第三章含时间因素的货币等值计算

1、第三章 含时间因素的货币等值计算3.1货币的时间价值1、含义、含义 指初始货币在生产与流通中与劳动相结合，即作为资本或资金参指初始货币在生产与流通中与劳动相结合，即作为资本或资金参与再生产和流通，随着时间的推移会得到货币增值，用于投资就会带与再生产和流通，随着时间的推移会得到货币增值，用于投资就会带来利润；用于储蓄会得到利息。来利润；用于储蓄会得到利息。2、原因、原因（1）以货币表示的资源可以成为资本，存在投资的机会，从而产生）以货币表示的资源可以成为资本，存在投资的机会，从而产生对资本投入要素的回报。对资本投入要素的回报。（2）消费者都存在一种潜在的期望，要求现在消费的节省以换回日）消费者都

2、存在一种潜在的期望，要求现在消费的节省以换回日后更多的消费。后更多的消费。3.1货币的时间价值原资金原资金投资投资储蓄储蓄新资金新资金原资金原资金货币的货币的时间价值时间价值原资金原资金闲置闲置=+3.1货币的时间价值 资金的价值是时间的函数，随时间的推移而增值，所增值部资金的价值是时间的函数，随时间的推移而增值，所增值部分的资金就是原有资金的时间价值。分的资金就是原有资金的时间价值。 影响资金时间价值的因素：影响资金时间价值的因素：1、资金的使用（占用）时间长短；、资金的使用（占用）时间长短；2、资金数额的大小；、资金数额的大小；3、资金投入或回收的（时间）特点；、资金投入或回收的（时间）特

3、点；4、资金周转速度的快慢。、资金周转速度的快慢。3.1货币的时间价值 通常用货币单位来计量工程技术方案的得失，我们在经济分析时就主要通常用货币单位来计量工程技术方案的得失，我们在经济分析时就主要着眼于方案在着眼于方案在整个寿命期整个寿命期内的货币收入和支出的情况，这种货币的收入和支内的货币收入和支出的情况，这种货币的收入和支出称之为现金流量出称之为现金流量(Cash Flow)。 有一个总公司面临两个投资方有一个总公司面临两个投资方案案A A、B B，寿命期都是，寿命期都是4 4年，初始投年，初始投资也相同，均为资也相同，均为1000010000元。实现利元。实现利润的总数也相同，但每年数字

4、不同，润的总数也相同，但每年数字不同，具体数据见表。如果其他条件都相具体数据见表。如果其他条件都相同，我们应该选用那个方案呢同，我们应该选用那个方案呢? ?3.1货币的时间价值3000 3000 3000 方案方案D 3000 3000 30006000 1 2 3 4 5 6方案方案C 0 1 2 3 4 5 60 3000 3000 3.1货币的时间价值货币的支出和收入的经济效应不仅与货币量的大小有货币的支出和收入的经济效应不仅与货币量的大小有关，而且与发生的时间有关。由于货币的时间价值的存在，关，而且与发生的时间有关。由于货币的时间价值的存在，使不同时间上发生的现金流量无法直接加以比较，

5、这就使使不同时间上发生的现金流量无法直接加以比较，这就使方案的经济评价变得比较复杂了。方案的经济评价变得比较复杂了。3.1货币的时间价值 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 400 方案F 方案E 200 200 200 100 200 200 300 300 400 从现金流量的绝对数看，从现金流量的绝对数看，方案方案E比方案比方案F好；但从货好；但从货币的时间价值看，方案币的时间价值看，方案F似似乎有它的好处。如何比较乎有它的好处。如何比较这两个方案的优劣就构成这两个方案的优劣就构成了本课程要讨论的重要内了本课程要讨论的重要内容。这种考虑了货币时间容。这种考虑了货币时间价值的经济分析方

