对数及其运算

1、书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！3.2.1对数及其运算对数及其运算勤劳的孩子展望未来勤劳的孩子展望未来, 但懒惰的孩子享受现在但懒惰的孩子享受现在!第一课时第一课时一、复习引入一、复习引入 小学到初中，我们对数的运算有了深入的了解，小学到初中，我们对数的运算有了深入的了解，加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等运算已经加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等运算已经成为我们所熟知的了。我们知道：加法与减法、乘成

2、为我们所熟知的了。我们知道：加法与减法、乘法与除法、乘方与开方之间是法与除法、乘方与开方之间是互逆的运算互逆的运算。 进入高中我们对进入高中我们对指数运算指数运算也有了一个全新的认也有了一个全新的认识，对于指数运算推广到了识，对于指数运算推广到了指数幂为实数指数幂为实数的形式了。的形式了。指数运算的逆运算又是什么呢？指数运算的逆运算又是什么呢？抽象出：抽象出： 5112321.;10.1252x一、问题：x=?1、庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。、庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。（1）取）取5次，还有多长？次，还有多长？（2）取多少次，还有）取多少次，还有0.125尺？尺？2 2、假设

3、、假设20022002年我国国民生产总值为年我国国民生产总值为a a亿元，如果亿元，如果每年平均增长每年平均增长8%8%，那么经过多少年国民生产总值，那么经过多少年国民生产总值是是20022002年的年的2 2倍？倍？抽象出：抽象出：1 8%2xx=?x=?1 1、对数的定义、对数的定义：一般地，如果：一般地，如果a(aa(a0,a1)0,a1)的的b次幂等于次幂等于N, 就是就是a ab b=N =N 那么数那么数 b叫做以叫做以 a为底为底 N的对数，的对数， 记作记作 ，a a叫做对叫做对数的底数，数的底数，N N叫做真数。叫做真数。. . logbNaaNblogaN .注意底数的限制

4、，注意底数的限制， a0且且 a 1;. 注意对数的书写格式注意对数的书写格式说说明明 logaN b?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N对数式与指数式的互化对数式与指数式的互化:负数和零没有对数；表达形式表达形式abN对应的运算对应的运算ab=NbN=alogaN=b底数底数方根方根底数底数指数指数根指数根指数对数对数幂幂被开方数被开方数真数真数乘方，乘方，由由a，b求求N开方，开方，由由N，b求求a对数，对数，由由a，N求求b比较指数式、根式、对数式：比较指数式、根式、对数式：（1）开方运算、对数运算都是指数运算的逆运算。）开方运算、对数运算都是指数运算的逆运

5、算。（2）弄清对数式与指数式的互换是掌握对数意义及运算的关键）弄清对数式与指数式的互换是掌握对数意义及运算的关键例例1:将下列指数式写成对数式：将下列指数式写成对数式：例例2:将下列对数式写成指数式：将下列对数式写成指数式：431(1) 216 ;(2) 3;271(3) 520 ;(4) ( )0.45;2ab51310(1) log 1253 ;(2) log32 ;(3) log1.069.a 例例3:3:求下列各式的值：求下列各式的值：29(1)log 64;(2) log 27 ; .为什么对数的定义中要求底数为什么对数的定义中要求底数a0且且 a 1 ；. .是否是所有的实数都有对

6、数呢？是否是所有的实数都有对数呢？思考：思考：31(2) 10;10000(4)1 ;(1) 26.2=73.5167;(3) 0.53=0.125 ;课堂练习将下列指数式写成对数式：将下列指数式写成对数式：. .常用对数（常用对数（common logarithm）：以）：以10为底的对数为底的对数log10N, . 自然对数（自然对数（natural logarithm）：以无理）：以无理数数e=2.71828 为底的对数的对数为底的对数的对数logeN ;两个重要对数：两个重要对数：简记为简记为: lgN . 简记简记为为: lnN . (在科学技术中在科学技术中,常常使用以常常使用以e

7、为底的为底的对数对数)2(1) log 62.5850 ;3(2) log 0.80.2031 ;(3) lg30.4771 ;(4) ln3 1.0986 ;课堂练习将下列对数式写成指数式：将下列对数式写成指数式：巩固练习：P97/1、2、3、4、5求下列各式的值：求下列各式的值：探索与发现：探索与发现：(1) log31= 0(2) lg1= 00(3) log0.51=0(4) ln1=你发现了什你发现了什么么?“1”的对数等于的对数等于零零,即即loga1=0求下列各式的值：求下列各式的值：探索与发现：探索与发现：(1) log33= 1(2) lg10=11(3) log0.50.5

8、=1(4) lne=你发现了什你发现了什么么?底数的对数等于底数的对数等于“1”,即即logaa=1求下列各式的值：求下列各式的值：探索与发现：探索与发现：你发现了什你发现了什么么?2log 3(1) 27log 0.6(2) 70.4log89(3) 0.430.689 logaNaN对数恒等式：对数恒等式：求下列各式的值：求下列各式的值：探索与发现：探索与发现：你发现了什么? 对数恒等式：对数恒等式：lognaan43(1) log 3 50.9(2) log0.9 8(3) lne 458对数的基本性质对数的基本性质1.1.负数和零没有对数；负数和零没有对数；2 2. .“1 1”的对数

