第二节 行列式的基本性质与计算

1、返回返回12 行列式的基本性质与计算行列式的基本性质与计算一、行列式的基本性质一、行列式的基本性质 二、行列式按任一行二、行列式按任一行（列列）展开展开返回返回2定义定义3 设设 ,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD ,212221212111nnnnnnTaaaaaaaaaDD ,(1,2,.:)DDiiin 是是把把第第 行行换换到到第第 列列注注意意一、一、行列式的基本性质行列式的基本性质 (TDDD或或) )称称为为 的的转转置行列式.性质性质1.1. 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等, ,即即 .DD 返回返回3因为因为nnnnnaaaaaa

2、aD32122211100000 nnaaa2211 DDaaaaaaTnnnn 00022212111nnaaa2211 性质性质2 2. . 互换两行互换两行( (列列),),行列式改变符号行列式改变符号. . 注注：由性质由性质1可知可知, 行列式中行与列具有同等地位行列式中行与列具有同等地位, 行列式的性质凡是对行成立的行列式的性质凡是对行成立的, 对列也成立对列也成立, 反之亦然反之亦然.所以所以返回返回4注注: 换行换行:nnnjnjininaaaaaaaa111111jirr .111111nnninijnjnaaaaaaaa ;ijrr换列换列:.jicc 即即例如例如:333

3、222111zyxzyxzyx31cc .333222111xyzxyzxyz 返回返回5又如又如:321321321cccbbbaaa32rr 321321321bbbcccaaa 12rr.321321321bbbaaaccc 推论推论1.1. 若行列式若行列式 中某一行中某一行( (列列) )的所有元素均的所有元素均为零为零, ,则则 D0.D 证明证明: : 当第一行元素全为当第一行元素全为0 0时时, ,即即,00002122221nnnnnaaaaaaD 由行列式定义知由行列式定义知 D = 0;返回返回6若第若第 i 行行(i1)的元素全为的元素全为0, 即即nnnnnaaaaa

4、aD2111211000 (第第 i 行行)irr 1nnnnnaaaaaa2111211000 = 0.证毕证毕.返回返回7推论推论2. 若行列式若行列式D 中有两行中有两行( (列列) )完全相同完全相同, ,则则D=0.=0.证明证明: : 将相同的两行互换将相同的两行互换, ,有有 性质性质3. 若行列式中某行若行列式中某行( (列列) )的所有元素是两个数的所有元素是两个数的和的和, ,则则D可表示成两个新行列式之和可表示成两个新行列式之和. .即即,DD 0.D 返回返回8nnnnininiiiinnaaacbcbcbaaaaaaD2122112222111211 nnnninii

5、nnaaabbbaaaaaa21212222111211nnnniniinnaaacccaaaaaa21212222111211返回返回9证明证明:当当 i=1时，由行列式的定义知时，由行列式的定义知nnnnnnnaaaaaacbcbcb21222211112121111 jjjnjjMcb11111)()1( jjnjjMb1111)1( jjnjjMc1111)1( 返回返回10nnnnnnaaaaaabbb212222111211 nnnnnnaaaaaaccc212222111211 当当i1时，把第时，把第i行与第一行互换，再按上面的方法行与第一行互换，再按上面的方法把行列式拆成两个

6、行列式之和，然后再把这两个行把行列式拆成两个行列式之和，然后再把这两个行列式的第列式的第i行与第一行互换即可行与第一行互换即可i返回返回11.1111111111nnnininnnnininaaaaaakaakakaaa 性质性质4. 行列式中某一行行列式中某一行(列列)所有元素的公因子可所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面以提到行列式符号的外面. 即即证证:当当i=1时，由行列式的定义知时，由行列式的定义知 njjjjnnnnnnMkaaaaaaakakaka1111212222111211)()1(返回返回12 njjjjMak1111) 1(nnnnnnaaaaaaaaak21222

7、2111211 当当i1时，把第时，把第i行与第一行互换，根据上面的结论，行与第一行互换，根据上面的结论，可把第一行的公因子提到行列式外，然后再互换第一可把第一行的公因子提到行列式外，然后再互换第一行和第行和第i行，即得该命题行，即得该命题返回返回13nnniniininaakakaaaaa111111(第第 j 行行)nnniniininaaaaaaaak111111 推论推论20.(第第 i 行行)也就是也就是 推论推论3. 若行列式若行列式 D 中有某两行中有某两行(列列)对应元素成比对应元素成比例例, 则则 D=0.返回返回14 性质性质5把行列式中某一行把行列式中某一行(列列)的各元

8、素乘以常数的各元素乘以常数k 后加到另一行后加到另一行(列列)对应的元素上去对应的元素上去, 行列式保持不变行列式保持不变, 即即111211112112121211221212.nniiiniiinjjjnijijinjnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaakaakaakaaaaaaaa 返回返回15又又333222111zyxzyxzyx13krr .131313222111kzzkyykxxzyxzyx 注意注意: :333222111zyxzyxzyx13krr .333222131313zyxzyxkzzkyykxx 注注: 利用上述性质和推论可以简化行列式的运算利用上述性

