第六章IIR滤波器的设计

1、第六章 IIR滤波器的设计主要内容n理解数字滤波器的基本概念n掌握冲激响应不变法、阶跃响应不变法n掌握双线性变换法n掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点n了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程n了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法6.1 引言数字滤波器： 是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。 高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能。优点：优点：1、滤波器的基本概念（1） 滤波器的功能滤波器的功能 滤波器的功能是对输入信号进行滤波滤波器的功能是对输入信

2、号进行滤波以增强所需信号部分，抑制不要的部分。以增强所需信号部分，抑制不要的部分。a a） 时域说明时域说明b b） 频域说明频域说明（2） 四种基本的滤波器四种基本的滤波器 四种基本滤波器为低通（四种基本滤波器为低通（LP）、高通）、高通（HP）、带通（）、带通（BP）和带阻滤波器（）和带阻滤波器（BRF）：）：（3） 四种基本滤波器的数字表示四种基本滤波器的数字表示低通高通带通带阻)(jeH)(jeH)(jeH)(jeH222222222、LP到其他滤波器的变换由LP实现的HPLP实现的BPLP实现的BRF3、 滤波器的性能指标n带宽：当幅度降低到当幅度降低到0.7070.707时的宽度称

3、为时的宽度称为滤波器的带宽（滤波器的带宽（3dB3dB带宽）带宽）n通带、阻带与过渡带：信号允许通过的频带为通带，完全不允许通过的频带为阻带，通带与阻带之间为过渡带。n滚降与滚降率：滤波器幅频特性在过渡滤波器幅频特性在过渡带的衰减和衰减速度称为滚降与滚降率。带的衰减和衰减速度称为滚降与滚降率。n阻带衰减：输入信号在阻带的衰减量输入信号在阻带的衰减量n带内平坦度：通带和阻带内的平坦程度通带和阻带内的平坦程度4、数字滤波器的设计步骤数字滤波器的设计步骤q 数字滤波器的设计三个步骤: (1) 按要求确定滤波器的性能参数； (2) 用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系统函数去逼近去逼近这一性能要求；

4、 (3) 用有限精度的运算实现；实现可以采用通用计算机，也可以采用DSP。5、数字滤波器的技术要求、数字滤波器的技术要求n选频滤波器的频率响应：()()()jjjjH eH ee 为幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况()jH e 为相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况()j：通带截止频率c：阻带截止频率st：通带容限1：阻带容限2st2()jH en阻带：cstn过渡带：c11()1jH en通带：理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近通带最大衰减：通带最大衰减：1011()20lg20lg()20lg(1)()cc

5、jjjH eH eH e 阻带最小衰减：阻带最小衰减：2022()20lg20lg()20lg()ststjjjH eH eH e 其中：其中：0()1jH e当当 时，时，()2/20.707cjH e称称 为为3dB3dB通带截止频率通带截止频率13dBc6、表征滤波器频率响应的特征参量n幅度平方响应2*()()()jjjH eH eHe1()()( )()jjjz eH eH eH z H z 的极点既是共轭的，又是以单的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的位圆成镜像对称的1( )()H z H zRe zIm jz01aa*a*1/aH H( (z z) )的极点：单位圆内的极点的

6、极点：单位圆内的极点n相位响应相位响应()()()Re()Im()jjjjejjH eH eeH ejH e*()()()jjjjeHeH ee*1()()ln2()jjjH eejHe11( )ln2()jz eH zjH z()jH e2()*()()jjjejH eeHeIm()()arctanRe()jjjH eeH e相位响应：相位响应：()()jjdeed ( )1Re( )jz edH zzdzH z n群延迟响应相位对角频率的导数的负值相位对角频率的导数的负值()je若滤波器通带内若滤波器通带内 = = 常数，常数， 则为则为线性相位滤波器线性相位滤波器IIR数字滤波器的设计方