6、法，使价值的经济分析方法，使方案的评价和选择变得更方案的评价和选择变得更现实和可靠。现实和可靠。3.2利息公式（一）相关概念（一）相关概念1、利息、利息一定数额货币经过一定时间后资金的绝对增值，用一定数额货币经过一定时间后资金的绝对增值，用“I”表示。表示。广义的利息广义的利息信贷利息信贷利息经营利润经营利润2、利率、利率利息递增的比率，用利息递增的比率，用“i”表示。表示。 每单位时间增加的利息每单位时间增加的利息 原金额（本金）原金额（本金）100%利率利率(i%)= 计息周期通常用年、月、日表示，也可用半年、季度来计算，用计息周期通常用年、月、日表示，也可用半年、季度来计算，用“n”表示

7、。表示。3.2 利息公式PniI 3.2.1利息的种类利息的种类1、单利计息、单利计息1. 单利单利每期均按原始本金计息（利不生利）每期均按原始本金计息（利不生利） 设：设：I利息利息 P本金本金 n 计息期数计息期数 i利率利率 F 本利和本利和则有则有)1 (inPF 例题例题1：假如以年利率：假如以年利率6%借入资金借入资金1000元元,共借共借4年年,其其偿还的情况如下表偿还的情况如下表年年年初欠款年初欠款年末应付利息年末应付利息年末欠款年末欠款年末偿还年末偿还110001000 0.06=6010600210601000 0.06=6011200311201000 0.06=6011

8、800411801000 0.06=60124012403.2利息公式2、复利计息、复利计息 将本期的利息转为下期的本金，下期将按本利和的总额计息，将本期的利息转为下期的本金，下期将按本利和的总额计息，这种计息方式称为复利（计息）这种计息方式称为复利（计息）利滚利利滚利P(1+i)2P(1+i)n-1 P(1+i)n 1 PPiP(1+i)2P(1+i)P(1+i) in1P(1+i)n-2P(1+i)n-2 i n P(1+i)n-1P(1+i)n-1 iF=P(1+i)nI=F-P=P(1+i)n-1 例题例题2：假如以年利率假如以年利率6%借入资金借入资金1000元元,共借共借4年年,其

9、偿其偿还的情况如下表还的情况如下表年年10001000 0.06=601060010601060 0.06=63.601123.6001123.601191.0201191.021262.481262.481123.60 0.06=67.421191.02 0.06=71.463.2.2等值(Equivalent Value)的含义 货币等值是考虑了货币的时间价值。货币等值是考虑了货币的时间价值。 即使金额相等，由于发生的时间不同，其价值并不一定相等；即使金额相等，由于发生的时间不同，其价值并不一定相等； 反之，不同时间上发生的金额不等，其货币的价值却可能相等。反之，不同时间上发生的金额不等，

10、其货币的价值却可能相等。货币的等值包括货币的等值包括三个因素三个因素 金额金额金额发生的时间金额发生的时间利率利率在经济活动中，等值是一个非常重要的概念，在方案评价、比较中广泛应用。在经济活动中，等值是一个非常重要的概念，在方案评价、比较中广泛应用。3.2.2等值(Equivalent Value)的含义478.20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 年年 300 i=6% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 年年 i=6% 同一利率下不同时间的货币等值同一利率下不同时间的货币等值 1、一次支付复利公式一次支付复利公式第一年年初第一年年初第一年年末第一年年末第二年年末第二年年末第第n年年末年

11、年末P P +Pi=P(1+i)P (1+i)+P(1+i)i=P(1+i)2P(1+i)n1、一次支付复利公式一次支付复利公式 在第一年年初，以年利率在第一年年初，以年利率6%投资投资1000元，则元，则到第四年年末可得本利和若干？到第四年年末可得本利和若干？分析分析2、一次支付现值公式案例案例2、一次支付现值公式 为了在第四年年末得到为了在第四年年末得到1262.50元，按年利率元，按年利率6%计算，现在必须投资多少？计算，现在必须投资多少？分析分析3、等额支付系列复利公式案例案例3、等额支付系列复利公式A1累累 计计 本本 利利 和和 （ 终终 值值 ）等额支付值等额支付值年末年末23A