9、质和推论可以简化行列式的运算,即可把行列式化成上三角即可把行列式化成上三角(或下三角或下三角)行列式来计算行列式来计算.返回返回16例例1. 计算计算.3351110243152113 D解解:D21cc 3315112043512131 12rr 145rr 72160112064802131 返回返回1732rr 72160648011202131 234rr 248rr 1510001080011202131 3445rr 250001080011202131 .4025821 返回返回18例例2. 计算计算.2324323631063abcdaababcabcdDaababcabcda

10、ababcabcd 解解: : 从第四行开始从第四行开始, 后行减去前行后行减去前行, 得得0022320363abcdaababcaaabcaababcD3221rrrr 43rr 返回返回194332rrrr 0002003abcdaababcaabaab 0002000abcdaababcaaba 43rr 4.a 返回返回20例例3. 计算计算n 阶行列式阶行列式 .abbbbabbDbbabbbba 解解: 此行列式的特点是各行此行列式的特点是各行 n 个数之和均为个数之和均为a+(n-1)b, 故把第二列至第故把第二列至第 n 列都加到第一列上去列都加到第一列上去:返回返回21 a

11、bbbnababbnabbabnabbbbna1111 D12cc 13cc 1ncc 21rr 31rr 1nrr 1000000000anbbbbababab 1(1) ().nanb ab 返回返回22解法二解法二(镶边法镶边法) 当当a,b相等时，行列式为相等时，行列式为0,当当a,b不等不等时时abbbbbabbbbbabbbbbabD00001 babbabbabbab 00000000000011111返回返回231111110000100()00100001nababababbbabbbnbabababababanb)(1000001000001000001011111 1)(

12、)1()(1( nnbabnababanb返回返回24例：计算例：计算)4 , 3 , 2 , 1, 0(4321 ixxaaaaxaaaaxaaaaxDi43214321000011111111100001xaaaaxaaaaxaaaaxxaaaaxaaaaxaaaaxD 解：解：返回返回251000101001001010001111111)()()(00000000000011111432143214321 axaxaxaxaaxaxaxaxaaxaaxaaxaaxa10000010000010000010111111)()()(4321414321axaxaxaxaxaaxaxaxax

13、aii 返回返回26)11)()()()(414321 iiaxaaxaxaxaxa)1)()()()(414321 iiaxaaxaxaxax返回返回271112133212223111112121313111313233.jjjaaaaaaa Aa Aa Aa Aaaa 引理引理 一个一个n阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第i行行( (或第或第j列列) )所所有元素除有元素除 外都为零，那末此行列式等于外都为零，那末此行列式等于 与它的代与它的代数余子式的乘积，即数余子式的乘积，即 ijaija.ijijDa A 二、行列式按任一行二、行列式按任一行( (列列) )展开展开 根据行列

14、式的定义和性质根据行列式的定义和性质1, 我们知道行列式等于我们知道行列式等于它的第一行它的第一行(列列)的各元素与它们对应的代数余子式的的各元素与它们对应的代数余子式的乘积之和乘积之和. 事实上可以证明更一般的结论事实上可以证明更一般的结论. 为此先证明以下为此先证明以下引理引理.例如例如返回返回28也就是也就是: 若若11121121222212,000jnjnijnnnjnnaaaaaaaaDaaaaa则则.ijijAaD 返回返回29(1). 当当 位于第一行第一列的情形位于第一行第一列的情形, 即即ija21222121100.nnnnnaaaDaaaa 证明证明: 先证先证由定义由

15、定义, 按第一行展开得按第一行展开得.1111111111)1(AaMaD (2). 再证一般情形再证一般情形(第第 i 行除行除 外外,其它元素全为其它元素全为零零), 此时此时ija返回返回301111100 .ijjnnnjnnaaaaDaaa 1,2,1,Diii 将将 的的第第 行行依依次次与与第第行行交交换换得得11,11,1,100( 1).iiijinnnijnjnaaDaaaaa 返回返回311,2,1Djjj 然然后后再再将将 的的第第 列列依依次次与与第第列列交交换换, ,111111100( 1)( 1)jnijnjnjnniaaaDaaaa 211( 1)( 1).i

16、jijDD 其中其中11111100.jijnnjnnnaaaDaaaa 得得返回返回3211111100.jijnnjnnnaaaDaaaa 111111, 00,(1)ijijjnijnnjnnijDaaaaDijaaaaaM 由由上上式式可可知知中中第第一一行行第第一一列列的的元元素素的的余余子子式式就就是是中中第第 行行第第 列列的的元元素素的的余余子子式式因因此此由由的的证证明明得得返回返回331.ijijDa M 于是于是1( 1)( 1)ijijijijDDa M ( 1)ijijijaM .ijija A 证毕证毕. 定理一定理一. . 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行

