理论力学10—动量定理

1、在应用普遍定理解决实际问题时，不仅运算简单，而且各个量都具有明确的物理意义，便于更深入地研究机械运动的规律。对于质点系，可逐个列出各质点的动力学基本方程，但连立求解复杂。这些定理建立了表现运动特征的量（动量、动量矩、动能）和表现力作用效果的量（冲量、冲量矩、功）之间的关系。所以用质点运动微分方程解决质点系动力学问题在数学上会遇到很大困难。在许多工程问题中并不需要求出每个质点的运动规律，而是只需知道质点系整体的运动特征就够了。动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理、动能定理。10.1 10.1 动量与冲量动量与冲量物体之间在传递机械运动时产生的相互作用力不仅与物体的速度变化有关，而且与它们的质量

2、有关。例如：子弹质量很小，但速度很大，击中目标时，会产生很大的冲击力。轮船速度虽小，但由于轮船质量太大，靠岸时会产生很大的冲击力，为减小冲击力，一般在轮船的外沿或码头上会固定许多橡胶轮胎。所以，可以用质点的质量与速度的乘积，来表征质点的这种运动量。10.1 10.1 动量与冲量动量与冲量1 动量1）质点的动量动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为kgm/s。质点系中各质点动量的矢量和称为质点系的动量。质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，记为mv v。2）质点系的动量iniivmp110110.1 10.1 动量与冲量动量与冲量3）质心及用质心速度求质点系动量如果质点系中任意质点i的矢径

3、为ri，则其速度为dtrdvii代入式101，注意到质量mi是不变的，则有iiiniiniiirmdtddtrdmvmp11令imM为质点系的总质量10.1 10.1 动量与冲量动量与冲量10.1 10.1 动量与冲量动量与冲量质点系的动量等于质点系的质量与质心速度的乘积。利用质心坐标公式，定义质点系质量中心(质心) C 的矢径将式102代入前式，得i ii iCimmmMrrr102cciiiiiivMrMdtdrmdtddtrdmvmp)(10310.1 10.1 动量与冲量动量与冲量刚体是由无限多个质点组成的不变质点系，质心是刚体内某一确定点。对于质量均匀分布的规则刚体，质心就是几何中心

4、。用式103可非常方便的计算出刚体的动量。例如：vcOC长为l、质量为m的均质细杆，在平面内绕O点转动，角速度为，细杆质心的速度为2lvC则均质细杆的动量为mlvmpC2110.1 10.1 动量与冲量动量与冲量又如：CvC图示均质圆轮，质量为m，轮心速度为vC，则其动量为Cvmp再如：CvC=0图示绕圆心转动的均质轮，无论有多大的角速度和质量，由于其质心不动，其动量恒等于零。10.1 10.1 动量与冲量动量与冲量OA3012BCRevavrvA30BCO1例1 OA杆绕O轴逆时针转动，均质圆盘沿OA杆纯滚动。已知圆盘的质量m20 kg，半径R100 mm。在图示位置时，OA杆的倾角为30o

5、，其角速度11rad/s，圆盘相对OA杆转动的角速度24 rad/s，,求圆盘的动量。100 3mmOB 120.2 10.2m/s0.1 40.4m/servOCvR 3sin600.40.3464m/s2Carvvv于是所以所以20 0.34646.93N sCpmvp方向水平向右。解:取C为动点，动系与OA固连120.2 10.2m/s0.1 40.4m/servOCvR 10.1 10.1 动量与冲量动量与冲量Bvm2Avm2Cvm1211 Cvm例2、椭圆规机构的规尺AB的质量为2m1，曲柄OC的质量为m1，滑块A和B的的质量均为m2。已知OCACCBl。曲柄和规尺均为均质细直杆。曲