12、AnAAA+A(1+i)A+A(1+i)+A(1+i)2A1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)n-1=F3、等额支付系列复利公式即即 F= A+A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1 (1) 以以(1+i)乘乘(1)式式,得得F(1+i)= A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1 +A(1+i)n (2) (2) (1) ，得，得 F(1+i) F= A(1+i)n A),/(1)1 (niAFAiiAFn3、等额支付系列复利公式 连续连续5年每年年末借款年每年年末借款1000元，按年利率元，按年利率6%计算，计算，第第5年年末累积借款若干？年年末累积借款若干？分析分析

13、%61%6110005iiAFn1)1(6371. 510001 .5637),/(niAFA)5%,6 ,/(1000AF6371. 510001 .56374、等额支付系列积累基金公式案例案例4、等额支付系列积累基金公式 如果要在第如果要在第5年年末得到资金年年末得到资金1000元，按年利率元，按年利率6%计算，从现在起连续计算，从现在起连续5年每年必须存储若干？年每年必须存储若干？分析分析5、等额支付系列资金恢复公式案例案例根据F = P(1+i)F = P(1+i)n n= = P(F/P,i,n)P(F/P,i,n)F =A F =A (1+i)(1+i)n n 1 1i i ),/

14、(1)1 ()1 (niPAPiiiPAnnP(1+i)P(1+i)n n =A =A (1+i)(1+i)n n 1 1i i 5、等额支付系列资金恢复公式、等额支付系列资金恢复公式5、等额支付系列资金恢复公式 如果现在以年利率如果现在以年利率5%投资投资1000元，在今后的元，在今后的8年中，年中，每年年末以相等的数额提取回收本利和，则每年年末可以每年年末以相等的数额提取回收本利和，则每年年末可以等额提取若干？等额提取若干？分析分析6、等额支付系列现值公式案例案例6、等额支付系列现值公式 按年利率按年利率6%计算，为了能够在今后计算，为了能够在今后5年中每年年末得年中每年年末得到到100万

15、元的利润，现在应投资若干？万元的利润，现在应投资若干？分析分析7.均匀梯度系列公式均匀梯度系列公式均匀增加支付系均匀增加支付系列列A A1 1+(n-1)G+(n-1)GA A1 1A A1 1+G+GA A1 1+2G+2GA A1 1+(n-2)G+(n-2)G0 1 2 3 4 5 n1 nA A1 10 1 2 3 4 5 n1 n（1）A A2 20 1 2 3 4 5 n1 n （3）（2）（n n2 2）G GG G0 1 2 3 4 5 n1 n2G2G3G3G4G4G（n n1 1）G GA2= G1n ii（A/F,i,nA/F,i,n）图（图（2）的将来值）的将来值F2为

16、为:F2=G（F/A,i,n1）+G（F/A,i,n2）+ + G（F/A,i,2）+ G（F/A,i,1）=G （ 1+i）n1 1i（ 1+i）n2 1iGG（ 1+i）2 1i i（ 1+i）1 1Gi+（ 1+i）1 1G（1+i）n-1+（1+i）n-2 + +（1+i）2+（1+i）1（n1）1 =Gi （1+i）n-1+（1+i）n-2 + +（1+i）2+（1+i）1+1 =iGn Gi=iG （ 1+i）n 1in GiiG （ 1+i）n 1n GiA2= F2 （ 1+i）n1 =iii （ 1+i）n1 Gn GiGn G = ii（ 1+i）n1 = ii（A/F,i

17、,n）=G（A/F,i,nA/F,i,n）1n ii梯度系数梯度系数（A/G,i,nA/G,i,n）A A1 10 1 2 3 4 5 n1 n（1）A A2 20 1 2 3 4 5 n1 n （3）A=AA=A1 1+A+A2 20 1 2 3 4 5 n1 n （4） 注：如支付系列为均匀减少，则有注：如支付系列为均匀减少，则有 A=A1A28.运用利息公式应注意的问题1、实施方案所需的初始投资，假定发生在方案的寿命期初（期初惯例）；、实施方案所需的初始投资，假定发生在方案的寿命期初（期初惯例）；2、方案实施过程中的经常性支出，假定发生在计息期（年）末（期末惯例）；、方案实施过程中的经常