7、法n先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器01( )1MkkkNkkkb zH za z用一因果稳定的离散用一因果稳定的离散LSILSI系统逼近给定的性能要求：系统逼近给定的性能要求：, kkab即为求滤波器的各系数即为求滤波器的各系数n计算机辅助设计法 s s平面逼近：模拟滤波器平面逼近：模拟滤波器z z平面逼近：数字滤波器平面逼近：数字滤波器6.2 用模拟滤波器设计用模拟滤波器设计IIR数字滤波器数字滤波器n设计思想：设计思想： s 平面平面 z 平面平面模拟系统模拟系统 数字系统数字系统( )( )aHsH znH(z) 的频率响应要能模仿的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应，的频率

8、响应，即即 s 平面的虚轴映射到平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆平面的单位圆n因果稳定的因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的映射到因果稳定的 H(z) ，即即 s 平面的左半平面平面的左半平面 Res 0 映射到映射到 z 平面的单位圆内平面的单位圆内 |z| s/2处衰减越快，失真越小处衰减越快，失真越小n当滤波器的设计指标以数字域频率当滤波器的设计指标以数字域频率 c给定时，给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象不能通过提高抽样频率来改善混迭现象二、模拟滤波器的数字化二、模拟滤波器的数字化1( )NkakkAHsss111kNks TkAez( )( )()( )( )aaaHs

9、h th nTh nH z11( )( )( )kNs taakkh tLHsA e u t1( )()()kNs nTakkh nh nTA eu nT( )( )nnH zh n z01kNns TnknkA ez110kNns TkknAez n系数相同：系数相同：kA1( )NkakkAHsss11 ( )1kNks TkAH zezn极点：极点：s 平面平面 z 平面平面kssks Tzen稳定性不变：稳定性不变：s 平面平面 z 平面平面Re0ks1ks Te1()jaH eHjTT11( )1kNks TkTAH zez当当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正很小时，数

10、字滤波器增益很大，易溢出，需修正( )()ah nTh nT令：令：2()jakkH eHjT则：则：aHjT2211( )4313aHsssss试用冲激响应不变法，设计试用冲激响应不变法，设计IIRIIR数字滤波器数字滤波器例：设模拟滤波器的系统函数为例：设模拟滤波器的系统函数为解：据题意，得数字滤波器的系统函数：解：据题意，得数字滤波器的系统函数：131( )11TTTTH zezez3131421TTTTTT eezeezez1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz设设T = 1sT = 1s，则

11、，则1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz模拟滤波器的频率响应：模拟滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：20.318()1 0.41770.01831jjjjeH eee22()(3)4aHjj n优点：优点：n缺点：缺点：n保持线性关系：保持线性关系： = T线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器n频率响应混迭频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器只适用于限带的低通、带通滤波器nh(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应ha(t) 时域逼近良好时域逼近良好冲激响

12、应不变法的优缺点冲激响应不变法的优缺点6.3 阶跃响应不变法阶跃响应不变法n变换原理变换原理( )( )()at nTag ng tgnT数字滤波器的阶跃响应数字滤波器的阶跃响应g(n) 模仿模拟滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应ga(t) T 抽样周期抽样周期( )( )h nH z( )1u nzz ( )( )* ( )( )( )1g nu nh nzG zH zz( )( )aah tHs( )1u ts( )( )*( )1( )( )aaaag tu th tG sHss1( )( )aag tLG s( )( )G zZT g n1( )( )( )aaaHsG sHss

13、( )()ag ngnT1( )( )zH zG zz1( )( )aaG sHss( )( )1zG zH zz( )( )()at nTag ng tgnT( )( )sTaz eG zG s12akGsjkTT( )211sTkzaeGsjzH zzkTT212aksjkTTsjkHT阶跃响应不变法同样有频率响应的混叠失真现阶跃响应不变法同样有频率响应的混叠失真现象但比冲激响应不变法要小。象但比冲激响应不变法要小。6.4 双线性变换法双线性变换法q冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近缺点是产生频率响应的混叠失真。模仿逼近缺点是产生频率响应的混叠

14、失真。q为了克服这一缺点，采用为了克服这一缺点，采用双线性变换法双线性变换法。q使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似。频率响应相似。一、变换原理及特点一、变换原理及特点q脉冲响应不变法的映射是多值映射脉冲响应不变法的映射是多值映射, ,导致频导致频率响应交叠。率响应交叠。q改进思路：先将改进思路：先将s s域平面压缩到一个中介平域平面压缩到一个中介平面面s s1 1，然后再将，然后再将s s1 1映射到映射到Z Z平面。平面。Z平面1j1Tjjee1单位圆T/T/Tsez1T1jZ平面1j1Tjjee1单位圆T/T/Tsez1T1j:, 1:,T