17、( (列列) )的各元素与的各元素与它们对应的代数余子式乘积之和，即它们对应的代数余子式乘积之和，即1122(1,2, ),iiiiininDa Aa Aa Ain行列式按行（列）展开法行列式按行（列）展开法或或1122(1,2, ).jjjjnjnjDa AaAa Ajn 证明证明: 把行列式把行列式 D 的第的第 i 行的每个元素按下面的行的每个元素按下面的方式拆成方式拆成 n 个数的和个数的和, 再根据性质再根据性质3, 可将可将 D 表示成表示成 n 个行列式之和个行列式之和:返回返回3411121121200 0000niiinnnnnaaaaaaDaaa nnnninaaaaaaa

18、2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 1122(1,2, ).iiiiinina Aa Aa Ain引理引理返回返回35证毕证毕.同理同理, 若按列证明若按列证明, 可得可得1122(1,2, ).jjjjnjnjDa Aa Aa Ajn 推论推论. . 行列式任一行行列式任一行( (列列) )的元素与另一行的元素与另一行( (列列) )的的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220();ijijinjna Aa Aa Aij 112210().ijijnnja Aa A

19、a Aij 证明证明: 不妨设不妨设 i j, 考虑辅助行列式考虑辅助行列式返回返回36nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaaD212121112111第第 i 行行第第 j 行行其中第其中第i行与第行与第 j行对应元素相同行对应元素相同, 11122,ijijinjnDa Aa Aa A 10;D 故故又将又将 按第按第 j行展开行展开,有有1D于是得于是得11220().ijijinjna Aa Aa Aij 返回返回37上述证法按列进行上述证法按列进行, 同理可同理可得得112210().ijijnnja Aa Aa Aij 证毕证毕.小结小结: 关于代数余子式的性质有关于代

20、数余子式的性质有:(1).1122,(),0,().ijijinjnDija Aa Aa Aij (2).1122,(),0,().ijijninjDija Aa Aa Aij 或简写成或简写成:1, (),(1).0,().nikjkkDija Aij 1, (),(2).0,().nkikjkDija Aij 返回返回38.3351110243152113 D例例1. 利用定理一计算前面的例利用定理一计算前面的例1 1解解: :03550100131111115 132cc 34cc D0551111115) 1(33 返回返回39055026115 5526)1(31 8205 .40

21、12rr 0551111115) 1(33 12cc 返回返回40例例2 2. 计算计算.2dcdcbabaDn0000解解: 按第一行展开按第一行展开,有有返回返回41000) 1(0021cdcdcbababddcdcbabaan 12 n22 n22 n12 n221)12(22)12()12() 1() 1( nnnnnDbcDad返回返回4222)( nDbcad222)( nnDbcadD递推公式递推公式)1(22)( nnDbcadD)2(22)( nDbcad)3(23)( nDbcad)1(21)( nnnDbcad21)(Dbcadn dcbaD 2bcad .)( 2nn

22、bcadD故故返回返回43例例3.证明范德蒙证明范德蒙(Vandermonde)行列式行列式1222212111112111().nnnijn i jnnnnxxxxxxDxxxxx 说明说明:).( )()( )()()(1223113121 nnnnjinjixxxxxxxxxxxxxx返回返回44234222234111: xxxxxx例例如如).)()(342423xxxxxx 下面我们来证明下面我们来证明范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式行列式.证明证明: 用数学归纳法用数学归纳法.21211Dxx , )(12 jijixx 1nn 现现在在假假设设命命题题对对于于阶阶范

23、范德德蒙蒙行行列列式式成成立立，要要证证明明对对 阶阶范范德德蒙蒙行行列列式式也也成成立立. .1,nx从从第第 行行开开始始 后后行行减减去去前前行行的的 倍倍, ,有有因为因为2n 所所以以当当时时命命题题成成立立12xx 返回返回452131122133112222213311111100()()() .0()()()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxx 1() (2, )ixxin 按按第第一一列列展展开开，并并把把每每列列的的公公因因子子提提出出来来，就就有有232131122223111()()()nnnnnnnxxxDxxxxxxxxx213111()()(),nnxxxxxx D 返回返回46231222231111nnnnnnxxxDnxxx 其其中中是是阶阶范范德德蒙蒙行行列列式式, ,213112()()()()nnijn ijDxxxxxxxx ).(1jjinixx 按归纳法假设按归纳法假设, 有有12(),nijn ijDxx 故故返回返回47常见的行列式计算法常见的行列式计算法1.用定义用定义2.化为三角行列式化为三角行列式3.每行每行(列列)元素之和为同一常数元素之和为同一常数4