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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2023-2024学年广东省揭阳市高一下学期期末教学质量测试数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知z=(3+i)(2−i),则z的虚部为(
)A.−i B.−1 C.7i D.72.已知由小到大排列的4个数据1,3,4,a的极差是它们中位数的2倍,则a=(
)A.5 B.6 C.7 D.83.设x∈R,则“x=π2”是“cosx=0”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.在平行四边形ABCD中,点E满足AE=13AC,则A.23AB−13AD B.AB5.已知函数y=x2+(1+m)x+2在区间(−∞,4]上单调递减,则实数m的取值范围是A.(−∞,−9] B.[3,+∞) C.(−∞,−5] D.[7,+∞)6.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作,提出“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高.详细点说就是,夹在两个平行平面之间的两个几何体,被任一平行于这两个平面的平面所截,如果两个截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图,一个上底面边长为1,下底面边长为2,高为33的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”,则该不规则几何体的体积为(
)
A.24 B.243 C.277.已知m+em=e,n+3A.1<n<m<e B.1<m<n<e C.0<n<m<1 D.0<m<n<18.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinA=3acosB,∠ABC的平分线交AC于点D,且A.4 B.6 C.2+22 二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知向量a=(1,3),b=(−2,1),则(
)A.|b|=5 B.(a−b)⊥b
C.a在10.已知函数f(x)=sinxcosx−A.f(x)的最小正周期为π2
B.f(x)的图象关于点(2π3,0)成中心对称
C.f(x)在区间[0,π3]上单调递增
11.已知函数f(x)的定义域为R,且f(1)=0,若f(x+y)=f(x)+f(y)+2,则(
)A.f(−2)=−6 B.f(1013)=2024
C.f(x)有最大值 D.函数f(x)+2是奇函数三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知集合A={−1,0},B={y|y=2x,x∈A},则A∪B的所有元素之和为
.13.若函数f(x)=3a−x,x≤2,log2x,x>2的值域为(1,+∞),则实数14.一个三棱锥形木料P−ABC,其中底面△ABC是A=90∘,AB=2dm的等腰直角三角形,PA⊥底面ABC,二面角P−BC−A的大小为45∘,则三棱锥P−ABC的外接球表面积为
d四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2(1)求C;(2)若sinA=17,求sin16.(本小题15分)
如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD为平行四边形,△PCD为等边三角形,平面PAC⊥平面PCD,CD=2,AD=3.
(1)设G,H分别为PB,AC的中点,证明:GH//平面PAD;(2)求直线AD与平面PAC所成角的正切值.17.(本小题15分)某校举办“奋进新征程,建功新时代”知识能力测评,共有1000名学生参加,随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成4组:[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下频率分布直方图:(1)用分层随机抽样的方法从[80,90),[90,100]这两个区间共抽取5名学生,则每个区间分别应抽取多少人?(2)在(1)的条件下,该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享,求第二个交流分享的学生成绩在区间[80,90)的概率;(3)现需根据学生成绩制定评价标准,评定成绩较高的前70%的学生为良好,请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.(精确到1)18.(本小题17分)已知f(x)=x2+1(1)求f(x)的解析式;(2)判断并用定义证明f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;(3)设函数ℎ(x)=x2+1x2−2t⋅f(x)(t<0),若对任意的x119.(本小题17分)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的,该问题是“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,当△ABC的三个内角均小于2π3时,使得∠AOB=∠BOC=∠COA=2π3的点O即为费马点;当△ABC有一个内角大于或等于2π3时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题:已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,(1)求A;(2)设点P为△ABC的费马点,若PA⋅PB+PB(3)设点P为△ABC的费马点,PB+PC=tPA,求实数t的取值范围.
答案解析1.B
【解析】解:z=(3+i)(2−i)=7−i,其虚部为−1.
故选B2.D
【解析】解:由题意,得极差为a−1,中位数为
3+42=72,
则a−1=
3.A
【解析】解:①当x=π2时,则cosx=0,∴充分性成立,
②当cosx=0时,则x=π2+kπ,k∈Z,∴必要性不成立,
∴x=π24.C
【解析】解:BE=AE−AB=5.A
【解析】解:函数y=x2+(1+m)x+2因为函数y=x2+(1+m)x+2所以−1+m2⩾4所以m的取值范围为.故选A.6.D
【解析】解:由祖暅原理知,该不规则几何体体积与正六棱台体积相等,
故V=17.C
【解析】解:构造函数f(x)=x+ex,g(x)=x+3x,
则f(m)=m+em=e,g(n)=n+3n=e,
易知函数f(x),g(x)为增函数,
函数f(x),g(x)的图象与直线y=e,如下图所示:
由图可知,0<n<m,
又f(1)=1+e>f(m),g(1)=1+3>g(n),所以8.D
【解析】解:∵bsinA=3acosB,∴由正弦定理可得sinBsinA=3sinAcos B,
又sinA≠0,,
根据题意,S△ABC=12acsinB=34ac,
因为∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=3,
所以S9.AC
【解析】解:对于A、|b|=4+1=5,故A正确;
对于B、,则(2a−b)·b=−6+2=−4≠0
,故B错误;
对于C、a在b上的投影向量的模为
a·bb·bb=110.BCD
【解析】解:f(x)=sinxcosx−3cos2x+32
=12sin2x−3⋅1+cos2x2+32
=12sin2x−32cos2x=sin(2x−π3),
最小正周期T=2π2=π,故A错误;11.ABD
【解析】解:对于A,令x=y=0
,则f(0+0)=f(0)+f(0) +2,
则f(0)=−2,
令x=1,y=−1,则f(0)=f(1)+f(−1) +2,解得f(−1)=−4,则令x=−1,y=−1,f(−2)=f(−2)+f(−2)+2=−6,A正确;
对于B,因为f(x+y)=f(x)+f(y)+2,f(1)=0,f(0)=−2,
令x=y=1,
则f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2=2=2×(2−1),
令x=1,y=2,
则f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+2=4=2×(3−1),
以此推广得f(1+n)=f(1)+f(n)+2=2n,
故f(1+1012)=2×1012=2024,故B正确;
对于C,当f(x)=2(x−1)符合题意,此时f(x)无最大值,C错误.对于D,令y=−x
,则f(0)=f(x)+f(−x)+2=−2
,
则f(x)+2=−f(−x)−2,
则f(−x)+2=−f(x)−2=−[f(x)+2],
又函数f(x)的定义域为R,则f(x)+2的定义域为R,
所以f(x)+2是奇函数,故D正确;
故选ABD.12.−3
【解析】解:集合A={−1,0},B={y|y=2x,x∈A}={−2,0},
故A∪B={−2,−1,0},
所以A∪B的所有元素之和为−2+(−1)+0+=−3.
