七年级数学上册-6.3 实数 解析版

.3实数【考点梳理】考点一：实数的概念与分类 考点二：实数和数轴问题考点三：实数的大小比较 考点四：无理数的估算考点五：无理数的整数和小数部分 考点六：实数的运算考点七：实数的程序框图或新定义运算 考点八：与实数有关的规律问题知识点一：无理数无限不循环小数称为无理数。（开方开不尽的数；含有π的数；有规律但不循环的数。）如，等知识点二：实数：有理数和无理数统称实数。知识点三：实数与数轴每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。技巧归纳：1、a是一个实数，它的相反数为-a2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。（在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样。）题型一：实数的概念与分类1．（22-23七年级下·福建福州·期末）下列说法正确的是(

)A．实数分为正实数和负实数 B．无限小数都是无理数C．带根号的数都是无理数 D．无理数都是无限不循环小数【答案】D【分析】根据实数的分类以及有关概念逐一分析即可解决.【详解】A.实数分为正实数、负实数和零，故此选项错误；B.无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故此选项错误；C.带根号的数不一定是无理数，如，等，故此选项错误；D.无理数都是无限不循环小数，故此选项正确；故选：D【点睛】此题考查了实数的分类以及有关概念，掌握实数的分类和相关概念是解答此题的关键.2．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（

）A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数；C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数．【答案】D【分析】有理数与无理数统称实数，无限不循环小数是无理数，根据概念逐一分析即可．【详解】解：实数可分为有理数和无理数，原说法正确，故A不符合题意；无理数可分为正无理数和负无理数，原说法正确，故B不符合题意；无理数都是无限小数，原说法正确，故C不符合题意；无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故D符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是实数的分类，无理数的含义，熟记概念是解本题的关键．3．（21-22七年级下·河北石家庄·阶段练习）下列说法正确的有（

）①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是有理数；④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可．【详解】解：①无理数都是实数，原说法正确；②实数包括无理数和有理数，原说法错误；③无限循环小数是有理数，原说法错误；④带根号的数不一定是无理数，如，原说法错误；⑤不带根号的数不一定是有理数，如等无限不循环小数，原说法错误；故正确的只有1个，故选：A．题型二：实数和数轴问题4．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知正方形的面积为5，顶点A在数轴上，且表示的数为1．现以A为圆心，为半径画圆，与数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合A点所表示的数及间距离可得点E所表示的数，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．【详解】解：∵正方形的面积为5，且，∴，∵点A表示的数是1，且点E在点A的右侧，∴点E表示的数为．故选：D．5．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上A，B两点表示的数分别是1和，点A到点B的距离等于点C到点B的距离，则点C表示的数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了实数与数轴，以及数轴上两点之间的距离，根据题意得出，再根据点A到点B的距离等于点C到点B的距离，推出，利用数轴上两点之间的距离即可解题．【详解】解：数轴上A，B两点表示的数分别是1和，，点A到点B的距离等于点C到点B的距离，，点C表示的数是．故选：B．6．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，掌握“数轴上，右边的数总是大于左边的数”是解决问题的关键．根据相反数的概念作图，然后利用数轴比大小．【详解】解：如图，由数轴可得，故选：D．题型三：实数的大小比较7．（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知a是的负的平方根，，，则中最大的实数与最小的实数的差是（

）A．6 B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查平方根、立方根、绝对值以及有理数的加减运算，根据题意分别求得，再找到最大值和最小值作差即可．【详解】解：∵a是的负的平方根，，，∴，，，∴中最大的实数为2与最小的实数的差；故选：A．8．（23-24八年级上·河南平顶山·期中）比较实数，，0，的大小，其中最小的实数为（

）．A． B． C．0 D．【答案】A【分析】本题主要考查有理数的比较大小，解答本题的关键在于熟练掌握负数与负数，以及负数与0的大小比较的方法．【详解】解：根据“正数负数”，以及两个负数比较大小，绝对值大的反而小可得：∵，．故选：A．9．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）下列各式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据实数的大小比较的方法逐一分析判断即可．【详解】解：∵，∴，故A不符合题意；∵，，，∴，故B不符合题意；∵，，∴，故C符合题意；∵，故D不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解本题的关键．题型四：无理数的估算10．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若整数，满足，，则（

