112 2直线的倾斜角和斜率2精编版

1、7.1 数数 列列 （1） ?1.1.若直线若直线 d?(u,v).l过点过点P(xP(x0 0,y,y0 0),),方向向量方向向量为为 则可得则可得: : y v(x?x0)?u(y?y0).lo ? P(x ,y )00?d?(u,v)x * *当当 直直线线 u?v?0时时, , l的的点方向式方程点方向式方程为为: : * *当当 u?0,v?0时时, ,直线直线 l的方程是的方程是: : x?x0* *当当 u?0,v?0时时, ,直线直线 l的方程是的方程是: : y?y0 x?x0y?y0?,?(1 )uv* * *与直线与直线 l平行的非零向量都可作为直线平行的非零向量都可作

2、为直线 l的方向向量的方向向量. . ?n?(a,b).2.2.若直线若直线 l过点过点P(xP(x0 0,y,y0 0),),其其法向量法向量为为 直线直线 l的的点法向式点法向式方程为方程为: : y a(x?x0)?b(y?y0)?0-(2). -(2). o ? P(x ,y )00?n?(a,b)lx * * *与直线与直线 l垂直的非零向量都可作为直线垂直的非零向量都可作为直线 l的法向量的法向量. . k?tan .?0,?,?.3.3.若直线若直线 l过点过点P(xP(x0 0,y,y0 0),),斜率斜率 2直线直线 l的的点斜式点斜式方程为方程为: : y-y0?k(x?x

3、0)-(3). -(3). 请分析比较上述三种类型直线方程在表示直请分析比较上述三种类型直线方程在表示直* * * 问题问题1: 1: 线时的区别及其不同的适用条件线时的区别及其不同的适用条件 . . * *问题研究问题研究: : 能否把这三种直线方程不同形式利用恒能否把这三种直线方程不同形式利用恒等变形的方法转化为某种比较简单的形式呢？等变形的方法转化为某种比较简单的形式呢？ x?x0y?y0?uva(x?x0)?b(y?y0)?0y-y0?k(x?x0)2?2?ax?by?c?0 .(a?b?0)? ? ?(4 )1.1.直线的一般式方程的定义直线的一般式方程的定义 . . 把关于把关于x

4、,y 的一元二次方程的一元二次方程: ax?by?c?0 .其中其中: a?b?0 .称为称为直线的一般式方程直线的一般式方程 . - * *问题问题: : 比较上述四种不同直线方程的特点比较上述四种不同直线方程的特点 : : 直线方程直线方程(1),(2),(3)(1),(2),(3)中的各个字母都是有中的各个字母都是有 其明确的几何意义的其明确的几何意义的 ; ; 直线方程直线方程(4)(4)的表示方式相对比较简炼的表示方式相对比较简炼 . . 直线方程直线方程(4)(4)中中( (当当b0)b0)时时, ,也可表示成一次也可表示成一次 函数函数y=kx+b-(5)-(5)的形式的形式,

5、,所以方程所以方程(5)(5)也是也是 直线方程的一种常见的简单表示方式直线方程的一种常见的简单表示方式 . . 222.2.直线的一般式方程中字母系数的几何意义直线的一般式方程中字母系数的几何意义 . . 能否把能否把直线的一般式方程直线的一般式方程ax+by+c=0-(4)* *问题问题1: 1: 转化为直线的点法向式方程的形式转化为直线的点法向式方程的形式 , ,你能通过观察你能通过观察比较得出一些规律行的相关结论呢？比较得出一些规律行的相关结论呢？ (1)(1)当当 b?0时时, ,方程方程(4)(4)可转化为可转化为: : ca(x?0)?b(y?)?0与方程与方程(2)(2)比较就

6、可得出比较就可得出: : b* *上述方程上述方程(4)(4)所表示的直线所表示的直线: :是一条以是一条以: : ?n?(a,b)-为法向量为法向量; ; c(0,- )的直线的直线. . 且经过点且经过点 b(2)(2)当当 b?0时时, ,则必有则必有 a?0方程方程(4)(4)就可转化为就可转化为: : cax?c?0 .?a(x?)?0(y - 0)?0 .同法比较就可得出同法比较就可得出: : a* *上述方程上述方程(4)(4)所表示的直线所表示的直线: :是一条以是一条以: : ?cn?(a,0)-为法向量为法向量; ; (- ,0)的直线的直线. . 且且经过点经过点 b(