18、性支出，假定发生在计息期（年）末（期末惯例）；3、本年的年末即是下一年的年初；、本年的年末即是下一年的年初；4、P是在当年度开始时发生；是在当年度开始时发生；5、F是在当年以后的第是在当年以后的第n年年末发生；年年末发生；6、A是在考察期间各年年末发生。当现金流量系列包括是在考察期间各年年末发生。当现金流量系列包括P和和A时，系列的时，系列的第一个第一个A是在是在P发生一年后的年末发生；当现金流量系列包括发生一年后的年末发生；当现金流量系列包括F和和A时，系时，系列的最后一个列的最后一个A是和是和F同时发生。同时发生。3.2.4名义利率和有效利率名义利率和有效利率的概念。名义利率和有效利率的概

19、念。当当利率的时间单位利率的时间单位与与计息期计息期不一致时，不一致时，有效利率有效利率资金在计息期发生的实际利率。资金在计息期发生的实际利率。例如：每半年计息一次，每半年计息期的利率为例如：每半年计息一次，每半年计息期的利率为3%3%， 则则 3%3%（半年）有效利率（半年）有效利率如上例为如上例为 3%3%2=6% 2=6% （年）名义利率（年）名义利率（年）名义利率（年）名义利率=每一计息期的有每一计息期的有效利率效利率一年中计息期数一年中计息期数 1、离散式复利111nnnrppnrPi 例：现投资例：现投资10001000元，时间为元，时间为1010年，年利率为年，年利率为8%8%，

20、每季度计息一，每季度计息一次，求次，求1010年末的将来值。年末的将来值。 F=？1000 0 1 2 3 40 季度季度每每季度季度的有效利率为的有效利率为8%4=2%，用年实际用年实际利率求解利率求解:年有效利率年有效利率i为：为： i=（ 1+ 2%）41=8.2432% F=1000 F=1000（F/PF/P，8.2432%8.2432%，1010）=2208=2208（元）（元）用季度用季度利率求解利率求解: F=1000 F=1000（F/PF/P，2%2%，4040）=1000=10002.2080=22082.2080=2208（元）（元）解：解：F=1000(F/P,1%,

21、4F=1000(F/P,1%,43)3) =1000(F/P,1%,12) =1000(F/P,1%,12) =1127 =1127元元答案答案: C F=？1000 0 1 2 3 12 季度季度解解:例例: 已知某项目的计息期为月已知某项目的计息期为月,月利率为月利率为8 ,则项目则项目的名义利率为的名义利率为( ) 。 A. 8% B. 8 C. 9.6% D. 9.6解解:（年）名义利率（年）名义利率=每一计息期的每一计息期的有效利率有效利率一年中计息期数一年中计息期数 所以所以 r=128 =96 =9.6%答案答案: C2、连续式复利 按瞬时计息的方式称为连续复利。在这种情况下，复

22、利可以在一按瞬时计息的方式称为连续复利。在这种情况下，复利可以在一年中按无限多次计算，年有效利率为：年中按无限多次计算，年有效利率为：式中：式中：e e自然对数的底，其数值为自然对数的底，其数值为2.718282.71828名义利率和有效利率下表给出了名义利率为下表给出了名义利率为12%分别按不同计息期计算的实际利率：分别按不同计息期计算的实际利率： 名义利率的实质：当计息期小于一年的利率化为年利率名义利率的实质：当计息期小于一年的利率化为年利率时，忽略了时间因素，没有计算利息的利息时，忽略了时间因素，没有计算利息的利息 。名义利率和有效（年）利率的应用：名义利率和有效（年）利率的应用：计息期

23、与支付期相同计息期与支付期相同可直接进行换算求得可直接进行换算求得计息期短于支付期计息期短于支付期运用多种方法求得运用多种方法求得1)计息期长于支付期计息期长于支付期按财务原则进行计息，即现金流入额放在期初，按财务原则进行计息，即现金流入额放在期初，现金流出额放在计息期末，计息期分界点处的支付保持不变。现金流出额放在计息期末，计息期分界点处的支付保持不变。3.3等值计算实例等值计算实例3.3.1计息期为一年的等值计算计息期为一年的等值计算从利息表上查到，当从利息表上查到，当n=9，1.750落在落在6%和和7%之间。之间。%41.6%1)838.1689.1750.1689.1(%6i6%的表