6、柄以角速度转动。求机构的动量。解1：由质点系动量公式有111222CCABmmmmpvvvvlvlvcc,21cos(90)cos(902 )2cosBcBvtvtvlt由速度投影定理可得)290cos(costvtvcACxyOtCAB1CtlvAsin2cos(90)cos(902 )2cosBcBvtvtvlt10.1 10.1 动量与冲量动量与冲量BCCyvmtvmtvmp2111coscos2所以机构动量的大小和方向为)45(22122mmlpppyxtppipxsincos),cos(xyOtCCAB1CBvm2Avm2Cvm1211 Cvmtmmltlmtlmtlmvmtvmtv

7、mpACCxsin)45(2sin2sin2sin2sinsin2212112111建立如图直角坐标系，则动量的投影为tmmltlmtlmtlmvmtvmtvmpACCxsin)45(2sin2sin2sin2sinsin2212112111tmmltlmtlmtlmvmtvmtvmpACCxsin)45(2sin2sin2sin2sinsin2212112111tlmtlmtlmcos2cos2cos2211tmmlcos)45(22110.1 10.1 动量与冲量动量与冲量xyOtCCAB1C1p2pCCCOCBAABvmmvmvmmppppppp)45(212)(22112121解2：1

8、122112()ABABCOCCppppmm vppmvlvClmmp)45(2121方向为C点速度的方向。因为得1122112()ABABCOCCppppmm vppmvCCCOCBAABvmmvmvmmppppppp)45(212)(22112121CCCOCBAABvmmvmvmmppppppp)45(212)(2211212110.1 10.1 动量与冲量动量与冲量例3、两均质杆OA和AB质量为m，长为l，铰接于A。图示位置时，OA杆的角速度为，AB杆相对OA杆的角速度亦为。求此瞬时系统的动量。解：由刚体系统的动量公式2211CCvmvmp其中：21lvClllvC2322mllmlm

9、p2232方向水平向右。OABC1C2r=ACACvvv22AB作平面运动mvC2mvC12 冲量物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小、方向有关，还与力作用时间的长短有关。例如，人力推动车厢沿铁轨运动，可使车厢得到一定的速度，如改用机车牵引车厢，只需很短的时间便能达到同样的速度。如果作用力是常量，用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内的累计作用。作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。10.1 10.1 动量与冲量动量与冲量dt dIt（ ）F冲量是矢量，方向与力的方向一致。冲量的单位为Ns，与动量的量纲相同。常力的冲量tIF变力的冲量元冲量 而力 在作用时间t内的冲量是矢量积分F0

10、t dtt（ ）IF10.1 10.1 动量与冲量动量与冲量说明：动量及冲量都是矢量，是有大小有方向的量。例如：用一无重细绳系住一质量为m的物块，使之做匀速圆周运动。尽管物块的速度v大小不变，但其方向在不断变化，因此动量不守恒。细绳对物块的力F=mv2/R大小不变，但其方向在不断变化，因此不是常力，而是变力。vF10.1 10.1 动量与冲量动量与冲量1 质点的动量定理质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。d()t ddmt（ ）vFI微分形式在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。00t dtmmt（ ）vvFI积分形式dd()tddmmmtt（ ）vav

11、F10.2 10.2 动量定理动量定理动量定理积分形式应用时经常使用投影式：000000t dt dt dtxtytzmvmvtImvmvtImvmvtI（ ）（ ）（ ）xxxyyyzzzFFF若作用于质点上的外力主矢恒等于零，则质点的动量守恒，此即质点的动量守恒定律。若作用于质点上的外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则质点的动量在该轴上的投影守恒，此即质点对轴的动量守恒定律。000000t dt dt dtxtytzmvmvtImvmvtImvmvtI（ ）（ ）（ ）xxxyyyzzzFFF000000t dt dt dtxtytzmvmvtImvmvtImvmvtI（ ）（ ）（ ）x

12、xxyyyzzzFFF10.2 10.2 动量定理动量定理例4 锤的质量m3000 kg，从高度h1.5 m 处自由下落到受锻压的工件上，工件发生变形历时0.01s ；求锤对工件的平均压力。hyG*N解：以锤为研究对象，和工件接触后受力如图。锤自由下落时间ght2yyyImvmv12NtG)(00) 121() 1(ghGtGNkNN1656) 18 . 95 . 1201. 01(8 . 93000锤对工件的平均压力与反力N*大小相等，方向相反，与锤的重量G29.4 kN比较，是它的56倍，可见这个力是相当大的。10.2 10.2 动量定理动量定理工件反力是变力，在短暂时间迅速变化，用平均反

