全国各地中考数学分类解析总汇 点直线与圆的位置关系

1、点直线与圆的位置关系一、选择题中国#&教育出版*网9题图1、（2015重庆A9，4分）如图，AB是的直径，点C在上，AE是的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D，若AOC=80°，则ADB的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 20°考点：切线的性质 分析：由AB 是O 直径，AE 是O 的切线，推出AD AB， DAC= B= AOC=40°， 推出AOD=50° 解答：解：AB 是O 直径，AE 是O 的切线， BAD=90°， B= AOC=40°， ADB=9

2、0°B=50°， 故选B 点评：本题主要考查圆周角定理、切线的性质，解题的关键在于连接AC，构建直角三角形， www&.zz*st# 求B 的度数 2. （2015齐齐哈尔,第6题3分）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（） A 8AB10 B 8AB10 C 4AB5 D 4AB5来源:*中国教育出版网&#考点： 直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理分析： 此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8若大圆的弦AB与小圆

3、有公共点，即相切或相交，此时AB8；又因为大圆最长的弦是直径10，则8AB10解答： 解：当AB与小圆相切，来源:zzst%ep.c#om&中国教育出版网&*%大圆半径为5，小圆的半径为3，AB=2=8大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，来源*:&中教网中&国教育*出版网#8AB10中国#教*育&出版网故选：A来源:zzstep.c%&#om点评： 本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析有公共点时的弦长来源:中国%教育&*出版网3（2015湖南张家界，第2题3分）如图，O=30

4、°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（） A 相离 B 相交 C 相切 D 以上三种情况均有可能考点： 直线与圆的位置关系www.z%zst&分析： 利用直线l和O相切d=r，进而判断得出即可www.%zzste&p.co#m解答： 解：过点C作CDAO于点D，O=30°，OC=6，DC=3，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切故选：C点评： 此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d与r的关系是解题关键4（4分）（2015黔西南州）（第6题）如图，点P在O外，PA、PB分别与O相

5、切于A、B两点，P=50°，则AOB等于（） A 150° B 130° C 155° D 135°考点： 切线的性质分析： 由PA与PB为圆的两条切线，利用切线性质得到PA与OA垂直，PB与OB垂直，在四边形APBO中，利用四边形的内角和定理即可求出AOB的度数解答： 解：PA、PB是O的切线，PAOA，PBOB，PAO=PBO=90°，P=50°，AOB=130°故选B点评： 此题考查了切线的性质，以及四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键中国教育出&%版网#二、填空题来源:z%zstep

6、.&co*m1 （2015贵州省贵阳,第15题4分）小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与AB，CD分别相切于点N，M现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切时，光盘的圆心经过的距离是来源:z*%考点：切线的性质；轨迹.专题：应用题来源:z*z#step%.com分析：根据切线的性质得到OH=PH，根据锐角三角函数求出PH的长，得到答案www.*zzs&tep.c#om解答：解：如图，当圆心O移动到点P的位置时，光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切，切点为Q，ONAB，PQAB

7、，ONPQ，ON=PQ，OH=PH，在RtPHQ中，P=B=60°，PQ=1，PH=，则OP=，故答案为：点评：本题考查的是直线与圆相切的知识，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键2. （2015甘南州第24题 4分）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是8AB10中*国教&%育#出版网来&#源:%中国教育出版网考点： 直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理专题： 计算题分析： 解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小当AB与小圆相切时有一个公共点，此时可知AB最小；当AB经过同心圆的圆

8、心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围来源%:中*&教网解答： 来源:zz&st*ep#.com解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D，连接OA，OD，可得ODAB，D为AB的中点，即AD=BD，在RtADO中，OD=3，OA=5，AD=4，AB=2AD=8；来源%:中国教育出版#网*来源#:*中&教网%当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB=10，中国#教育出&版网%所以AB的取值范围是8AB10故答案为：8AB10来源&:*中教%网点评： 此题考查了直线与圆的位置关系