24、上查到的表上查到1.6897%的表上查到的表上查到1.839从从用直线内插法可得用直线内插法可得相同相同有效利率有效利率名义利率名义利率直接计算直接计算例：当利率为多大时，现在的例：当利率为多大时，现在的300300元等值于第元等值于第9 9年年末的年年末的525525元？元？解：解： F=P(F/P,i,n)525=300(F/P,i,9)(F/P,i,9)=525/300=1.750 A=F（A/F,8%,6）=10000 0.1363=1363 (元元/年年)计算表明，当利率为计算表明，当利率为8%8%时，从现在起连续时，从现在起连续6 6年年1363 1363 元的年末等额元的年末等额

25、支付与第支付与第6 6年年末的年年末的10000 10000 等值。等值。解：解：10000 0 1 2 3 4 5 6 年年 i=8% 0 1 2 3 4 5 6 年年 A=？ i=8% 3.3.2计息期短于一年的等值计算计息期短于一年的等值计算 1.计息期和支付期相同计息期和支付期相同 例：年利率为例：年利率为12%，每半年计息一次，从现在起，连续，每半年计息一次，从现在起，连续3年，每半年为年，每半年为100元的等额支付，问与其等值的第元的等额支付，问与其等值的第0年的现值为多大？年的现值为多大？ 解：每计息期的利率解：每计息期的利率 %62%12i（每半年一期）（每半年一期）n=(3年

26、年) (每年每年2期期)=6期期P=A（P/A，6%，6）=100 4.9173=491.73元元计算表明，按年利率计算表明，按年利率12%12%，每半年计息一次计算利息，从现在起连续，每半年计息一次计算利息，从现在起连续3 3年每年每半年支付半年支付100100元的等额支付与第元的等额支付与第0 0年的现值年的现值491.73491.73元的现值是等值的。元的现值是等值的。%56.1911218. 011112nnri 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 季度季度 F=？100010001000o 第一种方法：取一个循环周期，使这个周期的年末支付转变成第一种方法：取一个

27、循环周期，使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列，其现金流量见下图：等值的计息期末的等额支付系列，其现金流量见下图： 0 1 2 3 4239 239239 2390 1 2 3 410001000将年度支付转化为计息期末支付（单位：元）将年度支付转化为计息期末支付（单位：元） A=F （A/F，3%，4） =1000 0.2390=239元元（A/F，3%，4） 239F=？季度季度 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 经转变后计息期与支付期重合（单位：元）经转变后计息期与支付期重合（单位：元）F=A（F/A，3%，12）=239 14.192=3392

28、元元第二种方法：将名义利率转化为年有效利率，以一年为基础进行计算。将名义利率转化为年有效利率，以一年为基础进行计算。%55.121412. 01114nnri由此可得由此可得 FA，1255 %，3F=1000( 33923 )=3392元元通过三种方法计算表明，按年利率通过三种方法计算表明，按年利率12%，每季度计息一次，从现在起连续三年的每季度计息一次，从现在起连续三年的1000元等额年末借款与第三年年末的元等额年末借款与第三年年末的3392元等值。元等值。计息期长于支付期计息期长于支付期 通常规定存款必须存满整个一个计息期时才计算利息，这就是说，通常规定存款必须存满整个一个计息期时才计算利息，这就是说，在计息期间存人的款项在该期不计算利息。要到下一期才计算利息。在计息期间存人的款项在该期不计算利息。要到下一期才计算利息。因此，计算期间的存款应放在期末，而计算期间的提款应放在期初。因此，计算期间的存款应放在期末，而计算期间的提款应放在期初。 例例:假定现金流量是：第假定现金流量是：第6年年末支付年年末支付300元，第元，第9、10、11、12年末年末各支付各