;X1 X2难点突破：(1)所有函数都具有单调性吗？(2)函数单调性的定义中有三个核心x1 x2f(x1) f(x2) 函数f(X)为 增函数，那么中任意两个作为条件，能不能推出第三个?2 .设函数y f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I内的某个区间D内的

2、任意两 个自变量的值Xi,X2,当Xi X2时，都有f(Xi) f(X2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数.区间D叫y f (x)的单调减区间.注意：(1)减函数的等价式子：(Xi X2)f(Xi) f (X2 ) 0f(Xl) f(X2) 0；Xi X2(2) 若函数f(x)为增函数，且x1 x2,则f(x1) f(x2).题型一：函数单调性的判断与证明例1.已知函数f(x)的定义域为R,如果对于属于定义域内某个区间I上的任意两个不同的自变量土出都有f(Xi) f(X2)0.则()X1 X2A. f (x)在这个区间上为增函数B. f (x)在这个区间上为减函数C. f (x)在这个区间

3、上的增减性不变D. f(x)在这个区间上为常函数变式训练：定义在R上的函数f(x)对任意0 x2 x1都有f(Xl) f(x2) 1,且函Xi X2数y f(x)的图象关于原点对称，若f(2) 2,则不等式f(x) x 0的解集为.例3.证明:函数f (x) x3 x在R上是增函数.易错点:变式训练:讨论f(x) x a(a 0)的单调性.并作出当a 1时函数的图象.x变式训练：已知f(x 1) x2 2x,判断函数g(x)f® 在(0,1)上的单调性，并用定 x义证明.题型二：函数的单调区问难点突破：(1)函数在某个区间上是单调函数，那么它在整个定义域上也是单 调函数吗？易错点：区

4、间端点的 确认多个单调区间的写 法1 .一(2)函数f(x)的单调减区间是(，0) (0,)上吗?x例1.(图像法)求下列函数的单调区间(1) f(x) |x 1| |x 2|.(2)f(x) x2 2|x| 3.(3) f(x) | x2 4x 5.例2.(直接法)求函数f(x) 3 的单调区间.1 x例3.(复合函数)(2017全国二)函数f(x) ln(x2 2x 8)的单调递增区间是 ()A. (, 2) B. (,1)C.(1,) D. (4,)易错点：变式训练：求下列函数的单调区间.-12(1) y - (2) y v x 5x 6x x 31(3) y 1 12.3 2x x2题

5、型三：抽象函数的单调性问题例1.设函数f(x)是实数集R上的增函数，令F(x) f(x) f (2 x).(1)证明：F(x)是R上的增函数；若 F(x1) F (x2) 0,求证：x1 x2 2.例2定义在(0,)上的函数f (x)满足下面三个条件：对任意正数a,b,都有f(a) f(b) f(ab);当x 1时，f (x) 0； f(2)1.(1)求f的值；(2)使用单调性的定义证明：函数 “*)在(0,)上是减函数;(3)求满足f(3x 1) 2的x的取值集合.题型四：函数单调性的应用(1)利用函数的单调性比较大小在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.

6、 正向应用：逆向应用:例1. f x在0, 上单调递减，那么f a2a 1与f 3的大小关系是4变式训练：已知函数f(X)满足f(1 X) f (1 X),且对任意的Xi，X2 1(xi"X1)(X2)0.设 a f( -), b f(2), c f (3)，则 a,b,c 的大小关系X1 X22(2)利用函数的单调性解不等式例2.设f (x)是定义在1,1上的增函数，且f(X 2) f(1 x)成立，求X的取值范围.易错点：变式训练.设f(x)是定义在3,3上的偶函数，当0 x 3时，f(x)单调递减,若f (1 2m) f(m)成立，求m的取值范围.(2015全国二)设函数f (

7、x)的取值范围是().1 八 _1A. (-,1)B. (,-) (1,331ln(1 x) 2,则使得 f(x) f (2x 1)成立的 x1 x)C.1 13,3)D.1)(2018全国一)设函数f x是()A.,1 B.0,则满足f 2x的x的取值范围C.1, 0D., 0(3)根据函数的单调性求参数的取值范围例1.如果函数f(x) 2x2 4(1 a)x 1在区间3,)上是增函数，则实数a的取值范围是()A. (1,2) B. (0, 2) C. (0, 1) D. 2,4)上是减函数，求实数a的变式训练：如果函数f (x) x2 2(1 a)x 2在区间取值范围.例2.若函数f (x

8、)是.(2b2 x1)x(2b 1,x 0.,在R上为增函数，则实数b的取值范围b)x, x 0例3.若函数y |x a|在区间(，4上是减函数，求实数a的取值范围.易错点:第三节：函数的奇偶性、知识梳理1 .函数的奇偶性奇偶性定 义图象特点备注奇函数设函数y f(x)的止义域为D ,如果 对D内的任意一个 x ,都有 x C D,且 f x f x ,则这个函数叫做奇函 数关于原点 中心对称函数f(x)是奇函数且在x 0处有定义，则f(0) 0隅函数设函数y f (x)的止义域为D ,如果对D 内的任意一个x,都有 x D,且 f x f x ,则这个函数叫做偶函数关于y轴对称例1 (201