9、，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，以及切线的性质，其中解题的关键是抓住两个关键点：1、当弦AB与小圆相切时最短；2、当AB过圆心O时最长三、解答题1. （2015宁德 第23题 4分）如图，已知AB是O的直径，点C，D在O上，点E在O外，EAC=B（1）求证：直线AE是O的切线；（2）若D=60°，AB=6时，求劣弧的长（结果保留）来源#:zzst*%来源&:*中国教育出版网来%#源&:中教网考点：切线的判定；弧长的计算.分析：（1）根据圆周角定理可得ACB=90°，进而可得CBA+CAB=90°，由EAC=B可得CAE+BAC=90°

10、，从而可得直线AE是O的切线；（2）连接CO，计算出AO长，再利用圆周角定理可得AOC的度数，然后利用弧长公式可得答案解答：解：（1）AB是O的直径，ACB=90°，中国#教*&育出版网CBA+CAB=90°，EAC=B，来源&:中*国教育出版网#CAE+BAC=90°，来源:%&即 BAAEAE是O的切线（2）连接CO，w*#ww.zzsAB=6，来源:zzst&ep.co%mAO=3，D=60°，AOC=120°，中国教育*出&#版网=2来源:中%教&网#点评：此题主要考查

11、了切线的判定和弧长计算，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）2. （2015酒泉第27题 8分）已知ABC内接于O，过点A作直线EF（1）如图所示，若AB为O的直径，要使EF成为O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）：BAE=90°或者EAC=ABC来%源:z&z#（2）如图所示，如果AB是不过圆心O的弦，且CAE=B，那么EF是O的切线吗？试证明你的判断w#ww.zz&st来源*:&中教%网考点：切线的判定分析：（1）求出BAE=90°，再根据切线

12、的判定定理推出即可；（2）作直径AM，连接CM，根据圆周角定理求出M=B，ACM=90°，求出MAC+CAE=90°，再根据切线的判定推出即可解答：解：（1）BAE=90°，EAC=ABC，理由是：BAE=90°，AEAB，AB是直径，EF是O的切线；AB是直径，ACB=90°，ABC+BAC=90°，EAC=ABC，BAE=BAC+EAC=BAC+ABC=90°，即AEAB，AB是直径，EF是O的切线；（2）EF是O的切线 证明：作直径AM，连接CM，则ACM=90°，M=B，M+CAM=B+CAM=90

13、6;，CAE=B，CAM+CAE=90°，AEAM，AM为直径，EF是O的切线点评：本题考查了圆周角定理，切线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线3. （2015福建 第23题 10分）已知：AB是O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在O上，连接PQ（1）如图，线段PQ所在的直线与O相切，求线段PQ的长；（2）如图，线段PQ与O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；求线段PQ的长考点：圆的综合题.中国%&教*育出版网分析：（1）如图，连接

14、OQ利用切线的性质和勾股定理来求PQ的长度（2）如图，连接BC利用三角形中位线的判定与性质得到BCOQ根据圆周角定理推知BCAC，所以，OQAC（3）利用割线定理来求PQ的长度即可解答：解：（1）如图，连接OQ线段PQ所在的直线与O相切，点Q在O上，OQOP又BP=OB=OQ=2，中%国教育出版*网PQ=2，即PQ=2；（2）OQAC理由如下：如图，连接BCBP=OB，来源*:zzstep.c&om点B是OP的中点，又PC=CQ，点C是PQ的中点，BC是PQO的中位线，BCOQ来源:中国教#育%出版网又AB是直径，www.zzstep#*.comACB=90°，即BCAC，O

15、QAC（3）如图，PCPQ=PBPA，即PQ2=2×6，解得PQ=2点评：本题考查了圆的综合题掌握圆周角定理，三角形中位线定理，平行线的性质，熟练利用割线定理进行几何计算中%&国#教育出版网来源:中教&%*网4. （2015甘南州第21题 9分）五边形ABCDE中，EAB=ABC=BCD=90°，AB=BC，且满足以点B为圆心，AB长为半径的圆弧AC与边DE相切于点F，连接BE，BD（1）如图1，求EBD的度数；（2）如图2，连接AC，分别与BE，BD相交于点G，H，若AB=1，DBC=15°，求AGHC的值中国%教育&出版网来源:z%zs

