全等三角形及三角形全等的条件一对一辅导讲义

1、课 题全等三角形及三角形全等的条件1、掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能进行简单的推理计算。教学目的2、理解并掌握三角形全等的判定定理，能准确找到判定定理的条件，并熟练运用。教学内容、课前检测1 .如图（1）, 中，平分/,则0.2 .斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是，底边和腰相等的两个等腰三角形全等的根据是.3 .已知的周长为 32 , 9 , 12则，.图（1）图（2）图（3）4 .如图（2）,要使4且还需知道的一个条件是5 .如图（3）,若/ 1 = /2, ZZ D,则理由.6 .不能确定两个三角形全等的条件是（）A.三边对应相等 B.两边及其夹角相等C.两

2、角和任一边对应相等 D.三个角对应相等7 和中，ZZ D,若还需要（）A./EB./F C. D.前三种情况都可以8 在和 A' B' C中'B'C''C'/ A'/ B'/ C',则下列哪组条件不能保证 A' B' C'（）A.具备B.具备C.具备D.具备参考答案：1. 2.（或）3. 912114. /或5. 6 - D 7 D 8 - A二、知识梳理知识要点：要点1:全等三角形的概念及其性质（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（2）全等三角形性质：对应边相等

3、、对应角相等、周长相等、面积相等要点2:全等三角形的判定(1)两边及夹角对应相等；(2)两角及夹边对应相等；(3)两角及其中一角的对边对应相等；(4)三边对就应相等。要点3:找全等三角形的对应边，对应角的方法(1)若给出对应顶点即可找出对应边和对应角。(2)若给出一些对应边或对应角，则按照对应边所对的角是对应角，反之，对应角所对的边是对应边就可找出其他几组对应边和对应角。(3)按照两对对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边来准确找出对应角和对应边。(4) 一般情况下，在两个全等三角形中，公共边、公共角、对顶角等往往是对应边，对应角。要点4:寻找两个三角形全等的途径(1)三角形全等的

4、判定是这个单元的重点，也是平面几何的重点有两组对应角相等时；找有两组对应边相等时；找有一边，一邻角相等时；找有一边，一对角相等时；找任一组角相等（）（2）利用两个三角形的公共边或公共角寻找对应关系，推得新的等量元素如图（一）中的，图（二）中的都是相应三角形的公共元素。图（三）中如有，利用公有的线段就可推出。图（四）中若有就能推出三、例题讲解：例 1.如图， A,F,E,B 四点共线，AC CE , BD DF , AE BF , AC BD。求证： ACF BDE。.思路分析：从结论 ACFBDE入手，全等条彳只有 AC BD ;由AE BF两边同时减去EF得到AF BE,又得到一个全等条件。

5、还缺少一个全等条件，可以是 CF DE ,也可以是 A B。由条件AC CE , BD DF可得 ACE BDF 90：,再加上AE BF , AC BD ,可以证明ACE BDF ,从而得到 A B。解答过程：v AC CE, BD DFACE BDF 90；在 Rt ACE 与 Rt BDF 中AE BFAC BD Rt ACE Rt BDF ()A BAE BFAE EF BF EF ,即 AF BE在ACF与BDE中AF BEA BAC BDACF BDE ()解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条联系，从而得出解题思路。小结：

6、本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路BE是/的平分线，AD BE , 垂足为D。求证： 2C比较困难，我们可以间接证明，即找到那么O在哪里呢？角的对称性提示我们将，证明 2 且1 C。AD延长交BC于F ,则构造了4,可以通过证明三角形全等来证明/ 2=/,可以由三角形外角定理得/ 解答过程：延长AD交BC于F1 + Z Co在ABD与ABDBD BDFBD中FBDABDFBD (2 DFBADBFDB90又.DFB解题后的思考 例3.如图，在:由于角是轴对称图形,ABC 中，AB BC ,所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。A

7、BC 90；。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE BF ,连接AE,EF和CF 。求证：AE CF 。思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等,关键是要找到这两个三角形。 以线段AE为边的 ABE绕点B顺时针旋转90%到 CBF的位置，而线段 CF正好是 CBF的边，故只要证明它们全等即可。解答过程：ABC 90' , F为AB延长线上一点ABC CBF 90'在ABE与CBF中AB BCABC CBFBE BFABE CBF ()AE CF。解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结：利用三角形全等证明线段或角相等是

8、重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以 根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。例4.如图，D是 ABC的边BC上的点，且CD AB, ADB BAD, AE是 ABD的中线。求证：AC 2AE。思路分析：要证明“ AC 2AE”，不妨构造出一条等于 2AE的线段，然后证其等于 AC。因此，延长 AE至F , 使 EF AE。解答过程：延长AE至点F ,使EF AE ,连接DF在ABE与FDE中AE FEAEB FED BE DEABE FDE () B EDF 丫 ADF ADB EDF , ADC BAD B 又.ADB BADAD

