极坐标与参数方程知识点总结大全_第1页
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文档简介

1、1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设 点 P(x,y) 是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 任 意 一 点 , 在 变 换作 用 下 , 点 P(x,y) 对 应 到 点为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换简称伸缩变换.2. 极坐标系的概念(1) 极坐标系如图所示, 在平面内取一个定点做 极 点 ,自 极 点引一条射线, 叫做极轴; 再选定一个长度单位, 一个角度单位( 通常取弧度) 及其正方向( 通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系 .注 : 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系而极坐标

2、系则不可. 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2) 极坐标与点M的设M是平面内一点,极点; 以极距离|OM|叫做点M的极径,记为为 始 边 ,射 线为终边的角叫做点 M的极角,记为有序数对叫做点M的极坐标,记作般地不作特殊说明时我们认为可取任意实数.特别地 , 当点在极点时, 它的极坐(0,)(R). 和直角坐标不同, 平面内一个点的极坐标有无数种表示如果规定, 那么除极点外, 平面内表示 ; 同时 , 极的点可用唯一的极坐标坐标表示的点也是唯一确定的3. 极坐标和直角坐标的互化(1) 互化背景: 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位

3、, 如图所示:(2) 互化公式: 设是坐标平面内任意一点 , 它的直角坐标是, 极坐标是),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点直角坐标极坐标互化公式据点在一般情况下, 由确定角时, 可根所在的象限最小正角4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为的圆为的圆过极点,倾斜角为的直线过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点八、可以表示为等 多 种 形 式 ,其 中 ,只

4、 有极坐标满足方程二、参数方程1. 参数方程的概念般 地 ,在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ,如 果 曲 线 上 任 意 一 点 的 坐 标都是某个变数点八、,并 且 对 于, 由方程组所确定的都在这条曲线上, 那么方程就叫做的变数这条曲线的参数方程, 联系变数叫做参变数, 简称参数, 相对于参数方程而言 , 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2. 参数方程和普通方程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式, 一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2) 如果知道变数中的一个与参数关 系 ,例 如, 把它代入普通方程, 求出另一个变数那么与参数的关系就是

5、曲线的参数方程, 在参数方程与普通方程的互化中, 必须使的取值范围保持一致 .注: 普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题,关键在于适当地设参数,如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数如图所示,设圆的半径为占八、从 初 始 位 置出发,按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动,设则o,半径为这就是圆心在原点的圆的参数方程,其中转过的角度。半径为的圆的普通方程是它的参数方程为:4椭圆的参数方程以坐标原点为中心,焦点在轴上的椭圆的标准方程为称为离心角;焦点在轴上的椭圆的标准方程是其 参 数 方 程 为其 中 参 数仍为离心角,通常规定参数0的几要把它和这一点的旋转角注:椭圆的参数方程中,参数何意义为椭圆上任一点的离心角,区分开来,除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外(即在的范围内),在其他任何一点,两个角但当相应地也有,在其他象限内类似以坐标原点为中心,焦点在轴上的双曲线的标准议程为焦点在轴上的双曲线的标准方程数方程为都是双曲线上任意一点以上参数的离心角。6抛物线的参数方

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