16、tep.&co*m考点：来源:*中国#教育出版网切线的性质；相似三角形的判定与性质.分析：（1）如图1，连接BF，由DE与B相切于点F，得到BFDE，通过RtBAERtBEF，得到1=2，同理3=4，于是结论可得；（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，由ABEPBC，得到PB=BE=，求出PF=，通过AEGCHD，列比例式即可得到结果解答：www.zzst%e#解：（1）如图1，连接BF，DE与B相切于点F，BFDE，在RtBAE与RtBEF中，来源&:中*#教网RtBAERtBEF，1=2，同理3=4，www.%z&zst*e#ABC=90°，2+

17、3=45°，即EBD=45°；（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，4=15°，来源:中国教&育出版网%#由（1）知，3=4=15°，1=2=30°，PBC=30°，EAB=PCB=90°，AB=1，AE=，BE=，在ABE与PBC中，ABEPBC，PB=BE=，PF=，来源:中国教育%出版#网P=60°，DF=2，CD=DF=2，EAG=DCH=45°，AGE=BDC=75°，来&源:%中*教网AEGCHD，AGCH=CDAE，来源&:中*国教育%出版网来源%

18、:中*教网AGCH=CDAE=（2）=来&%源:中教网来源:z#zstep&.c%om*来#源%:中*教网点评：本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，画出辅助线构造全等三角形是解题的关键5. （2015甘南州第10题 10分）如图，在ABC中，C=90°，AC+BC=8，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的O分别与AC，BC相切于点D，E（1）当AC=2时，求O的半径；（2）设AC=x，O的半径为y，求y与x的函数关系式来源:&中*教%#网考点： 切线的性质；三角形的面积专题： 压轴题分析： （1）连接OD，OE，由ABC是直角三

19、角形，以O为圆心的O分别与AC，BC相切于点D，E，可知ODBC，在ADO中，解得半径（2）由题意可知，ODBC，AOD=B，则两角正切值相等，进而列出关系式解答： 解：（1）连接OE，OD，在ABC中，C=90°，AC+BC=8，AC=2，BC=6；www#%.*以O为圆心的O分别与AC，BC相切于点D，E，来%源#:*中教网四边形OECD是正方形，tanB=tanAOD=，解得OD=，来源:中国教育出版*网&圆的半径为；（2）AC=x，BC=8x，来&源:中*教#网在直角三角形ABC中，tanB=，www.zz%step#.com以O为圆心的O

20、分别与AC，BC相切于点D，E，四边形OECD是正方形来源#%:中教网*tanAOD=tanB=，来源:中&#教网解得y=x2+x点评： 本题主要考查切线的性质和解三角形的相关知识点，不是很难6. （2015，广西柳州，25，10分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与ABC的外接圆O恰好相切于点A，边CD与O相交于点E，连接AE，BE（1）求证：AB=AC；（2）若过点A作AHBE于H，求证：BH=CE+EH考点：切线的性质；平行四边形的性质分析：（1）根据弦切角定理和圆周角定理证明ABC=ACB，得到答案；www.%zzstep*.com（2）作AFCD于F，证明AEHAE

21、F，得到EH=EF，根据ABHACF，得到答案解答：证明：（1）AD与ABC的外接圆O恰好相切于点A，ABE=DAE，又EAC=EBC，来源:%#*DAC=ABC，ADBC，DAC=ACB，中国教&育#出*版网ABC=ACB，AB=AC；（2）作AFCD于F，四边形ABCE是圆内接四边形，ABC=AEF，又ABC=ACB，来源:中国教育出版&网#AEF=ACB，又AEB=ACB，w%ww.*zz#stAEH=AEF，在AEH和AEF中，AEHAEF，EH=EF，CE+EH=CF，在ABH和ACF中，ABHACF，来&源:*%BH=

22、CF=CE+EH中国#教&育出版网点评：本题考查的是切线的性质和平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，运用性质证明相关的三角形全等是解题的关键，注意圆周角定理和圆内接四边形的性质的运用7. （2015，福建南平，22，分）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD（1）求证：BAD=BDC；（2）若BDC=28°，BD=2，求O的半径（精确到0.01）www.z#zste%中国#教育%出版网中*国教&育%#出版网考点：切线的性质；解直角三角形分析：（1）连接OD，利用切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行