13、力N*表示。例5 滑块C的质量为m19.6 kg ，在力P866 N的作用下沿倾角为30o的导杆AB运动。已知力P与导杆AB之间的夹角为45o，滑块与导杆的动摩擦系数f0.2 ，初瞬时滑块静止，求滑块的速度增大到v2 m/s 所需的时间。 ABC30P45xy对滑块C进行受力分析。0(cos45sin30)(1)mvPmgF t 00(sin45cos30 )(2)CPNmgt 由(2)式得30cos45sinmgPNC由动量定理得解：以滑块C为研究对象，建立坐标系。CNgmF10.2 10.2 动量定理动量定理)30cos45sin(mgPffNFC代入(1)式，求得所需时间为cos45si

14、n30( sin45cos30 )0.0941smvtPmgf Pmg从而摩擦力为cos45sin30( sin45cos30 )0.0941smvtPmgf Pmg10.2 10.2 动量定理动量定理10.2 10.2 动量定理动量定理2 质点系的动量定理设由n个质点组成的质点系。(e)(i)d()(1,2, )diiiimintvFF将n个方程相加，即得改变求和与求导次序，则得)()()(iieiiiFFvmdtd)()()(iieiiiFFvmdtd其中第i个质点的动量为miv vi(e)iF(i)iF作用在该质点上的外力与内力的合力为 与由质点的动量定理有dtFdtFvmdiieiii

15、)()()(由于质点系的内力总是大小相等、方向相反、成对出现，相互抵消，因此所有内力的矢量和恒等于零，即0)(dtFii又因为pdvmdvmdiiii)()(是质点系动量的增量，于是得质点系动量定理的微分形式10.2 10.2 动量定理动量定理(e)ddddmtt pvF质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（或外力的主矢）。上式也可以写成(e)(e)dddt pFI质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。质点系动量定理的微分投影形式)(exxFdtdp)(eyyFdtdp)(ezzFdtdp10.2 10.2 动量定理动量定理上式也可以写成)()(exexxI

16、ddtFpd)()(eyeyyIddtFpd)()(ezezzIddtFpd0(e)0ddptpt pF或(e)0 ppI质点系动量定理的积分形式：设t=0时刻，质点系的动量为p0，任意时刻t，动量为p，将质点系动量定理的微分形式积分得在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。10.2 10.2 动量定理动量定理质点系动量定理的积分投影形式)(0exxxIpp)(0eyyyIpp)(0ezzzIpp注意：质点系的内力总是成对出现的这是内力的三个重要性质因此内力的主矢为零对任一点的主矩也为零内力冲量的矢量和亦为零只有外力才能改变质点系的动量因此在质点系的动

17、量定理中根本不考虑内力。10.2 10.2 动量定理动量定理p pp p0 恒矢量如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，质点系的动量保持不变。如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。pxp0 x 恒量3 质点系动量守恒定律10.2 10.2 动量定理动量定理pyp0y 恒量pzp0z 恒量若 , 则 0)(eyF若 ，则 0)(ezF若 ，则 0)(exF例6 如图所示，已知小车重为2kN，沙箱重1kN，二者以速度v03.5m/s运动。此时有一重为0.5kN的铅球垂直落入沙中后，测得箱在车上滑动0.2s，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩

18、擦力。1N2N解：研究系统，建立坐标系。(e)0 xxFpcvgWWWvgWW321021代入已知数据，解得v3m/s设沙箱滑动结束后车速为v，则有0vx1W3W2W10.2 10.2 动量定理动量定理1N2N1WNFvx再以小车为研究对象，由动量定理有0 xxppFt FtvgWvgW011代入已知数据，解得 F0.5 kN10.2 10.2 动量定理动量定理例8 图示系统，重物A和B的质量分别为m1、m2。若A下降的加速度为a，滑轮质量不计。求支座O的反力。ABOaAvBv(e)(e)ddddyxxyppFFtt 分析：根据质点系动量定理的微分投影形式要求作用在系统上的外力，要先求出系统的