9、4全国二)偶函数y f(x)的图象关于直线x 2对称，f(3) 3,则f( 1) :例2 (2017全国二)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x ( ,0)时，f(x) 2x3 x2 ,则 f (2) .例3 (2012全国二)设函数f(x) (x 1)： sin x的最大值为M ,最小值为m, x 1贝U M + m =.2 .函数的图象(1)平移变换：“上加下减，左加右减”例4 (2010全国二)设偶函数f (x)满足 f (x)2x 4(x 0),则x|f(x 2) 0A. x|x 2或x 4B. x|x 0或x 4x | x 2或x 4C.x|x 2或 x 2 D.(2)对称变换

10、y f(x)关于x轴对称y f(x)；y f (x)关于y轴对称y f( x)；y f (x)关于原点称y f( x)； yax(a0且a1)关于yx对称ylogax(a0且a1);奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的额图象关于 y轴对称.(3)翻折变换yf(x)保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去y I f (x) |.|lgx|,0 x 10例5 (2010全国二)已知函数f(x) 1,若a,b,c均不相等，且-x 62f(a) f(b) f (c),则a b c的取值范围是()A. (1,10) B. (5,6) C (10,12) D. (20,24)例6 (2011全国二)已知

11、函数y f(x)的周期为2,当* 1,1时f(x) x2,那么函数y f(x)的图象与函数y 11gxi的图象的交点共有()A. 10 个 B . 9 个 C . 8 个D . 1 个 y f (x) 保留y轴右边图象，并作其关 于y轴对称的图象(去掉原f(x)在y轴左侧的图象)丫 f (| x |)例7(2011全国二)下列函数中，既是偶函数又在(0,)单调递增的函数是()A. y x3B. y | x| 1C. y x2 1 D . y 2 |x|例8 (2010大纲)直线y 1与曲线y x2 |x | a有四个交点，则a的取值范围是.(4)函数图象的几种对称关系f(x),x R满足f(a

12、 x) f (a x) yf(x)图象关于直线x a为轴对称；例9 ( 2018全国二)已知f(x)是定义域为(,)的奇函数，满足f(1 x) f(1 x),若 f(1)=2,则 f(1) f(2) f(3) . f(50)()A. - 50 B . 0 C . 2D . 50a bf(a x) f(b x)f(x)图象关于x 为轴对称；2b a函数y f(a x)与函数y f(b x)的图象关于直线x 3 对称.21如：y f(x)和y f (1 x)的图象，关于直线x 1为轴对称.2例10(2015全国二)已知函数f(x) ax3 2x的图像过点(-1,4) /tja=二、真题演练1. (

13、2014全国一)设函数f (x),g(x)的定义域为R ,且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(A. f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C. f(x)|g(x)|是奇函数D.| f (x)g(x)|是奇函数2. (2015全国已知函数f(x)2x1 2,x 1log2(x 1),xf(6 a)=(3.f(A.- 74(20152) f(A.-1B.-4) 1,则 aB.1设函数yC.2C.-D.-f (x)的图像关于直线yD.4x对称，且4.(2017全国一)函数 ysin21 cosx的部分图像大致为(5. (2017全国一)已知函数f(x)A.

14、f(x)在(0,2)单调递增C. y f(x)的图像关于直线xB. f(x)在(0,2)单调递减1对称D. yf(x)的图像关于点(1,0)对称的部分图像大致为()、课后作业1.若奇函数f(x)在3,7上是增函数且最大值为5,那么f(x)在7, 3上是()A.增函数且最小值是5C.减函数且最大值是5B.增函数且最大值是5D.减函数且最小值是52 .若 f(x) (m 1)x2 2mx 3是偶函数，则 f(x)在 4, 1 上(A.是增函数B.是减函数C.不具有单调性 D.单调性由m的值确定，一一1,，一 3 .已知函数f x a;,若f x为奇函数，则a.2x 1ax b124 .函数f (x) 是定义在(1,1)上的奇函数，且f (-),求函数f(x)的1 x225解析式.第四节：函数的零点一、知识梳理零点：方程f(x) 0的解；函数f (x)图象与x轴交点的横坐标.函数F(x) f (x) g(x)的零点是函数f (x)与函数g(x)图象交点的横坐标零点存在定理：函数f(x)在定义域a,b上连续，若f (a) f (b) 0 ,则f(x)在定义域a,b上一定存在零点.例(2011全国二)在下列区间中，函数f(x) ex 4x 3的零点所在的区间为A 1A ( 4，0)(0,1)41 1)4,2二、真题演练1. (2017全国三)已知函数f(x) x2x2x a(