15、 T 12Ttg 11s TzeT TjTjTjTjTjTjeeeeeeTjj11111111)2tan(222211111zzsssz11TjTjeeTjj1111)2tan(1TsTsees1111js 11js 1s Tzen为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数一频率有对应关系，引入系数 c12Tc tg 1111zsczcszcs12Tc tg 2cT2 2）某一特定频率严格相对应：）某一特定频率严格相对应：cc 122cccTc tgc tg 2cccctg 1 1 1）低频处有较确切的对应关系：）低频处有较确切的对应

16、关系：特定频率处频率响应严格相等，可以较准确特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置地控制截止频率位置1 12Tc二、变换常数二、变换常数c c的选择的选择三、逼近情况三、逼近情况2222()()czc01z1111112jjzesccjc tgjze 1）s平面虚轴平面虚轴z平面单位圆平面单位圆cscjzcscj 2）01z01z左半平面左半平面单位圆内单位圆内s平面平面z平面平面右半平面右半平面单位圆外单位圆外虚轴虚轴单位圆上单位圆上四、优缺点四、优缺点n优点：优点：2c tg 00 避免了频率响应的混迭现象避免了频率响应的混迭现象s 平面与平面与 z 平面为单值变换平面为

17、单值变换00 q 缺点：除了零频率附近，缺点：除了零频率附近， 与与 之间严重非线性之间严重非线性2 2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变然会产生畸变1 1）线性相位模拟滤波器）线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器非线性相位数字滤波器分段常数型模拟滤波器分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界型数字滤波器，但临界频率点产生畸变频率点产生畸变11/T 11112 tgc预畸变预畸变给定数字滤波器的截止频率给定数字滤波器的截止频率 1，则，则112c tg 按按 1设计模拟滤设计模拟滤波器，经

18、双线性波器，经双线性变换后，即可得变换后，即可得到到 1为截止频率为截止频率的数字滤波器的数字滤波器五、模拟滤波器数字化方法五、模拟滤波器数字化方法1111111( )( )1aazs czzH zHsHczq可分解成级联的低阶子系统可分解成级联的低阶子系统1111( )( ) 1,2,.,iiazs czH zHsim其中：12( )( )( )( )maaaaHsHs HsHs12( )( )( )( )mH zH z HzHzq可分解成并联的低阶子系统可分解成并联的低阶子系统12( )( )( )( )maaaaHsHsHsHs12( )( )( )( )mH zH zHzHz1111(

19、 )( ) 1,2,.,iiazs czH zHsim其中：6.5 常用模拟低通滤波器特性常用模拟低通滤波器特性n将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器n模拟滤波器模拟滤波器n巴特沃斯巴特沃斯 Butterworth 滤波器滤波器n切比雪夫切比雪夫 Chebyshev 滤波器滤波器n椭圆椭圆 Ellipse 滤波器滤波器n贝塞尔贝塞尔 Bessel 滤波器滤波器1、由幅度平方函数、由幅度平方函数 确定模拟滤波器确定模拟滤波器的系统函数的系统函数2*()()()aaaHjHj

20、Hj( )()aasjHs Hs h(t)是实函数是实函数2()aHj( )aHs()()aaHjHj 将左半平面的的极点归将左半平面的的极点归Ha(s)将以虚轴为对称轴的对将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为称零点的任一半作为Ha(s)的零点，虚轴上的零点的零点，虚轴上的零点一半归一半归Ha(s)Ha(s) Ha(-s)的零极点分布的零极点分布 由幅度平方函数得象限对称的由幅度平方函数得象限对称的s平面函数平面函数n对比对比 和和 ，确定增益常数，确定增益常数()aHj( )aHsn由零极点及增益常数，得由零极点及增益常数，得( )aHs2()( )aaHjHs由确定的方法2222216(