23、证明即可；（2）根据三角函数进行计算即可解答：证明：（1）连接OD，如图，www&.z%zstep*.comCD与半圆O相切于点D，ODCD，来源:zz&step%.#comCDO=90°，即CDB+BDO=90°，来%源:中教网#*AB是半圆O的直径，ADB=90°，即ADO+BDO=90°，中国%&*教育出版网CDB=ODA，OD=OA，ODA=BAD，BAD=BDC；（2）BAD=BDC=28°，在RtABD中，sinBAD=，AB=，O的半径为点评：此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质和直径的性质转化为角的关

24、系进行分析中#国教育出版网&%来源&:中教网*#8. （2015，广西钦州，25，8分）如图，AB为O的直径，AD为弦，DBC=A（1）求证：BC是O的切线；（2）连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC=，AD=3，求直径AB的长考点：切线的判定.来源%:中国教育&*出版网分析：（1）由AB为O的直径，可得D=90°，继而可得ABD+A=90°，又由DBC=A，即可得DBC+ABD=90°，则可证得BC是O的切线；中国教&育出#*版网（2）根据点O是AB的中点，点E时BD的中点可知OE是ABD的中位线，故ADOE，则A

25、=BOC，再由（1）D=OBC=90°，故C=ABD，由tanC=可知tanABD=，由此可得出结论解答：（1）证明：AB为O的直径，D=90°，ABD+A=90°，来源:zzst%ep.c&*omDBC=A，中国#教育*出%版网来源%:*中#国教育出版网DBC+ABD=90°，即ABBC，BC是O的切线；（2）点O是AB的中点，点E时BD的中点，中国教%育出版#&网OE是ABD的中位线，来源*:zzstep.c&omADOE，中&国教育*%出#版网A=BOC、由（1）D=OBC=90°，来源:zzste#&am

26、p;*C=ABD，tanC=，tanABD=，解得BD=6，AB=3来%&源:中#教网点评：本题考查的是切线的判定，熟知经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解答此题的关键9. （2015，广西玉林，23，9分）如图，在O中，AB是直径，点D是O上一点且BOD=60°，过点D作O的切线CD交AB的延长线于点C，E为的中点，连接DE，EB来源#:%*中教网（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为6，求O的半径r考点：切线的性质；平行四边形的判定；扇形面积的计算分析：（1）由BOD=60°E为的中点，得到，于是得到DEBC，根据CD

27、是O的切线，得到ODCD，于是得到BECD，即可证得四边形BCDE是平行四边形；（2）连接OE，由（1）知，得到BOE=120°，根据扇形的面积公式列方程即可得到结论解答：解：（1）BOD=60°，AOD=120°，=，E为的中点，DEAB，ODBE，即DEBC，CD是O的切线，ODCD，BECD，四边形BCDE是平行四边形；（2）连接OE，由（1）知，BOE=120°，阴影部分面积为6，=6，r=6点评：本题考查了切线的性质，平行四边形的判定，扇形的面积公式，垂径定理，证明是解题的关键来*%源:#zzstep&.com10. （2015，广西河

28、池，21，10分）如图,AB为O的直径,COAB与O,D在O上，连接BD,CD,延长CD与AB的延长线交于E,F在BE上,且FD=FE.(1)求证:FD是O的切线; (2)若AF=8,tanBDF=,求EF的长.来源:zzst%ep#*.com第25题(1)证明:连接OD, COAB,来源:中国&%#教育出版网* E+C=90°, DFO为EFD的外角,且FD=FE,ODC为EOD的外角,且OD=OC,DFO=E+EDF=2E,DOF+E=ODC=C,得DOF+E+DFO=C+2E,即DOF+DFO=C+E=90°,FD是O的切线.(2)解:连接AD,如图

29、,AB为O的直径,中国教#*育%&出版网ADB=90°,A+ABD=90°,OB=OD,OBD=ODB,A+ODB=90°,www.#zzs%teBDF+ODB=90°,A=BDF,而DFB=AFD,ww&w.zzste*#FBDFDA,=,在RtABD中,tanA=tanBDF=,=,DF=2,EF=2.11（10分）（2015内蒙古赤峰22，10分）如图，AB为O的直径，PD切O于点C，与BA的延长线交于点D，DEPO交PO延长线于点E，连接PB，EDB=EPB（1）求证：PB是的切线（2）若PB=6，DB=8，求O的半径考