）A． B． C．1 D．5【答案】B【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，可估算，，由整数，，可求出，，代值计算，即可求解；掌握估算的方法是解题的关键．【详解】解：，，又整数，满足，，，，；故选：B．11．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知，则的值可以为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查无理数估算，涉及无理数性质，根据，即可得到答案，熟练掌握无理数的估算方法是解决问题的关键．【详解】解：，，故选：A．12．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）若将，，，这四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查无理数的估算，涉及数轴定义，由题中数轴图示可知数的取值范围是到之间，对，，，这四个无理数的范围进行估算即可得到答案，熟练掌握无理数的估算方法是解决问题的关键．【详解】解：；由得；由得；由得；∴能被阴影覆盖的数是，故选：D．题型五：无理数的整数和小数部分13．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了实数的估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键．利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴．故选：C．14．（22-23七年级下·湖北咸宁·期末）大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．因为的整数部分是．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，故的整数部分为，小数部分为．已知的小数部分为，的小数部分为，则的值为（

）A．1 B．0 C． D．【答案】A【分析】根据无理数的估算方法分别表示出a和b，再代入计算即可．【详解】∵，，∴，，∴的整数部分为8，的整数部分为1，∵的小数部分为，的小数部分为，∴，，∴．故选A．【点睛】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．15．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）已知的小数部分为，的小数部分为，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意得出，进而即可求解．【详解】解：∵，∴，∴的小数部分为，的小数部分为，∴∴，故选：A．【点睛】本题考查了无理数的估算，根据题意得出是解题的关键．题型六：实数的运算16．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若实数，满足，则（

）A．，都是有理数 B．的结果必定为无理数C．，都是无理数 D．的结果可能为有理数【答案】D【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键．根据实数的运算法则，逐项进行判断分析即可．【详解】解：A、当时，，是有理数，是无理数，故A错误；B、当，那么，所以B错误；C、当时，是有理数，故选项C错误；D、当，那么，所以选项正确，D正确．故选：D．17．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)7；(2)．【分析】本题考查了算术平方根与立方根、化简绝对值，熟练掌握算术平方根与立方根和运算法则是解题关键．（1）先计算算术平方根与立方根及乘方，再计算实数的加减法即可得；（2）先计算算术平方根与立方根、化简绝对值，再计算实数的加减法即可得．【详解】（1）解：；（2）解：．18．（23-24七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数，点，点关于原点对称，把点向右移动2个单位得到点，设点表示的数为，点所表示的数为．(1)数的值是__________；数的值是__________；(2)求的值．【答案】(1)，(2)【分析】本题主要考查了实数和数轴．（1）根据关于原点对称的两个数的特征和数轴上两点间的距离公式，进行解答即可；（2）把（1）中所求m，n的值代入所求代数式，进行计算即可．【详解】（1）解：∵点A表示的数，点A，点B关于原点对称，∴点B表示的数是，∴，∵把点A向右移动2个单位得到点C，∴点C表示的数，故答案为：，；（2）解：∵由（1）可知，，∴．题型七：实数的程序框图或新定义运算19．（23-24七年级上·山东淄博·期末）设表示最接近x的整数（，n为整数），则（

）A．32 B．46 C．64 D．65【答案】D【分析】本题考查对题干的理解和对二次根式的估算，根据、、、的取值，判断最接近x的整数为多少，最后将这些数相加即可．【详解】解：，即有2个1；，即有4个2；，即有6个3；，即有8个4；则剩余1个数为5．故．故选：D．20．（23-24七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下：(1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值．(2)若输出的值为，求输入的值．【答案】(1)当时，；当时，；当时，(2)3或9【分析】（1）将，4，分别代入，计算求解即可；（2）由题意知，分当是无理数的相反数时，当是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可．【详解】（1）解：当时，其算术平方根为，是无理数，故；当时，其算术平方根为2，是有理数，故；当时，其算术平方根为4，是有理数，故；（2）解：当是无理数的相反数时，则的算术平方根是，∴，当是有理数的负平方根时，则的算术平方根的负平方根是，∴，综上所述，的值为3或9．【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解题的关键．21．（23-24七年级上·湖北·期末）对于有理数a，b满足，我们称使等式成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为．如满足：；满足：；所以数对，都是“相伴有理数对”．(1)数对，中，是“相伴有理数对”的是______；(2)若是“相伴有理数对”，求x的值；(3)若是“相伴有理数对”，则的值为______．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，整式的混合运算，解题的关键是正确理解题目所给“相伴有理数对”的定义．（1）根据题目所给的“相伴有理数对”的定义，进行判断即可；（2）根据题目所给的“相伴有理数对”的定义，列出方程求解即可；（3）根据题目所给的“相伴有理数对”的定义，得出，将化简，再将代入，即可解答．【详解】（1）解：∵，∴不是“相伴有理数对”，∵，∴是“相伴有理数对”，故答案为：；（2）解：∵是“相伴有理数对”∴，解得：；（3）解：∵是“相伴有理数对”，∴，∴把代入得：原式．故答案为：．题型八：与实数有关的规律问题22．（22-23七年级下·广东江门·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第个数应是()A． B． C． D．2023【答案】B【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2023个数．【详解】解：∵一列实数：，，，，，，，，，，…，∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数、算术平方根、立方根，∵，∴这一列数中的第2023个数应是，故选：B．【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．23．（22-23七年级下·安徽马鞍山·期中）有一列数按如下规律排列：则第2017个数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，则可得分子、分母的规律及符号的规律，从而可得结果．【详解】解：，符号两项负一项正循环，而，则第2017项的符号为负；分子是从2开始的连续自然数的算术平方根，即，则第2017项的分子为；分母是以2为底数的乘方，且指数从1开始，且分子的被开方数比分母指数大1，即，则第2017项的分母为，综合得第2017个数是；故选：C．【点睛】本题考查了无理数规律的探索，找到规律是解题的关键．24．（22-23七年级上·贵州铜仁·期中）观察下列等式，，，，，，，，．．．，则的末位数字是（