故答案为:−3.
13.(1,+∞)
【解析】解:当x>2时,f(x)=log2x,此时f(x)>log22=1,
故当x≤2时,有3a−x>1恒成立,
即3a>1+x在x≤214.10π
【解析】解:如图,取BC中点D,连接PD、AD,
因为PA⊥底面ABC,AB,AC,AD均在底面内,
所以PA与AB,AC,AD均垂直,
所以PB2=PA2+AB2,PC2=PA2+AC2,
因为AB=AC,所以PB=PC,所以AD⊥BC,PD⊥BC,
所以∠PDA即为二面角P−BC−A的平面角,所以∠PDA=45°,
由在直角三角形PAD中,PA=AD,
因为AB=2dm,所以BC=22dm,
所以在直角三角形ABC中,AD=2dm,
所以PA=2dm,因为PA、AB、AC两两垂直,15.解:(1)由已知得a2+b2−c2=ab,
由余弦定理a2+b2−2abcosC=c2,
则cosC=a2+b2−c22ab=ab【解析】
(1)由余弦定理得cosC=12,可得C的大小;
(2)16.(I)证明:连接BD,易知AC∩BD=H,BH=DH,又由BG=PG,故GH//PD,又因为GH⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以GH//平面PAD.(II)证明:取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DN⊥PC,又因为平面PAC⊥平面PCD,平面PAC⋂平面PCD=PC,
DN⊂平面PCD所以DN⊥平面PAC,
连接AN,可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为ΔPCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,所以DN=3,又DN⊥AN,在Rt△AND中,因为AD=3,所以NA=AD2−DN2=【解析】
(1)由题意连接BD,得出得GH//PD,根据线面平行判定证出GH//平面PAD.
(2)取棱PC中点N,连接DN,根据题意及线面垂直的判定得出DN⊥平面PAC,连接AN,可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角,故可在中求得直线AD与平面PAC所成角的正切值.17.解:(1)依题意,设区间[ 80,90)中应抽取x人,区间[ 90,100]中应抽取y人,
得成绩在区间[80,90)中的学生人数为0.045×10×100=45;
成绩在区间[90,100]中的学生人数为0.03×10×100=30,
所以545+30=x45=y30,解得x=3,y=2,
所以区间[80,90)中应抽取3人,区间[90,100]中应抽取2人.
(2)由(1)不妨记区间[80,90)中3人为a,b,c,区间[90,100]中2人为m,n,
则从中抽取2名学生(注意分先后)的基本事件为ab,ac,am,an,ba,bc,bm,bn,ca,cb,cm,cn,ma,mb,mc,mn,na,nb,nc,nm,共20个,
其中第二个交流分享的学生成绩在区间[80,90)(记为事件A)的基本事件为ab,ac,ba,bc,ca,cb,ma,mb,mc,na,nb,nc,共12个,
故P(A)=1220=35,即第二个交流分享的学生成绩在区间[80,90)的概率为35.
(3)由频率分布直方图易得,成绩在区间[90,100]的频率为0.03×10=0.3,
成绩在区间[80,100]的频率为0.045×10+0.3=0.75,
所以成绩良好的最低分数线落在区间[80,90)内,不妨记为【解析】
(1)根据评率分布直方图可求得[80,90),[90,100]两个区间的人数,再根据分层抽样方式即可求得答案;
(2)由古典概型的概率公式计算即可;
(3)设良好的最低分数线为x0,根据题意建立关于x18.解(1):∵f(x)是奇函数,f(1)=2,∴f(−1)=−2
∴2−a+b=−22a+b=2,解得a=1b=0,
∴f(x)=x+1x;
(2)函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
证明如下:取x1,x2∈(0,1)且x1<x2,
f(x1)−f(x2)=(x1+1x1)−(x2+1x2)=(x1−x2)(x1x2−1x1x2),
∵x1,x2∈(0,1)且x1<x2,
∴x1−x2<0,0<x1x2<1,即x1x2−1<0,
∴f(x1)−f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴函数f(x)在(0,1)上的单调递减,
当x1,x2∈(1,+∞)【解析】(1)由f(−1)=−2,f(1)=2,可得a,b的方程,解方程可得所求f(x),
(2)函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,由单调性的定义即可证明;
(3)求得ℎ(x)的解析式,令z=x+1x,y=z2−2tz−2,结合(1)19.解:(1)因为A∈(0,π),所以A+π3∈(π3,4π3).因为sin(A+π3)=12,所以A+π3=5π6,
即A=π2.
(2)由(1)知A=π2,所以△ABC的三个内角都小于2π3,
则由费马点定义可知∠APB=∠BPC=∠APC=2π3,如图,设|PA|=
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