9、F ADC丁 AB DF , AB CD DF DC在ADF与ADC中AD ADADF ADC DF DCADF ADC ()AF AC又,AF 2AEAC 2AE。解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。四、课堂练习一、选择题：1 .能使两个直角三角形全等的条件是（A.两直角边对应相等C.两锐角对应相等2 .根据下列条件，能画出唯一 ABC的是（A. AB 3, BC 4, CA 8B. 一锐角对应相等D.斜边相等)B. AB 4 , BC 3, A 30；D. C 90： , AB 62, AC AD ,增加下列条件：ABAE

10、 ; BC ED ; C3.如图，已知 1其中能使 ABC AED的条件有（）4.如图，已以 AB CD, BC AD， B 23；,则，D 等于(A. 67；B. 46；C. 23）D.无法确定二、填空题：5.如图，在 ABC中，C 90；, 则点D到AB的距离等于cm ；ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D ,且 CD: AD 2:3, AC 10cm,6.将一张正方形纸片按如图的方式折叠,BC,BD为折痕，则 CBD的大小为;C. C 60：,B 45： , AB 4三、解答题：7 .如图， ABC为等边三角形，点M ,N分别在BC,AC上，且BM CN , AM与BN交于Q点。求

11、 AQN 的度数。B 环C-T8 .如图， ACB 90：, AC BC, D为AB上一点，AE CD, BF CD ,交CD延长线于F点。求证:BF CE。9 .如图，已知，.求证：(1) , ( 2)，10.已知：如图，在中，/90°, / 1 = /2,，的延长线于 E.求证：2.参考答案一、选择题：1. A2. C3. B4. C二、填空题：5 . 46. 90,，三、解答题：7 .解：ABC为等边三角形，AB BC , ABC C 60；在ABM与BCN中AB BCABC CBM CNABM BCN ()NBC BAMAQN ABQ BAM ABQ NBC 60%8 .证明

12、：AE CD , BF CDF AEC 90；ACECAE 90；ACB 90；ACEBCF 90：CAE BCF 在ACE与CBF中F AECCAE BCFAC BCACE CBF () BF CE。9 .证明：(1) B+Z 180°又. /+/ 4+Z + Z 3=360°, Z 3= Z4=90°180°:/ /在和中fAB-AFBC = AE(2)1 = /F 又1+/3=/2+/ F2=/3又:/ 3=90°2=90° .二,即，vZ 3=90°,5+Z 90°90 =90°又.，4=90&#

13、176;, / 7=90°1 + /90°, Z 6=180°1 = Z 5< AB = AC/i -在和中 I()Z1 = Z2t BE = BE在和中卯” ./()2： 2五、课堂小结(1)全等三角形的概念及其性质(2)全等三角形的判定(3)找全等三角形的对应边，对应角的方法(4)寻找两个三角形全等的途径六、课后作业一、填空题1 如图(1) , / E, / 1 = 7 2,则按边分是三角形.2 如图（2）,，于D,，于E,交于P,则（填“ <”或“ >”或“="）.3 .如图（3）, 中，现想利用证三角形全等证明/C,若证三角形全

14、等所用的公理是公理，则图中所添加的辅助线应是.4. 一个三角形的三边为 2、5、x,另一个三角形的三边为 V、2、6,若这两个三角形全等，则.5 .如图（4）,若则需增加的条件是.（至少三个） 二、选择题6 .如图（8）,图中有两个三角形全等，且/ D,与是对应边，则下列书写最规范的是（）A. AA B. AAC. AA D. AA7 .如图（9）,平分/, E在上，则图中能全等的三角形有对A. 1B. 2C. 3D. 48 .如图（10）, 中，D、E是边上两点，-71=72=110° , /60° ,则/等于（）A. 70° B. 60° C. 50

15、° D, 110°9 .如图（11）, / ,且，则的根据是 （）A.只能用B.只能用C.只能用D.用或10 .如图（12）,和，和是对应边，那么/等于（）A. / B. / C. / FD. /11 .如图（13）, 中，/ 90° ,平分/交于 D,，于E且6 ,则的周长为 （）A. 40 B. 6 C. 8 D. 10ZZA. / B. 与不全等C. D. 是等腰三角形图（13）D,相交于点图（14）E,下面结论不正确的是（三、解答题13 .已知是上的两点，/ ,且,图（15）14 . 一块三角形玻璃损坏后，只剩下如图（16）所示的残片，你对图中作哪些数据测量后就可到建材部门割取符合规格的三角形玻璃并说明理由.图（16）15 .如图（17）,在中，是中线，是高线.图(17)(1)若比长5 ,则的周长比的周长多.(2)若的面积为10 2,则的面积为2.A. 10 B. 20 C. 30 D. 40(3)若又是的角平分线，/130° ,求/的度数.16 .已知如图(18), B是的中点，.交于F点 求证：(1) /(2).图(18)参考答案一、1 等腰 2. = 3.为的中线4. 115. /或/ B或或.(多写一个加一分)二、6. B 7, C 8. B 9. D10 . B 11.