多刚体大作业2(maple)解析

1、MAPLE理论力学学号：201431206024专业： 车辆工程姓名：张一导师：李银山Maple理论力学2TX3-4一、如图1,长/=0.40m、质量"=l.00kg的匀质木棒，可绕水平轴O在竖直平面内转动，开始时棒自然竖直OV-T1悬垂，现有质量m = 8g的子弹以v = 200nVs的速率从A点射入棒中，A、0点的距离为34,如图所示。 求：（1）棒开始运动时的角速度；（2）棒的最大偏转角。3解：（1）子弹射入前，子弹角动量为：Z. =mv -/ 4子弹射入后，木棒角动量为：L, =-M/26?一 3子弹射入后，子弹角动量为：4= mg/）2G应用角动量守恒定律：mv I =-M

2、I2co + m I : co 4 3 l4 J解得：-mv二x 8x10-3x2003二门 4 9、=4 9 =89rad/s；_M +m / I -xl + x8xlO"3 x0.4（316 ） U 10）（2）子弹射入后，子弹角动能：Ekl =1-1m/26J22 图2子弹射入后，木棍角动能：Ek2 =lm（1/）2ty2子弹摄入后，子弹重力势能：EpI =-MSl2 3 子弹摄入后，木棍重力势能：E、=二mg/ p- 4最大偏角时，子弹重力势能：Ep3 =-MSlcos02 3 最大偏角时，木棍重力势能：Ep4 =jmg/cose应用机械能守恒定律：Ek+Ek2+Ep+Ep2

3、 = Ep3 + Ep429-M+-77/解得 cos8 = 1 - -CD = -0.079 ,6> = 94.5°2M + 3m g答案：（1）8.9rad/s;（2） 94.5° <, Maple fij?：> restart:> Ll:=3/4*m*v*l:> L2 ：=l/3*M*omega*r2:> L3:=m*(3/4*1)*2*omega:> eql:= Ll= L2+ L3：> Ekl ：=l/2*l/3*M*12*omega2:> Ek2 :=l/2*l/3*M*lA2*omega*2:> Ep

4、l:=-l/2*M*g*l:> Ep2:=-3/4*m*g*l:> Ep3:=-l/2*M*g*l*cos(theta):> Ep4:="3/4*m*g*l*cos(theta):> eq2:= Ekl+ Ek2+ Epl+ Ep2 = Ep3+ Ep4: > 1:=0. 4:M=1:m=0. 008:v=200:g=9.8:> solve(eql, eq2), (omega, theta)：二、如图3, 一根长为/、质量为M的匀质棒自由悬 挂于通过其上端的光滑水平轴上。现有一质量为m的子 弹以水平速度uo射向棒的中心，并以vo/2的水平速度穿 出

5、棒，此后棒的最大偏转角恰为90°，则vo的大小为多 少？解：设子弹射入棒子前绕0的角速度为例，射出棒子后的角速度为。2,射出后棒子的角速度为。，子弹绕0点的转动惯量为人，棒子绕。点的转动惯量为/。根据角动量平衡和能量守恒列出方程如下：J 1 =J +Ja),嘴零# 射入前子弹的角动量LI# 射入后木棒的角动量L2# 射入后子弹的角动量L3# 角动量守恒# 射入瞬间木棒角动能# 射入瞬间子弹角动能# 射入瞬间木棒重力势能# 射入瞬间子弹重力势能# 最大偏转时木棒重力势能#最大偏转时子弹重力势能#角动量守恒#已知条件#解方程Jcer% _2%2 - IW -J JMaple理论力学f *

6、 )4J=Mgl,代入方程组求解：亚疗毛吸/, .等.MS#清零# 子弹绕0点的转动惯量JI# 棒子绕0点的转动惯量J# 子弹射入棒子前绕0的角速度# 子弹射出棒子后绕。的角速度# 角动量平衡# 解方程求3# 3值# 能量守恒# 解方程9求V Maple 程序：> restart：> Jl：=m*(l/2*1)2;> J2:=1/3*M*2;> omega1:=2*v0/l;> omega2:=v0/l;> cql:=J1*omega1=J1*omega2+J2*omega;> SOL1：=solve(eql, omega);> omega:=s

7、ubs(SOLI, omega);> eq2：=l/2*J*omega*2=l/2*M*g*l;> solve(eq2, v0);三、如图4所示，一轻绳跨过两个质量均 为m、半径均为R的匀质圆盘状定滑轮。绳的 两端分别系着质量分别为m和2m的重物，不 计滑轮转轴的摩擦。将系统由静止释放，旦绳与 两滑轮间均无相对滑动，则两滑轮之间绳的张力 为多少？解：受力分析如图5,根据受力平衡和力矩 平衡列出方程组：(1)T2= m2a(2)g -T)Ri =J(X(3)(T -T)R、= Ja .- a 一 ，(4)其中,%=9，附, AjZMaple理论力学5t 3T”mg#清零# 重物1受力