30、点：切线的判定与性质专题：计算题分析：（1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似，利用相似三角形对应角相等得到OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PDPC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径解答：（1）证明：在DEO和PBO中，EDB=EPB，DOE=POB，OBP=E=90°，OB为圆的半径，ww%w.zzs&PB为圆O的切线；来*源:中国教育出&

31、版网（2）解：在RtPBD中，PB=6，DB=8，根据勾股定理得：PD=10，PD与PB都为圆的切线，PC=PB=6，DC=PDPC=106=4，来源%:中国教#育出版网在RtCDO中，设OC=r，则有DO=8r，根据勾股定理得：（8r）2=r2+42，解得：r=3，则圆的半径为3中#国教%育出&版网点评：此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键12. （2015梧州,第20题6分）已知AB是O的直径，CD是O的弦，AB与CD交于E，CE=DE，过B作BFCD，交AC的延长线于点F，求证：BF是O的切线中国教育&#出*版网中国教#育出版*网&

32、amp;考点： 切线的判定所有专题： 证明题来源&:中教网%分析： 根据垂径定理得出ABCD，再利用平行线的性质得出BFAB即可证明解答： 证明：AB是O的直径，CD是O的弦，AB与CD交于E，CE=DE，来源:中%#&教网ABCD，BFCD，BFAB，BF是O的切线点评： 此题考查切线的判定，关键是根据垂径定理得出ABCD，再利用平行线的性质得出BFAB13. （2015河北,第26题14分）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且DOQ=60°，OQ=0D=3，OP=2，OA=AB=1让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线

33、段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为（0°60°）来*源:zzstep.&com发现：（1）当=0°，即初始位置时，点P在直线AB上（填“在”或“不在”）求当是多少时，OQ经过点B（2）在OQ旋转过程中，简要说明是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；（3）如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a及S阴影拓展：来*源:%zzstep.&com如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围来源:&中国教育#*出版网探究：当半圆K与矩形A

34、BCD的边相切时，求sin的值考点： 圆的综合题分析： （1）在，当OQ过点B时，在RtOAB中，AO=AB，得到DOQ=ABO=45°，求得=60°45°=15°；来源#:%中&教*网（2）如图2，连接AP，由OA+APOP，当OP过点A，即=60°时，等号成立，于是有APOPOA=21=1，当=60°时，P、A之间的距离最小，即可求得结果www.zz%step#.com（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PHAD于点H，过点R作REKQ于点E，在RtOPH中，PH=AB=1，OP=2，得到POH=30&

35、#176;，求得=60°30°=30°，由于ADBC，得到RPO=POH=30°，求出RKQ=2×30°=60°，于是得到结果；拓展：如图5，由OAN=MBN=90°，ANO=BNM，得到AONBMN求出BN=，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QFAD于点F，BQ=AF=AO=21，求出x的取值范围是0x1；来源:中国教育出版网&*探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；来%源:中国教#育出版网如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O，于是

36、得到KSO=KTB=90°，作KGOO于G，在RtOSK中，求出OS=2，在RtOSO中，SO=OStan60°=2，KO=2在RtKGO中，O=30°，求得KG=KO=，在RtOGK中，求得结果；当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sin的值当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，得到=60°于是结论可求中国教育出版#网*解答： 解：发现：（1）在，当OQ过点B时，在RtOAB中，AO=AB，中国&教育出%版网DOQ=ABO=45°，=60°45°=15°；（2）如图2，连接AP，来*源:&a

37、mp;#中教网来源#:%中&教*网OA+APOP，当OP过点A，即=60°时，等号成立，APOPOA=21=1，当=60°时，P、A之间的距离最小，PA的最小值=1；（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PHAD于点H，过点R作REKQ于点E，在RtOPH中，PH=AB=1，OP=2，POH=30°，=60°30°=30°，ADBC，来源:中#国*教&育出版网RPO=POH=30°，RKQ=2×30°=60°，S扇形KRQ=，来源:中国#教%育出版网在RtRKE