21、25) ()( )(49)(36)aaHjHs已知幅度平方函数：，求系统函数例：例：解：解：222222216(25)( )()()(49)(36)aaassHs HsHjss 7, 6ss 极点：极点：零点：零点： （二阶）（二阶）5sj 零点：零点：5sj 7, 6ss 的极点：的极点：( )aHs设增益常数为设增益常数为K K0 020(25)( )(7)(6)aKsHsss0002( )()4asaHsHjK45由=，得7 62224(25)4100( )(7)(6)1342assHsssss1） 巴特沃尔斯滤波器（巴特沃尔斯滤波器（Butterworth）2、常见模拟滤波器设计、常见

22、模拟滤波器设计幅度平方函数：幅度平方函数：221()1aNcHj当当2()1/2acHj时称称 c c为为ButterworthButterworth低通滤波器的低通滤波器的3 3分贝带宽分贝带宽1( 0)20lg3()aacHjdBHjN N为滤波器的阶数为滤波器的阶数 c c为通带截止频率为通带截止频率1）幅度函数特点：）幅度函数特点：221()1aNcHj20()1aHj n 21()1/23caHjdB n 3dB不变性不变性c 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小 c 过渡带及阻带内快速单调减小过渡带及阻带内快速单调减小 当当 st（阻带截止频率）

23、时，衰减的（阻带截止频率）时，衰减的 1为阻带最小衰减为阻带最小衰减012300.20.40.60.81MagnitudeButterworth FilterN = 2N = 4N = 10ButterworthButterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：滤波器是一个全极点滤波器，其极点：22/1()( )()1aaaNs jcHjHs Hssj1211222( 1)1,2,.,2kjNNkccsjekN 2 2）幅度平方特性的极点分布：）幅度平方特性的极点分布： 极点在极点在s平面呈象限对称，分布在平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共圆上，共2N点点 极点间的角

24、度间隔为极点间的角度间隔为/ N rad 极点不落在虚轴上极点不落在虚轴上 N N为奇数，实轴上有极点，为奇数，实轴上有极点，N N为偶数，实轴上无极点为偶数，实轴上无极点Ha(s) Ha(-s)的零极点分布的零极点分布(a) N=3 (三阶）三阶） (b)N=4 （四阶）（四阶）3 3）滤波器的系统函数：）滤波器的系统函数：1( )()NcaNkkHsss121221,2,.,kjNkcsekN 1 / crad s为归一化系统的系统函数为归一化系统的系统函数( )anHs去归一化，得去归一化，得( )( )caanssHsHsancsH4 4）滤波器的设计步骤：）滤波器的设计步骤：221(

25、)1apNpcHj120.10.1101101spkn根据技术指标求出滤波器阶数根据技术指标求出滤波器阶数N：12psn确定技术指标：确定技术指标：120lg()apHj 由由120.1110Npc得：得：220.1110Nsc同理：同理：sspp令令lglgspspkN 则：则：120.10.1101101Npsn求出归一化系统函数：求出归一化系统函数：11( )()anNkkHsss或者由或者由N，直接查表得，直接查表得( )anHs( )aancsHsH其中技术指标其中技术指标 c给出或由下式求出：给出或由下式求出：110.12101Ncp 121221,2,.,kjNkcsekN 其中

26、极点：其中极点：n去归一化去归一化阻带指标有富裕阻带指标有富裕210.12101Ncs 或或通带指标有富裕通带指标有富裕 n例：设计例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频数字低通滤波器，要求在频率低于率低于0.2 rad的通带内幅度特性下降小于的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率在频率0.3 到到 之间的阻带内，衰减大于之间的阻带内，衰减大于15dB。分。分别用冲激响应不变法和双线性变换法。别用冲激响应不变法和双线性变换法。/0.2 /ppTrad s /0.3 /ssTrad s 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1、用冲激响应不变法设计、

27、用冲激响应不变法设计1）由数字滤波器的技术指标：）由数字滤波器的技术指标：2）得模拟滤波器的技术指标：选）得模拟滤波器的技术指标：选T = 1 s/1.5spsp 120.10.11010.092101spklg/lg5.8846spspNkN 取110.121010.7032/Ncprad s a）确定参数）确定参数用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真3）设计）设计Butterworth模拟低通滤波器模拟低通滤波器b) 求出极点（左半平面）求出极点（左半平面）121221,2,.,6kjNkcsek 661( )()cakkHsss2345