7、(垂直于垂直于x x轴轴) ) * * *总结总结: : 对于直线对于直线 l的一般式方程的一般式方程: :ax+by+c=0, , (a?b?0)22?n?(a,b)就是直线就是直线 -向量向量 l的一个法向量的一个法向量. . 能否利用能否利用直线的一般式方程直线的一般式方程 ax+by+c=0-(4)* *问题问题2: 2: 通过某种方法的转化类似地得出直线的通过某种方法的转化类似地得出直线的 方向向量方向向量？ 你有简便的方法或途径吗？你有简便的方法或途径吗？ * * * (1) (1)策略策略: : 运用类似问题运用类似问题1 1的转化方法就能推算出直的转化方法就能推算出直?线的方向

8、向量线的方向向量: : -d?(b ,-a) (2) (2)运用向量垂直的充要条件可以验证运用向量垂直的充要条件可以验证 : : * * *结论结论: : 对于直线对于直线 l的一般式方程的一般式方程: :ax+by+c=0, , (a2?b2?0)?d?n?0?d?n?d/ l.?d?(b,-a)就是直线就是直线 -向量向量 l的一个的一个方向向量方向向量. . 由已知由已知直线直线 l的一般式方程可以得出无数个直线的一般式方程可以得出无数个直线 l的法向量或方向向量的法向量或方向向量 ; ; 上述问题上述问题2 2中中, ,由已知由已知直线直线 l的法向量探求其方向的法向量探求其方向 向量

9、的方法向量的方法,-,-也是一种由一个已知向量坐标求得也是一种由一个已知向量坐标求得 其垂直向量坐标的常用方法。其垂直向量坐标的常用方法。 * * *牢记结论牢记结论: : 对于直线对于直线 l的一般式方程的一般式方程: :ax+by+c=0, , (a?b?0)22?n?(a,b)?d?(b ,?a).* *例题例题3: 3: 求经过点求经过点A(-(-3, ,4),),且平行于已知直线且平行于已知直线 l0l0:3x?4y?29?0的直线的直线 l方程方程. . -与与直线直线 平行的直线平行的直线 l :3x?4y?29?0* * *常用结论常用结论1: 1: 0方程可表示为方程可表示为

10、: : l:3x?4y?c?0 .若例若例3 3中的中的“平行平行”改为改为“垂直垂直”, ,结果如何结果如何? ? * *例题例题4: 4: 求经过点求经过点A(-(-2, ,3),),且且垂直垂直于已知直线于已知直线 l0l0:3x?4y?29?0的直线的直线 l方程方程. . -与与直线直线 l0:3x?4y?29?0垂直的直线垂直的直线 * * *常用结论常用结论2: 2: 方程可表示为方程可表示为: : l:4x?3y?c?0 .若已知直线为若已知直线为 l :2x?3y?6?0 .* *例题例题5: 5: 求直线求直线 l的点法向式方程和点方向式方程的点法向式方程和点方向式方程 .

11、 . 由于在求解本题时所求的点的坐标由于在求解本题时所求的点的坐标 , ,直线直线* * *解法感悟解法感悟: : 的法向量或方向向量可以不尽相同的法向量或方向向量可以不尽相同 . . 故在由直线故在由直线的一般式方程形式转化为点法向式方程或点方向的一般式方程形式转化为点法向式方程或点方向式方程时式方程时, ,答案并不唯一答案并不唯一, ,但实质是一样的但实质是一样的. .一般一般以方便求解为准以方便求解为准( (直线与坐标轴的交点直线与坐标轴的交点 ). ). 已知直线方程已知直线方程 ax+by+c=0经过点经过点P(0,3)(0,3)* * *练习练习: : 和和Q(4,0),(4,0),试求其系数试求其系数a、b、c的一组值的一组值. . 已学直线方程的几种形式通常是可以互相转化的已学直线方程的几种形式通常是可以互相转化的 ; ; 由直线的一般式方程形式可直接求得直线的法向由直线的一般式方程形式可直接求得直线的法向 量或方向向量量或方向向量, ,这是转化的关键这是转化的关键; ; 注意总结并牢记探求与已知直线平行或垂直的直注意总结并牢记探求与已知直线平行或垂直的直 线方程的常用方法线方程的常用方法; ; 在探求直线方程时在探求直