8、平衡# 重物2受力平衡# 重物1力矩平衡# 重物2力矩平衡# 轮1角加速度# 轮2角加速度# 轮1转动惯量# 轮2转动惯量#已知条件#已知条件#解方程组由、两式得：尸网（厂“）/a =m2（g+a）可先求出a,解得2（见一叫）gT 4小恤+，叫（M + %）a = , /=尺2（，叫 + m2） + （% + M2）2。叫 + m2） + （陷 + M2）丁 _ 4/n|/772 +叫（+用2）1 _ 4）叫叫 +叫"2 +"2% ,2（叫 + m2） + （M, + M、）* '2（网 + my） + （跖 + M,）8珞 m = 2m , m2 = m = A/

9、2 = m, R、= & 代入，得:3 答案：T = -mg> Maple 程序：> restart：> eql:= ml*gnTl = m2*a;> eq2:= T2m2*g = m2*a;> eq3：=（T1-T）*R1 = Jl*alphal;> eq4:= （T-T2）*R2 = J2*alpha2;> alpha1 := a/Rl:> alpha2 ：= a/R2;> （1/2）*M1*R1A2,> J2:= （1/2）*M2*R2*2;> ml := 2*m： m2 := m: Ml := m： M2 :=

10、m：> Rl ：= r： R2 := r：> S0L2:= solve（eql, eq2, eq3, eq4» T, a, Tl, T2）;四、如图9,图示曲线规尺的杆长0A二AB=200mm，而CD二DE二AC=AE二50mll1。如0A杆以 等角速度勿=2rad/s绕。轴转动，并且当运动开始时，角尹=0。（1）求尺上D点的运动方程。（2）求D点轨迹，并绘图。Maple理论力学 Maple 程序：> restart:> phi：=omega*t：> x：=OA*cos(phi):> y: = (0A-2*AC)*sin(phi):> OA:

11、=1: AB:=1:嘴零#瞬时夹角#D点的横坐标#D点的纵坐标#0A> AB长度> CD:=1/4: DE:=1/4: AC:=1/4: AE:=l/4:#CD> DE、AC、AE长度> eq：=X"2/l"2+Y"2/(l/2) "2=1：#解方程> x:=evalf (subs (1=0. 2, omega=Pi/5, x), 4):> y:=evalf (subs (1=0. 2, omega=Pi/5, y), 4):> eq:=evalf(subs(1=0. 2, eq), 4):> with (

12、plots) ：#绘制D点轨迹> implicitplot (eq, X=-0. 2. 2, Y=-0, 1. 0. D :结果如图10。五、如图11所示，物体1和2的质量分别为与"2， 滑轮的转动惯量为J,半径为厂。（1）如物体2与桌而间的摩擦系数为，求系统的加速 度a及绳中的张力和心：（2）如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度 Q及绳中的张力心和心。（设绳子与滑轮间无相对滑动，滑 轮与转轴无摩擦）。，N臼Y产2gN1 /T2图10图11解：（1）用隔离体法，分别画出三个物体的受力图。如图12,对物体1,在竖直方向应用牛顿运动定律7； 一叫8=网（一如图13,对物体2,

13、在水平方向和竖直方向分别应用牛顿运动定律T2 一 N = m2a , N m2g = 0如图14,对滑轮，应用转动定律T2r-Tr = J（-a）,并利用关系 a = ra , 由以上各式，解得Maple理论力学11 + 八 +-y町 + 町 + 二1=j-叫8 ；4=F叫gm + m2 + f,n + ,m2 + 9(2) = 0时# 清零# 重物1受力# 重物2水平方向受力# 滑轮所受力矩# 重物2竖直方向受力# 角加速度# 解方程#a的大小#T1的大小#T2的大小# 摩擦系数为零# 摩擦为零时a的大小# 摩擦为零时Tl的大小# 摩擦为零时T 2的大小t nhT2=:7叫gn + m2 +

14、 M叩Ie程序：> restart:> eql：=Tl - ml*g=inl*(-a)：> eq2:=T2-mu*N=m2*a;> eq3:=T2*r-Tl*r=J*(-alpha);> N：=m2*g;> alpha：=-(a/r);> SOLI: =solve (eql, eq2, eq3 , a, Tl, T2);> a:=subs(SOLl, a);> Tl:=subs(SOL1,T1);> T2:=subs (SOLI, T2);> mu:=o:> a：=subs(SOLl, a);> Tl：=subs(S