）A．8 B．4 C．6 D．0【答案】B【分析】根据算式得到2的乘方的结果中末位数字依次为：2，4，8，6，2，4，8，6，，由此得到末位数字的规律是每四个为一个循环，由此得到答案．【详解】解：由题意得到：2的乘方的结果中末尾数字依次为：2，4，8，6，2，4，8，6，，∵，∴每4个算式相加的结果的末位数字为0，∵余3，∴∴的末位数字是4，故选：B．一、单选题25．（23-24七年级上·浙江温州·期末）在，，1.23，0这四个数中，属于无理数的是（）A． B． C．1.23 D．0【答案】B【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数．据此解答即可．【详解】解：在，，1.23，0这四个数中，，1.23，0是有理数，是无理数，故选：B．26．（23-24七年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，数轴上表示2、的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了数轴和实数的关系的应用，注意：在数轴上之间的距离是．设点表示的数是，求出之间的距离，求出，即可得出关于的方程，求出即可．【详解】解：设点表示的数是，在数轴上数表示2，的对应点分别是C、B，、之间的距离是，点C是的中点，，点表示的数是2，点表示的数是，，解得：．故选：C．27．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算无理数的大小，进而得出的大小即可．【详解】解：，，，故选：C．28．（2024七年级下·全国·专题练习）对于整数n，定义为不大于n的最大整数，例如：，则和的距离为（）A．2 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】此题考查了无理数的估算和新定义，先估算出的范围，再根据新定义得到，，即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∴，，则，则和的距离为6，故选：C．29．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）在数，，0，0.34，，1.010010001中，无理数有【答案】【分析】此题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握初中范围内学习的无理数有：含π的数字算式；开方开不尽的数；以及特殊构造的数，像0.1010010001…．无理数就是无限不循环小数．有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数．据此逐一判断．【详解】在实数，，0，0.34，，1.010010001中，，0，0.34，1.010010001是有理数，是有理数，是无理数．故答案为：．30．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）数轴上点A表示的数为1，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．已知点B到原点的距离为，则点C表示的数是．【答案】或【分析】本题主要考查了有关实数和数轴的简单应用，先根据点B到原点的距离，求出点B表示的数，然后分两种情况：当点B在点A右侧时和当点B在点A左侧时，利用两点间的距离公式，求出和，进行解答即可．【详解】解：∵点B到原点的距离为，∴点B表示的数是，当点B在点A右侧时，∵点A表示的数为1，点B表示的数为，∴，∵点B，C到点A的距离相等，∴，∴当点B表示的数是时，点C表示的数是：；当点B在点A左侧时，∵点A表示的数为1，点B表示的数是，∴，∴，点C表示的数是，综上可知：点C表示的数为：或，故答案为：或．31．（23-24七年级下·湖北·周测）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)3【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及立方根，算术平方根，绝对值化简，乘方等知识；（1）根据立方根，算术平方根，绝对值化简，乘方，计算即可．（2）根据算术平方根，绝对值化简，计算即可．【详解】（1）．（2）．32．（23-24七年级上·山东威海·期末）对于如下运算程序：(1)若，则；(2)若输入的值后，无法得到的值，则输入的值是．【答案】(1)(2)或或【分析】本题主要考查了立方根，无理数，解题的关键是掌握立方根，无理数的定义．（1）根据题目中的运算程序代入计算即可；（2）综合立方根和无理数的定义即可求解．【详解】（1）解：输入，得到，不是无理数不能输出，返回可得：，是无理数可以输出，，故答案为：；（2），，，输入的值为或或时，无法得到的值，故答案为：或或．一、单选题33．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）估计的值在（