38、中，RE=RKsin60°=，SPRK=RE=，S阴影=+；拓展：如图5，OAN=MBN=90°，ANO=BNM，AONBMN，即，BN=，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QFAD于点F，BQ=AF=AO=21，x的取值范围是0x1；来源&:中%国教育*出版网探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O，则KSO=KTB=90°，作KGOO于G，在RtOSK中，来源:zzstep*%.&comOS=2，在RtOSO中，SO=OStan60

39、6;=2，KO=2，在RtKGO中，O=30°，KG=KO=，www.#zzst&*在RtOGK中，sin=，当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sin=；www&.zz*%#当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，=60°，sin=sin60，综上所述sin的值为：或或来源:z&z*%来源:%中教#网&点评： 本题考查了矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，锐角三角函数，根据题意正确的画出图形是解题的关键中国#教育出&版网%来源:中&*教网14. （2015黄冈,第21题8分）已知：如图，在ABC

40、中，AB=AC，以AC为直径的O 交AB 于点M，交BC 于点N，连接AN,过点C 的切线交AB 的延长线于点P.（1）求证：BCP=BAN;来源%:中国教#育出版网（2）求证：来源:#&中教%网考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质 专题：证明题 分析：（1）由AC 为O 直径，得到NAC+ ACN=90°，由AB=AC，得到BAN= CAN， 根据PC 是O 的切线，得到ACN+ PCB=90°，于是得到结论 来源:中国教育出版*网% （2 ）由等腰三角形的性质得到ABC= ACB，根据圆内接四边形的性质得到 PBC= AMN ，证出 BPCMNA，即可得到结

41、论 解答：（1）证明：AC 为O 直径， 来源&:中教网*# ANC=90°， NAC+ ACN=90°， 来源:zzst%* AB=AC， BAN= CAN， 来#%源:中*国教育出版网 PC 是O 的切线， ACP=90°， 中国教育出%&版#网* ACN+ PCB=90°， BCP= CAN， www.zzste%# BCP= BAN ； 中*国教&%育#出版网 （2 ）AB=AC， ABC= ACB， 中%国教&育*出版网 PBC+ ABC= AMN+ ACN=180°， PBC=

42、AMN ， 由（1）知BCP= BAN ， 中国教育出版%#&网 BPCMNA， 来源:中国教#育*出版网点评：本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，解此题的关键是熟练掌握定理 15. （2015内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第24题8分）（2015呼伦贝尔）如图，已知直线l与O相离OAl于点A，交O于点P，OA=5，AB与O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C来%源:#中国教育出版网中%#国教育*出版网（1）求证：AB=AC；（2）若PC=2，求O的半径www.z&zstep.c#%om来源:#*中教网%考点：切线的性质.分

43、析：（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出OBA=OAC=90°，推出OBP+ABP=90°，ACP+CPA=90°，求出ACP=ABC，根据等腰三角形的判定推出即可；来源:zz*step.co#m&（2）延长AP交O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5r，根据AB=AC推出52r2=（2）2（5r）2，求出r，证DPBCPA，得出=，代入求出即可解答：证明：（1）如图1，连接OB来源:zzst#*ep%.&comAB切O于B，OAAC，OBA=OAC=90°，OBP+ABP=90°，ACP+APC=90&

44、#176;，OP=OB，OBP=OPB，OPB=APC，ACP=ABC，AB=AC；（2）如图2，延长AP交O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5r，则AB2=OA2OB2=52r2，中*国&教%育出版网AC2=PC2PA2=（2）2（5r）2，来源&:中国%教育*出版网52r2=（2）2（5r）2，解得：r=3，中#国*教育%出&版网AB=AC=4，ww*&w.zzste#中国教育*出版网#%PD是直径，PBD=90°=PAC，又DPB=CPA，DPBCPA，=，中国教*育&%出版网=，解得：PB=O的半径为3，

45、线段PB的长为点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力本题综合性比较强，有一定的难度16. （2015青海，第26题8分）如图，在ABC中，B=60°，O是ABC的外接圆，过点A作O的切线，交CO的延长线于点M，CM交O于点D（1）求证：AM=AC；来源&:z*zstep.%com（2）若AC=3，求MC的长来源:*#考点：切线的性质.分析：（1）连接OA，根据圆周角定理求出AOC=120°，得到OCA的度数，根据切线的性质求出