15、OL1,TU);> T2:=subs (SOLI, T 2);六、如图15所示，在半径为自、质量为M 的静止水平圆盘上，站一静止的质量为m的人。 圆盘可无摩擦地绕过盘中心的竖直轴转动。当这 人沿着与圆盘同心，半径为R2（色）的圆周相 对F圆盘走一周时，问圆盘和人相对于地面转动 的角度各为多少？解：设人相对圆盘的角速度为公，圆盘相对 地面的角速度为则人相对地面的角速度为应用角动量守恒定律席%得，席+2mR.2解得:-cof= -co: r帆& +；MR：2mR： + MR；圆盘相对地面转过的角度为:九7%八-2装嬴 5 = 一 X 2" - 2 +盛(*)人相对地面转过的

16、角度为：Oin2 汽 MR；2限 + MR：22mR； /(MR：) + 1#清零#角速度关系#角动量守恒#解方程组#圆盘角速度#人的角速度#求圆盘转角公式#求人的转角公式#求圆盘转角#求人的转角#经过的时间#解方程组#圆盘转角大小#人的转角大小册士 , 、4?凡2 一0 4开答案： 一2龙+认靖 或一 2 + MR；/(席);2MR； q 22小MH：'2/(MR；) + l ° Maple 程序：> restart：> eql:=omegam=omega+omegaM;> eq2:=m*R2*2*omegam + (1/2)*M*R1*2*omegaM=

17、0;> S0Ll:=solve(eql, eq2> omegaM, omegam);> omegaM:=subs(S0Ll, omegaM);> omegam:二subs(SOLI, omegam);> thetaM=Int( omegaM> x);> thetam=Int ( omegam, x);> eq3:=thetaM=int( omegaM, x);> eq4:=thetam=int( omegam, x);> x：=2*pi/omega;> S0L2：= solve(eq3, eq4), (thetaM, theta

18、m);> thetaM:=subs(S0L2, thetaM);> thetam:=subs(S0L2, thetam);图13图14七、如图13,已知：半径为R的水平圆盘绕0轴匀速转动，角速度为3；均质杆 AB重为肌 长R=l,其两端位于圆盘的圆周上，A端与圆盘较接，B端通过绳索系于0 轴:设各接触面都是光滑的。试用动静法求圆盘对杆A端的约束力和绳索对B端的拉力。Maple理论力学解：进行受力分析如图14：AB 杆加速度：a(. = cor = co -2虚加惯性力：F； =ac = a)2 g 2 g1 W ,Ftb=-2 g Gw 。 Z?(F)= 0 fr xg-扁cos3

19、0°x/ = 0" 1W 2/|反 + 用一/cos3(T=。Z&=。 以+7sin300=01 w答案：F；1 W ,口一4 g图1510#清零#C点的加速度机点的半径#0B与0C的夹角#惯性力大小#力矩平衡#水品方向受力平衡#竖直方向受力平衡#解方程#绳子拉力#解方程组#A点水平方向约束力#解方程组# A点竖直方向约束力> Maple 程序：> restart：> aC:=omega*2*r;> r:=cos(theta)*1;> theta：=pi/3;> FR:= cos(theta)*omega*2*r*(omega*2

20、)*W/g;> eql:=FR*l/2-FTB* cos(theta)*1=0;> eq2:=FAx+FR"FTB* cos(theta)=0;> eq3:=FAy+FTB*sin(theta)=0;> S0Ll:=solve(eql), FTB>> FTB:=subs(SOLl, FTB);> S0L2:=solve(eq2, FAx);> FAx:=subs(S0L2, FAx);> S0L3:=solve(eq3, FAy);> FAy: =subs(S0L3, FAy);八、在图5所示机构中，O1A = O2B =

21、r9 AB = 4ro 杆以匀角速度5绕 口轴转动，某瞬时O 0,4且铅垂。求该瞬时，Q3杆和A8杆的角速度及角 加速度。Maple理论力学解：受力分析如图16,求角速度，由分析可知，该瞬时AB杆平动。二/=匕、=Se (oo.b ='=g %8 = o r求加速度% = aAn = rtw(；选A为基点，贝心Cl Bn + afir aA + Cl BAT + aHAn而“加=r% = r就aHAn = 0 aBAr = AB , &八s = 4 -将上等式两端分别在y轴上投影得：aBn = +aBAt 亏 乙2646 2-aBAT = r+ aAn)=r6?04r 3将等式