）A．8和9之间 B．7和8之间C．6和7之间 D．5和6之间【答案】C【分析】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可．【详解】解：∵，，而，∴，∴，故选：C．34．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）已知a、b为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，若，则x的值为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】本题考查实数定义下的新运算问题，解一元一次方程．根据题意将变形为一元一次方程计算即可．【详解】解：∵，∴可整理成：，即：，解得：，故选：C．35．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在数轴上有三个点，其中两个点分别表示，则点A表示的数可能为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查无理数的估算，先根据数轴得到，然后确定数值是解题的关键．【详解】解：设点A表示的数为根据数轴上点的位置可得，即，符合要求的为，故选：C．36．（2024八年级·全国·竞赛）已知，则的整数部分是（

）A．2016 B．2017 C．2018 D．2019【答案】B【分析】本题考查对无理数整数部分的估算，利用先平方再开方的方法对式子进行变形，即可判断的整数部分．【详解】解：由题知，，又，则的整数部分是，故选：B．37．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）现定义运算“*”，对于任意有理数与，满足，譬如，，若有理数满足，则的值为（

）A．21或4 B．5或21 C．4 D．5【答案】D【分析】本题考查了定义新运算，解题的关键是熟练掌握新定义，有理数的混合运算，解一元一次方程根据“*”的定义，分为两种情况，①当时，，②当时，，解一元一次方程，符合题意的值即为所求．【详解】∵，∴当时，，∴，解得，，当时，，∴，解得，，不合，舍去．∴．故选：D．38．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，将半径为的圆形纸片上的点与数轴的原点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则线段的中点表示的数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查数轴上数的表示方法，正确理解题意是此题的关键，圆滚动一周的周长，先求得的长度，从而求得线段的中点表示的数圆滚动一周的周长，代入计算即可得到答案【详解】，∴此时点表示的数是，∴线段的中点表示的数为故选C．39．（2024七年级·全国·竞赛）若的整数部分为，小数部分为的值为（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了整式的乘法、无理数的估算等知识，先对无理数就行估算，再对式子进行化简即可，熟练整式的乘积和无理数的估算是解题的关键．【详解】解：由题意可得，，，，故选：．二、填空题40．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记表示不大于n的最大完全平方数，记．例如：，．则的值为，计算．【答案】882024【分析】本题考查了数的新定义的运用．理解新定义的意义是解决此类问题的关键；多个分式相加，要注意找到计算规律和技巧．（1）表示不大于2024的最大完全平方数，，那么代入求解即可；（2）分别求得的值，得到所给代数式的分母和分子的规律，计算即可．【详解】解：（1）∵表示不大于2024的最大完全平方数，，（2）由题意得：，分母的规律是从1开始到44；分子的规律从0开始，到分数的值为2结束．故答案为：88，2024．41．（2024八年级·全国·竞赛）计算：．【答案】/【分析】本题考查了实数的混合运算，先逐项化简再算加减即可．【详解】解：原式．42．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，五条线段、、、、分别交于点F、G、H、I、J，图中的10个点分别表示一个有理数，且五条线段上4个点表示的数的和都相等，已知F、G、H、I、J、A表示的数分别是1、2、3、4、5、6，则点表示的数为．

【答案】【分析】本题主要考查了实数的运算问题，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．设C、D、E表示的数分别为：c、d、e，根据五条线段上4个点表示的数的和都相等列等式计算即可．【详解】解：设C、D、E表示的数分别为：c、d、e，根据题意得：，解得：，∵，∴，∵，∴．故答案为：．三、解答题43．（23-24八年级上·江西抚州·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．(1)求a，b，c的值；(2)求的平方根．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a，b，c的值；（2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．【详解】（1）解：的立方根是3，，解得，的算术平方根是4，．把代入可得，是的整数部分，；．（2）解：把代入得：，

的平方根是．【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键．44．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）对于整数m，n，定义一