2023-2024学年广东省揭阳市高一下学期期末教学质量测试数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省揭阳市高一下学期期末教学质量测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知z=(3+i)(2−i)，则z的虚部为(

)A.−i B.−1 C.7i D.72.已知由小到大排列的4个数据1，3，4，a的极差是它们中位数的2倍，则a=(

)A.5 B.6 C.7 D.83.设x∈R，则“x=π2”是“cosx=0”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.在平行四边形ABCD中，点E满足AE=13AC，则A.23AB−13AD B.AB5.已知函数y=x2+(1+m)x+2在区间(−∞,4]上单调递减，则实数m的取值范围是A.(−∞,−9] B.[3,+∞) C.(−∞,−5] D.[7,+∞)6.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为33的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为(

)

A.24 B.243 C.277.已知m+em=e，n+3A.1<n<m<e B.1<m<n<e C.0<n<m<1 D.0<m<n<18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinA=3acosB，∠ABC的平分线交AC于点D，且A.4 B.6 C.2+22 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(1,3)，b=(−2,1)，则(

)A.|b|=5 B.(a−b)⊥b

C.a在10.已知函数f(x)=sinxcosx−A.f(x)的最小正周期为π2

B.f(x)的图象关于点(2π3,0)成中心对称

C.f(x)在区间[0,π3]上单调递增

11.已知函数f(x)的定义域为R，且f(1)=0，若f(x+y)=f(x)+f(y)+2，则(

)A.f(−2)=−6 B.f(1013)=2024

C.f(x)有最大值 D.函数f(x)+2是奇函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合A={−1,0}，B={y|y=2x,x∈A}，则A∪B的所有元素之和为

．13.若函数f(x)=3a−x,x≤2,log2x,x>2的值域为(1,+∞)，则实数14.一个三棱锥形木料P−ABC，其中底面△ABC是A=90∘，AB=2dm的等腰直角三角形，PA⊥底面ABC，二面角P−BC−A的大小为45∘，则三棱锥P−ABC的外接球表面积为

d四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2(1)求C;(2)若sinA=17，求sin16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，CD=2，AD=3．

(1)设G，H分别为PB，AC的中点，证明：GH/​/平面PAD;(2)求直线AD与平面PAC所成角的正切值．17.(本小题15分)某校举办“奋进新征程，建功新时代”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]这两个区间共抽取5名学生，则每个区间分别应抽取多少人?(2)在(1)的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[80,90)的概率;(3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前70%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.(精确到1)18.(本小题17分)已知f(x)=x2+1(1)求f(x)的解析式;(2)判断并用定义证明f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;(3)设函数ℎ(x)=x2+1x2−2t⋅f(x)(t<0)，若对任意的x119.(本小题17分)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的，该问题是“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于2π3时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=2π3的点O即为费马点;当△ABC有一个内角大于或等于2π3时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，(1)求A;(2)设点P为△ABC的费马点，若PA⋅PB+PB(3)设点P为△ABC的费马点，PB+PC=tPA，求实数t的取值范围．

答案解析1.B

【解析】解：z=(3+i)(2−i)=7−i，其虚部为−1．

故选B2.D

【解析】解：由题意，得极差为a−1，中位数为

3+42=72，

则a−1=

3.A

【解析】解：①当x=π2时，则cosx=0，∴充分性成立，

②当cosx=0时，则x=π2+kπ，k∈Z，∴必要性不成立，

∴x=π24.C

【解析】解：BE=AE−AB=5.A

【解析】解：函数y=x2+(1+m)x+2因为函数y=x2+(1+m)x+2所以−1+m2⩾4所以m的取值范围为．故选A．6.D

【解析】解：由祖暅原理知，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，

故V=17.C

【解析】解：构造函数f(x)=x+ex，g(x)=x+3x，

则f(m)=m+em=e，g(n)=n+3n=e，

易知函数f(x)，g(x)为增函数，

函数f(x)，g(x)的图象与直线y=e，如下图所示：

由图可知，0<n<m，

又f(1)=1+e>f(m)，g(1)=1+3>g(n)，所以8.D

【解析】解：∵bsinA=3acosB，∴由正弦定理可得sinBsinA=3sinAcos B，

又sinA≠0，，

根据题意，S△ABC=12acsinB=34ac，

因为∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=3，

所以S9.AC

【解析】解：对于A、|b|=4+1=5，故A正确；

对于B、，则(2a−b)·b=−6+2=−4≠0

，故B错误；

对于C、a在b上的投影向量的模为

a·bb·bb=110.BCD

【解析】解：f(x)=sinxcosx−3cos2x+32

=12sin2x−3⋅1+cos2x2+32

=12sin2x−32cos2x=sin(2x−π3)，

最小正周期T=2π2=π，故A错误;11.ABD

【解析】解：对于A，令x=y=0

，则f(0+0)=f(0)+f(0) +2，

则f(0)=−2，

令x=1，y=−1，则f(0)=f(1)+f(−1) +2，解得f(−1)=−4，则令x=−1，y=−1，f(−2)=f(−2)+f(−2)+2=−6，A正确；

对于B，因为f(x+y)=f(x)+f(y)+2，f(1)=0，f(0)=−2，

令x=y=1，

则f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2=2=2×(2−1)，

令x=1，y=2，

则f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+2=4=2×(3−1)，

以此推广得f(1+n)=f(1)+f(n)+2=2n，

故f(1+1012)=2×1012=2024，故B正确；

对于C，当f(x)=2(x−1)符合题意，此时f(x)无最大值，C错误．对于D，令y=−x

，则f(0)=f(x)+f(−x)+2=−2

，

则f(x)+2=−f(−x)−2，

则f(−x)+2=−f(x)−2=−[f(x)+2]，

又函数f(x)的定义域为R，则f(x)+2的定义域为R，

所以f(x)+2是奇函数，故D正确；

故选ABD．12.−3

【解析】解：集合A={−1,0}，B={y|y=2x,x∈A}={−2,0}，

故A∪B={−2,−1,0}，

所以A∪B的所有元素之和为−2+(−1)+0+=−3．

故答案为：−3．

13.(1,+∞)

