勾股定理及其应用

1、第五次课勾股定理及其应用本章知识要点A. 勾股定理及其逆定理。B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。C. 勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。D. 勾股定理及其逆定理的应用。E. 感受“方程”思想、“数形结合”思想、“化归与转化”思想等数学思内容/概念表示方法/举例勾股定理直角二角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果用a, b表示直角三角形 的两直角边，c表示斜边， 那么a2 b2 c2勾股定理的逆定理如果一个三角形的三边满足：两短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形用a,b,c （ c为取k边）表小三角形的三边，如果a2 b2 c2,那么这个三角形是直角三角形勾

2、股数满足a2 b2 c2的三个正整数，称为一组勾股数常见的勾股数有：3,4,5 ;5,12,13 ; 6,8,10 ; 7,24,25 ;8,15,17 等基本勾股数组满足a2 b2 c2且a,b,c互质的三个正整数，称为一组基本勾股 数组常见的基本勾股数组有：3,4,5 ; 5,12,13 ; 7,24,25 ;8,15,17 等重点知识勾股定理的验证验证方法验证过程（美）伽菲尔德总统拼图如右图，直角梯形的面积等于三个直角二以 1a b?a b 2 -ab 1c2,即222-2 u2/a b c书形的面积之和，所赵爽弦图如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以的小止方形和一个边长为 c的大

3、止方形，因为大止为c,所以面积为c2,又因为大正方形被分割成了9直角边长分别为a,b的直角三角形和一个/边长为b a的正方形，所以其面积为4 ：ab b a 2所以 c2 4 2 ab b a2,从而 c2 a2 b2.b aJ形小1个全为边长J边长等的刘徽：青朱出入图如右图，通过拼图，以c为边长的正方形面积等于分别以a,b为边长的两个正方形的面积之和名师提示用拼图法验证勾股定理的思路：图形经过割补拼接后，只要 没肩重叠、没有空隙，那么面积就不会改变；根据同一种图 形面积的不同表示方法（简称面积法）列出等式，推导勾股定 理重点知识确定几何体上的最短路线设AB=a, BC由，AC=c,请利用四边

4、形BCC D的面积验证勾股定理a2 b2 c2.例2 (1)在下列数组3, 4,40, 41;8, 15, 17; 10A5;24勾股数组有已知ABC中，B 90,则c2(3)已知一直角三角形中有两边长分别为3和4,第三边的平方为 例 3 已知，如图 1-1-2 ,四边形 ABC叶，AB=3cm AD=4cmBC=13cm CD=12cm且/A=90 ,求四边形ABCD勺面积 例4如图1-1-4 ,已知在 ABC中，AB=1Q BC=21 AC=17求BC边上的高 AD 的长.例5 (1)已知RtABC勺两直角边AC=5 BC=12 D是BC”X点,当ADl-A 的平分线时，求CD的长？/(2

5、)如图1-1-5，一张长为8cm,宽为4cm的矩 形纸片ABCD沿EF折叠，点C恰好落在点A上，求AE的长(3)如图1-1-6,将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰 好落在BC边上F点处，已知AB=3,BC=4,求图中阴影部分 的面积.例6. (1)如图1-2-9 (1),有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？(先画出示意图，然后再求解)4 已 I (2)如图 1-1-L 部落在离旗杆北E希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶原长16 m,你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗?图 1-2-9，联130 T1米,，不7如图1-2-A、B两个小镇在河流CD同侧，到河的距离

6、分别为 AO 10千0千米，现在要在河岸上修建一个自来水厂，分别向K 8 it B两镇供水.铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸上选择自来水厂的 图 1-1-9位置，使铺设水管的总费用最低，并求出最低总费用例8如图1-2-7 , 一架长2.5 m的梯子，斜立在一竖起的七t,梯子底端距离 墙底0.7 m ,如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 m ,求梯子底端由向左滑动多少力家庭作业1.下列结论错误的是（口O. 4图图A.三个角度之比为1 :3的三角形是直角三角形;B.三条边长之比为3：:5的三角形是直角三角形;C.三条边长比为8 ： 16 ： 17的三角形是直角三角形;D.三个角度之比为1 ：

7、1 ： 2的三角形是直角三角形。2.在Rt ABC中，斜边AB=1,则式子AB2 BC2 AC 2的值为（）A 、 2;B 、 4;C 、6;D 、83.直角三角形的两直角边分别为5、12,则它斜边上的高为（）A 13 B 8.5 C6013D 30134.图1-1-1中两个正方形阴影部分面积分别为A=16cm2,B=25cm2,则直角三角形的面积为（）2D. 3 cmA. 6 cm2 B. 12 cm2 C. 24cm25 . ABCfr ,AB= 25, BO20,CA 15,CMf口 CH别是中线和高。那么 Saabc=, Ck, M生6 .已知直角三角形两边的长为3和4,则此三角形的周

8、长为 .7 . AABO, AB=AC=17m, BC=16sm, ADI BC于 D,则 AD= .8 .如图 1-1-2 , D为AABC的边 BC上的一点，已知 AB=13 AD=1Z AC=15,BD=5,则BC的长为/系、9 .如图1-1-5, A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河把距离为AC=1肝 米，BD=3肝米，且CD=3阡米，现在要在河边建儡来水厂Q向 A B施镇 供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD上阍初曲-2勺位置 M 使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？DB10 .如图1-1-6 , 一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子顶端离墙底端 A为7米。ICD这个梯子顶端离地面有多高？C图1-