9、等于的对数等于零零, ,即即logloga a1=1=0 03.3.底数的对数等于底数的对数等于“1 1”, ,即即logloga aa a=1=14.4. logaNaN对数恒等式：对数恒等式：5. 5. 对数恒等式：对数恒等式：lognaan(1)已知已知x满足等式满足等式532log log (log)0,.x 16求log x的值(2)求值：求值：2.51log 6.25 lgln100e(3)已知已知log 2,log 3,.aaxy3x+2y求 a 的值93222log 51 2log 42log 5log 32233(4) 求下列各式的值思考题:三、归纳小结，强化思想三、归纳小结

10、，强化思想1、 引入对数的必要性；引入对数的必要性；2 、指数与对数的关系；、指数与对数的关系；3、 对数的基本性质对数的基本性质四、布置作业：四、布置作业：P60 习题习题2.3(1)1、2、3、4第二课时第二课时?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N一般地，如果一般地，如果 0,1a aa的的b次幂等于次幂等于N, 就是就是 baN，那么数，那么数 b叫做叫做以以a为底为底 N的的对数对数，记作，记作 logaNba叫做对数的叫做对数的底数底数，N叫做叫做真数真数。定义：定义：有关性质有关性质： 负数与零没有对数（负数与零没有对数（在指数式中在指数式中 N 0

11、） log 10,alog1,aa 对数恒等式对数恒等式log,aNaNlognaan333log 1log 3log 27lnlg100lg 2lg5e课前练习课前练习:43?对数的运算性质对数的运算性质两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差log ()loglogaaaMNMNlogloglogaaaMMNNloglog()naaMnM nR语言表达语言表达:一个正数的一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数次方的对数等于这个正数的对数n倍倍如果如果 a 0，a 1，M

12、 0， N 0 有：有：对数的运算性质对数的运算性质说明说明:2) 2) 有时可逆向运用公式有时可逆向运用公式3)3)真数的取值必须是真数的取值必须是(0,(0,) )4)4)注意注意log ()aMNloglogaaMNlog ()aMNloglogaaMN1) 1) 简易语言表达简易语言表达:”:”积的对数积的对数= =对数的和对数的和”例例1 计算计算（1） （2） 572log (24 )5lg 100讲解范例讲解范例 解解 :572log (24 )52log 272log 452log 2142log 2=5+14=19解解 : :21lg1052lg105255lg 100例例2

13、 讲解范例讲解范例 解（解（1） 解（解（2） 用用 log,axlog,aylogaz表示下列各式：表示下列各式： 23(1)log;(2)logaaxyxyzzloglog ()logaaaxyxyzz23logaxyzlogloglogaaaxyz11232logloglogaaaxyz112logloglog23aaaxyz11232log ()logaax yz（1） 7lg142lglg7lg183例例3计算：计算： 解法一：解法一： 7lg142lglg7lg18327lg14lg( )lg7lg183214 7lg7( )183lg1027lg(2 7)2lg3lg7lg(2

14、3 )lg2lg72(lg7lg3)lg7(lg22lg3)07lg142lglg7lg183解法二：解法二： 1 若若lglg2lg3lg ,xabc则_x661log 12log22 的值为的值为_22log84 3log84 3_提高练习提高练习:23abc122解得：解得： 或或13x 解解: :原方程可化为原方程可化为444log (31)log (1)log (3).xxx31(1)(3)xxx 13x 220 xx2x ( (舍去舍去) )2x 2.2.解方程解方程1x 方程的解是方程的解是证明证明: : , , 则则 两边取以两边取以m m 为底的对数：为底的对数：从而得：从而

15、得： 3.3.对数换底公式：对数换底公式： ( a 0 ,a ( a 0 ,a 1 1 ，m 0 ,m m 0 ,m 1,N0) 1,N0) logloglogmamNNaxaNlo glo gmmNxalogloglogmamNNaloglogloglogxmmmmaNxaNlogaNx2.2.两个常用的推论两个常用的推论: : ， （ a, b 0a, b 0且均不为且均不为1 1）证：证：logloglog1abcbcaloglogmnaanbbmlglgloglog1lglgabbabaab lglglogloglglgmnnamabnbnbbamamloglog1abba三、讲解范例

16、：三、讲解范例： 例例1 1 求求loglog8 89.log9.log27273232的值的值 分析：利用换底公式统一底数：分析：利用换底公式统一底数： 一般情况下，可换成常用对数，也可根据真、一般情况下，可换成常用对数，也可根据真、底数的特征，换成其它合适的底数底数的特征，换成其它合适的底数例例3 3计算：计算： 例例2.2.已知已知 , ,用用 a, b a, b 表示表示 23log 3,log 7ab42log 56解：因为解：因为 则则 , , 又又 , , 2log 3a31log 2a3log 7b33342333log 56log 73 log 23log 56log 42log 7log 211ababb0.21 log3544912log 3 log 2 log320.251log3log3555151553232115153log 3log 2log 2224442解：原式解：原式 = = 原式原式 = = 对数的运算性质对数的运算性质logloglogaaaMMNNloglog()naaMnM nR1 如果如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：有： 课堂小结课堂小结:log ()loglogaaaMNMN2 2 对数运算性质的功能主要有两个：对数运算性质的功能主