22、两端分别向x轴上投影，得:1_ 48r = 一8八乙日口 2、行2即 aBr = - S)而 48r 2JJ 2I J a°、B =一 = =g r 3答案:%学=一%l。,“筌邛次二¥就 Maple 程序：# 清零# A、B两点速度相同断点的加速度# 杆028的瞬时角速度# 杆四的瞬时角速度# 解方程# 杆0击的瞬时角速度大小# A点的角加速度# A点的法向角加速度# 平衡方程# B点的法向角加速度#AB杆瞬时法向角加速度为零# AB杆瞬时切向角加速度为零# B点瞬时法向角加速度为零,alphaAB);> restart:> eql：=vB=vA;> v

23、A：=omega0*r;> eq2：=omegaO2B=vB/r;> omegaAB:=0;> SOLI:=solve (eql, eq2)> omega02B);> omega02B:=subs(S0Ll, omega02B);> eq3:=alphaA=alphaAn;> alphaAn:=r*omega0*2;> eq4:=aBn+ aBt= aA+aBAt+aBAn:> eq5:=aBn=r*omega0*2;> aBAn:=0;> eq6:=aBAt=4*r*alphaAB;> eq7:=aBn=-aA+aBat

24、*cos(pi/3);> SOL2:=solve (eq3, eq4, eq5, eq6, eq7, aB> aBAt:=subs(S0L21 alphaBAt);> alphaAB:二subs(S0L2, alphaAB);> aBt:=aBAt/2;> eq8:=alpha02B=aBt/r;> S0L3:=solve(eq8, alpha02B);> alpha02B:=subs(S0L2, alpha02B);#解方程组#AB杆切向加速度#AB杆角加速度点切向加速度#杆028的瞬时角加速度#解方程组#杆028的瞬时角加速度值九、如图17所示，直

25、角曲杆。8。绕轴。转动，使套在其上的小环M沿固定直杆。4 滑动。己知：O8 = 0.1m, 08与8c垂直，曲杆的角速度。= 0.5rad/s,角加速度为零。求当夕=60。时，小环的速度和加速度。解：小环M为动点，动系固结于曲杆。8C；绝对运动为沿/I。直线，相对运动沿直线 BC,牵连运动为绕。定轴转动。速度分析如图18,则有：% =乙+匕此时八" OB covc = OM - co =cos。匕” =% tan cpvVr = = 2 % COS。由加速度分析图19：=4 +% +“C其中ac = OM . co1, ac = 2covr将加速度矢量式向“C方向投影得cos9 =

26、cos。+ ac 代入已知数据解得一 a cos (p + ac =COS 3答案：= 0.1732 n/s a= 0.35 nVs2 AiaW9> Maple> restart:#清零> eql:=vM=ve*tan(phi);> eq2 ： =v e =(M*oinega;> eq3：=0M=0B/cos(phi);> eq4:=vr=ve/cos(phi);> phi:=2*pi/3;> 0B:=0. 1;> omega：=0. 5;#小环速度#法向速度#0M长度#BC方向速度# 4的大小# 0B的大小# 3的大小> SOLI：

27、 =solve(eql, eq2, eq3, eq4, vM, ve, vr);> v M ： =subs (SOLI, v M);> ve:=subs(SOLI,ve);> vr:=subs(SOLI, vr);> eq5：=ae=0M*omega-2;> eq6:=ac=2*omega*vr;#解方程#小环速度大小#法向速度大小#BC方向速度大小#法向加速度#BC法向加速度> eq7：=aM*cos(phi)="ae* cos(phi)+ac;#加速度平衡> S0L2:=solve(eq5, eq6, eq7, aM);#解方程>

28、aM ：=subs (SOLI, aM);#小环加速度大小14Maplel理论力学学习心得这一学期我们学习了多刚体动力学这门课程，开课第一天当我看到为我们授课的老师竞 然是Maple理论力学的主编李银山老师时，感到十分的惊讶和荣幸。Maple理论力学 是一本被列入全国普通高等教育“十一五”国家规划教材的经典力学书籍，而我们竟然能够 有幸直接受到教材的主编李银山老师的授课，这将是一次巨大的机遇。在整个授课过程中， 我们也确实不仅系统而又深刻的学习了这门课的理论知识，更是不断受到李老师的熏陶，汲 取了书中大量的精赣，达到了从“象”到“数”再到“理”的转变。在经过这一段时间的学习后，我已明显地体会到了Maple理论力学一书与同类书籍 的不同和可贵之处。该书共分为6篇28章，前4篇分别为静力学、运动学、动力学和分析 力学，第5篇