46、M的度数，根据等腰三角形的性质得到答案；（2）作AGCM于G，根据直角三角形的性质求出AG的长，根据勾股定理求出CG，得到答案解答：（1）证明：连接OA，AM是O的切线，OAM=90°，B=60°，AOC=120°，OA=OC，OCA=OAC=30°，AOM=60°，M=30°，OCA=M，来源:中%&国教育出*版网AM=AC；（2）作AGCM于G，www.zz#step%.comOCA=30°，AC=3，AG=，由勾股定理的，CG=，来#源:中国教*育%出版网则MC=2CG=3中国教育&出*版网#点评：本题

47、考查的是切线是性质、等腰三角形的性质和勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键来&源*:#中教网17. （2015天津,第21题10分）（2015天津）已知A、B、C是O上的三个点四边形OABC是平行四边形，过点C作O的切线，交AB的延长线于点D（）如图，求ADC的大小（）如图，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与交于点F，连接AF，求FAB的大小来源&:zz#step.*com考点：切线的性质；平行四边形的性质.来源#:中国教%育出*版网分析：（）由CD是O的切线，C为切点，得到OCCD，即OCD=90°由于四边形OABC是平行四边形，得到A

48、BOC，即ADOC，根据平行四边形的性质即可得到结果（）如图，连接OB，则OB=OA=OC，由四边形OABC是平行四边形，得到OC=AB，AOB是等边三角形，证得AOB=60°，由OFCD，又ADC=90°，得AEO=ADC=90°，根据垂径定理即可得到结果解答：解：（）CD是O的切线，C为切点，OCCD，即OCD=90°四边形OABC是平行四边形，来*源:zzstep.&comABOC，即ADOC，有ADC+OCD=180°，ADC=180°OCD=90°；（）如图，连接OB，则OB=OA=OC，来源:#zzste

49、p&.c%o*m四边形OABC是平行四边形，OC=AB，OA=OB=AB，即AOB是等边三角形，AOB=60°，由OFCD，又ADC=90°，得AEO=ADC=90°，OFAB，FOB=FOA=AOB=30°，w#ww.zz&ste%点评：本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定，熟练掌握定理是解题的关键18. （2015贵州省黔东南州,第21题12分）如图，已知PC平分MPN，点O是PC上任意一点，PM与O相切于点E，交PC于A、B两点（1）求证：PN与O相切；（2）如果MPC=30°，PE

50、=2，求劣弧的长中&国教育*%出#版网考点：切线的判定与性质；弧长的计算www.zz#ste%专题：计算题分析：（1）连接OE，过O作OFPN，如图所示，利用AAS得到三角形PEO与三角形PFO全等，利用全等三角形对应边相等得到=OE，即可确定出PN与圆O相切；（2）在直角三角形POE中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OE的长，EOB度数，利用弧长公式即可求出劣弧的长解答：（1）证明：连接OE，过O作OFPN，如图所示，PM与圆O相切，来源:%&zz*OEPM，OEP=OFP=90°，PC平分MPN，EPO=FPO，在PEO和PFO中，中国教

51、育出&版*#网PEOPFO（AAS），来源*:中国教育出版网%OF=OE，中国教育出版&网#*来源:&zzste#则PN与圆O相切；来源:z#zstep%.&com（2）在RtEPO中，MPC=30°，PE=2，EOP=60°，OE=2，EOB=120°，中#国*&教育出版网则的长l=点评：此题考查了切线的判定与性质，弧长公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键19. （2015辽宁省朝阳,第22题10分）如图，在ABC中，以AB为直径的O交AC于点D，过点D作DEBC于点E，且BDE=A来源:#z%zste*www.z*zs&（1）判断DE与O的位置关系并说明理由；（2）若AC=16，tanA=，求O的半径来源%:中#教&网考点：切线的判定.分析：（1）连接DO，BD，如图，由于BDE=A，A=ADO，则ADO=EDB，再根据圆周角定理得ADB=90°，所以ADO+ODB=90°，于是得到ODB+EDB=90°，然后根据切线的判定定理可判断DE为O的切线；（2）利用等角的余角相等得ABD=EBD，加上BDAC，根据等腰三角形的判定方法得ABC为等腰三角形，所以AD=CD=AC=8，然后在RtABD中利用正切定义可计算出BD=6，再根据勾股定理计算