19、动量(e)(e)ddddyxxyppFFtt 10.2 10.2 动量定理动量定理由于系统只在y方向上有速度，所以px=0只要求出py即可。ABOxyOxFOyFgm1gm2解：以整个系统为研究对象ABvv21系统的动量在坐标轴上的投影为121210,()2xyABAppm vm vmm v由质点系的动量定理1212d10,()d2OxAOyFmm vm gm gFt注意到adtdvA可得121201()2OxOyFFm gm gmm a121210,()2xyABAppm vm vmm v1212d10,()d2OxAOyFmm vm gm gFt121201()2OxOyFFm gm gm

20、m a10.2 10.2 动量定理动量定理设A下降的速度为vA，B上升的速度为vB，则由运动学关系得受力如图 建立如图坐标。AvBv11.3 11.3 质心运动定理质心运动定理1 质量中心i ii iCimmmMrrr质点系在力的作用下，其运动状态与各质点的质量及其相互的位置都有关系，即与质点系的质量分布有关。由式(10-2)，即所定义的质心位置反映出质点系质量分布的一种特征。MzmmzmzMymmymyMxmmxmxiiiiiCiiiiiCiiiiiC质心的概念及质心运动在质点系动力学中非常重要。计算质心位置时，常用上式在直角坐标系的投影形式，即MzmmzmzMymmymyMxmmxmxii

21、iiiCiiiiiCiiiiiCMzmmzmzMymmymyMxmmxmxiiiiiCiiiiiCiiiiiC11.3 11.3 质心运动定理质心运动定理(e)d()dCmt vF对于质量不变的质点系，上式可改写为或(e)Cm aF质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和(外力的主矢)。(e)ddCmt vF2 质心运动定理由于质点系的动量等于质点系的质量与质心速度的乘积，因此动量定理的微分形式(e)ddddmtt pvF可写成11.3 11.3 质心运动定理质心运动定理形式上，质心运动定理与质点动力学基本方程完全相似，因此质心运动定理也可叙述如下：质点系质心的运动，可以看成

22、一个质点的运动，设想此质点集质点系质心的运动，可以看成一个质点的运动，设想此质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。中了整个质点系的质量及其所受的外力。例如：在爆破山石时，土石碎块向各处飞落。在尚无碎石落地前，全部土石碎块的质心运动与一个抛射质点的运动一样。设想这个质点的质量等于质点系的全部质量，作用在这个质点上的力是质点系中各质点重力的总和。根据质心的运动轨迹，可以在定向爆破时，预先估计大部分土石碎块堆落的地方。11.3 11.3 质心运动定理质心运动定理由质心运动定理可知，质点系的内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。例如：在汽车的发动机中，气体的压力是内力，虽然这个力是汽车

23、行驶的原动力，但是它不能使汽车的质心运动。这种气体压力推动汽缸活塞，经过一套机构，传递到主动轮，靠车轮与地面的摩擦力推动汽车向前进。如果地面光滑，或摩擦力克服不了汽车前进的阻力，那么，后轮将在原处打转，汽车不能前进。质心运动定理直角坐标投影式(e)(e)(e)CxxCyyCzzmaFmaFmaF (e)(e)(e)CxxCyyCzzmaFmaFmaF (e)(e)(e)CxxCyyCzzmaFmaFmaF 自然轴上的投影式2(e)(e)(e)nbd,0dCCvvmFmFFt 2(e)(e)(e)nbd,0dCCvvmFmFFt 2(e)(e)(e)nbd,0dCCvvmFmFFt 11.3 11.3 质心运动定理质心运动定理如果作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心作匀速直线运动；若系统开始静止，则质心位置始终保持不变。以上结论，称为质心运动守恒定理。3 质心运动守恒定理如果作用于质点系的所有外力在某轴上的投影的代数和恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变；若开始时速度投影等于零，则质心沿该轴的坐