28、61( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss654320.1209( )2.7163.6913.1791.8250.1210.1209aancsH sHssssssc) 构造系统函数构造系统函数或者或者b) 由由N = 6，直接查表得，直接查表得c) 去归一化去归一化4）将）将Ha(s)展成部分分式形式展成部分分式形式:1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1112120.2871 0.44662.1428 1.14541 0.12970.69491 1.06910.3699zzzzzz1121.85580.630

29、41 0.99720.2570zzz变换成变换成Butterworth数字滤波器：数字滤波器：用冲激响应不变法设计出的用冲激响应不变法设计出的Butterworth滤波器滤波器2、用双线性变换法设计、用双线性变换法设计20.65 /2pptgrad sT 21.019 /2sstgrad sT 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1Ts选1）由数字滤波器的技术指标：）由数字滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：/1.568spsp 120.10.11010.092101spklg/lg5.3066spsp

30、NkN 取210.121010.7662/Ncsrad s a）确定参数）确定参数用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题3）设计）设计Butterworth模拟低通滤波器模拟低通滤波器b) 求出极点（左半平面）求出极点（左半平面）121221,2,.,6kjNkcsek 661( )()cakkHsssc) 构造系统函数构造系统函数234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss2220.20240.3960.58711.0830.58711.4800.5871ssssss或者或者b) 由由

31、N = 6，直接查表得，直接查表得c) 去归一化去归一化( )aancsHsH112 11( )( )azsTzH zHs121211(1 1.2680.7051) (1 1.0100.358)zzzz121(1 0.90440.2155)zz4）将）将Ha(s)变换成变换成Butterworth数字滤波器：数字滤波器：2） 切贝雪夫滤波器（切贝雪夫滤波器（ Chebyshev ）2221()1()aNcHjCN：滤波器的阶数：滤波器的阶数 c ：截止频率，不一定为：截止频率，不一定为3dB带宽带宽0 1，表示通带波纹大小，表示通带波纹大小， 越大，波纹越大越大，波纹越大CN(x) ：N 阶阶

32、Chebyshev多项式多项式11cos(cos)1( )()1NNxxCxch Nch xx等波纹幅度特性单调增加Type I ChebyshevnN为偶数为偶数2( 0)1/ 1aHjnN为奇数为奇数( 0)1aHj0 n n 2()1/ 1caHj n 通带内：在通带内：在1和和 间等波纹起伏间等波纹起伏c 21/ 1n 通带外：迅速单调下降趋向通带外：迅速单调下降趋向0c Chebyshev滤波器的三个参量：滤波器的三个参量：n c ：通带截止频率，给定：通带截止频率，给定n ：表征通带内波纹大小：表征通带内波纹大小20.1111101scchNch10.121012max1min()

33、20lg20lg 1()aaHjHjnN：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数由通带衰减决定由通带衰减决定阻带衰减越大阻带衰减越大所需阶数越高所需阶数越高 s为阻带截止频率为阻带截止频率222)/()(11)(stNstNaCCjHType II Chebyshev filter通带内：单调特性通带内：单调特性阻带内：等波纹起伏阻带内：等波纹起伏n例：用双线性变换法设计例：用双线性变换法设计Chebyshev数字低通滤数字低通滤波器，要求在频率低于波器，要求在频率低于0.2 rad的通带内幅度特性的通带内幅度特性下降小于下降小于1dB。在频率。在频率0

34、.3 到到 之间的阻带内，衰之间的阻带内，衰减大于减大于15dB。20.65 /2pptgrad sT 21.019 /2sstgrad sT 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1Ts选1）由数字滤波器的技术指标：）由数字滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：0.65/cprad s 20.11111013.01414scchNNch 取10.11010.5088 a）确定参数）确定参数3）设计）设计Chebyshev模拟低通滤波器模拟低通滤波器b) 求左半平面极点求左半平面极点sin(21)cos(21)22kccsakjbkNN 21114.17021110.36462NNa1111.06442NNb0.09070.63901,40.21890.26472,3jkjkc) 构造系统函数构造系统函数220.04381(0.43780.1