【解析】解：当x>2时，f(x)=log2x，此时f(x)>log22=1，

故当x≤2时，有3a−x>1恒成立，

即3a>1+x在x≤214.10π

【解析】解：如图，取BC中点D，连接PD、AD，

因为PA⊥底面ABC，AB，AC，AD均在底面内，

所以PA与AB，AC，AD均垂直，

所以PB2=PA2+AB2，PC2=PA2+AC2，

因为AB=AC，所以PB=PC，所以AD⊥BC，PD⊥BC，

所以∠PDA即为二面角P−BC−A的平面角，所以∠PDA=45°，

由在直角三角形PAD中，PA=AD，

因为AB=2dm，所以BC=22dm，

所以在直角三角形ABC中，AD=2dm，

所以PA=2dm，因为PA、AB、AC两两垂直，15.解：(1)由已知得a2+b2−c2=ab，

由余弦定理a2+b2−2abcosC=c2，

则cosC=a2+b2−c22ab=ab【解析】

(1)由余弦定理得cosC=12，可得C的大小；

(2)16.(I)证明：连接BD，易知AC∩BD=H，BH=DH，又由BG=PG，故GH//PD，又因为GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以GH/​/平面PAD．(II)证明：取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得DN⊥PC，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC⋂平面PCD=PC，

DN⊂平面PCD所以DN⊥平面PAC，

连接AN，可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角．因为ΔPCD为等边三角形，CD=2且N为PC的中点，所以DN=3，又DN⊥AN，在Rt△AND中，因为AD=3，所以NA=AD2−DN2=【解析】

(1)由题意连接BD，得出得GH//PD，根据线面平行判定证出GH/​/平面PAD．

(2)取棱PC中点N，连接DN，根据题意及线面垂直的判定得出DN⊥平面PAC，连接AN，可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角，故可在中求得直线AD与平面PAC所成角的正切值．17.解：(1)依题意，设区间[ 80,90)中应抽取x人，区间[ 90,100]中应抽取y人，

得成绩在区间[80,90)中的学生人数为0.045×10×100=45;

成绩在区间[90,100]中的学生人数为0.03×10×100=30，

所以545+30=x45=y30，解得x=3，y=2，

所以区间[80,90)中应抽取3人，区间[90,100]中应抽取2人．

(2)由(1)不妨记区间[80,90)中3人为a，b，c，区间[90,100]中2人为m，n，

则从中抽取2名学生(注意分先后)的基本事件为ab，ac，am，an，ba，bc，bm，bn，ca，cb，cm，cn，ma，mb，mc，mn，na，nb，nc，nm，共20个，

其中第二个交流分享的学生成绩在区间[80,90)(记为事件A)的基本事件为ab，ac，ba，bc，ca，cb，ma，mb，mc，na，nb，nc，共12个，

故P(A)=1220=35，即第二个交流分享的学生成绩在区间[80,90)的概率为35．

(3)由频率分布直方图易得，成绩在区间[90,100]的频率为0.03×10=0.3，

成绩在区间[80,100]的频率为0.045×10+0.3=0.75，

所以成绩良好的最低分数线落在区间[80,90)内，不妨记为【解析】

(1)根据评率分布直方图可求得[80,90)，[90,100]两个区间的人数，再根据分层抽样方式即可求得答案；

(2)由古典概型的概率公式计算即可；

(3)设良好的最低分数线为x0，根据题意建立关于x18.解(1)：∵f(x)是奇函数，f(1)=2，∴f(−1)=−2

∴2−a+b=−22a+b=2，解得a=1b=0,

∴f(x)=x+1x；

(2)函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

证明如下：取x1，x2∈(0,1)且x1<x2，

f(x1)−f(x2)=(x1+1x1)−(x2+1x2)=(x1−x2)(x1x2−1x1x2)，

∵x1，x2∈(0,1)且x1<x2，

∴x1−x2<0，0<x1x2<1，即x1x2−1<0，

∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

∴函数f(x)在(0,1)上的单调递减，

当x1，x2∈(1,+∞)【解析】(1)由f(−1)=−2，f(1)=2，可得a，b的方程，解方程可得所求f(x)，

(2)函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，由单调性的定义即可证明；

(3)求得ℎ(x)的解析式，令z=x+1x，y=z2−2tz−2，结合(1)19.解：(1)因为A∈(0,π)，所以A+π3∈(π3,4π3).因为sin(A+π3)=12，所以A+π3=5π6，

即A=π2．

(2)由(1)知A=π2，所以△ABC的三个内角都小于2π3，

则由费马点定义可知∠APB=∠BPC=∠APC=2π3，如图，设|PA|=