广东省广州市艺术中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

第页，共页第11页，共11页广州市艺术中学2024学年第一学期高一年级期末考试数学学科试卷本试卷共4页，19道小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号（7位学号）、试室号、座位号填写在答题卡上．2．本次考试不允许使用函数计算器．第一部分选择题（共58分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值即可求出结果.【详解】因为.故选：A.2.函数在下列哪个区间必有零点（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析判断.【详解】因为函数在定义域R内单调递增，且f(0)=−1<0,f1=所以函数有唯一零点，且零点在区间内.故选：B.3.要得到的图象，需要将函数的图象（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位【答案】D【解析】【分析】利用三角函数图象变换可得出结论.【详解】因为，为了得到的图象，需要将函数的图象向右平移个单位.故选：D.4.已知幂函数的图像经过点，则（）A.16 B.32 C.64 D.128【答案】C【解析】【分析】利用幂函数的定义可设，再利用待定系数法即可求值.【详解】由是幂函数，可设，再由其图像经过点，则，解得，所以，即，故选：C.5.已知函数，与互为反函数，则（）A. B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】利用指数函数和对数函数互为反函数求解即可.【详解】因为与互为反函数，所以，所以故选：B.6.函数的图像大致为（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据函数定义域排除B，D，再应用排除A即可判断选项.【详解】函数的定义域为，所以排除B，D；又因为，排除A，故选：C.7.已知，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用，结合诱导公式即可求解.【详解】因为，所以.故选：B.8.已知函数的部分图象如图所示，的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由图象确定A的值，根据周期求出，利用特殊值求出，即得答案.【详解】由函数图象可知，，即，由，得，故，由于，故，则，故选：B二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．）9.已知角的终边过点，下列说法正确的是（）A.角的值可能为 B.C.角值可能为 D.【答案】BCD【解析】【分析】根据角终边所在的点，可求其三角函数值，进而可得角.【详解】由题意，，，故，，当时，故A错误，BCD正确，故选：BCD10.已知，且，则下列不等式中错误的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据指数函数，幂函数，对数函数的单调性，即可判断选.【详解】对于A，由，函数在上单调递减，，所以，故A正确；对于B，由A可知，，则，即，故B错误；对于C，幂函数在上单调递增，，则，故C错误；对于D，指数函数在上单调递减，，则，故D错误.故选：BCD11.设函数，则下列结论正确的是（）A.的值域为R B.的图像关于直线对称C.的一个零点为 D.fx在内单调递减E.【答案】BCD【解析】【分析】对于A：根据余弦函数的值域即可得结果；对于B：根据对称轴与最值之间的关系分析判断；对于C：代入检验即可；对于D：根据函数周期性分析判断即可.【详解】因为对于选项A：由余弦函数值域可知：函数的值域为，故A错误；对于选项B：因为为最小值，所以的图像关于直线对称，故B正确，对于选项C：因为，所以的一个零点为，故C正确，对于选项D：因为，则，因为在内单调递减，所以fx在内单调递减，故D正确，故选：BCD．第二部分非选择题（共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知，则__________.【答案】-3【解析】【分析】根据正切的和角公式计算可得答案.【详解】∵，∴，故答案为：-3.13.函数恒过定点_________.【答案】【解析】【详解】解：因为函数中，无论底数a取何值，都满足令x=2,f(x)=4,故函数必定过点14.函数=的单调递增区间是______【答案】【解析】【分析】先求出函数的定义域，然后结合对数函数的单调性和二次函数的单调性，根据复合函数的法则求解即可.【详解】由，可得，故函数的定义域为0,1．令=，则原函数可化为，是关于t的减函数．又=在上是增函数，在上是减函数，由复合函数的单调性可知，函数=的单调递增区间是．故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.计算下列各式：（1）（2）（3）已知，求的值【答案】（1）（2）4（3）14【解析】【分析】（1）利用分数指数幂的性质即可得到答案.（2）利用对数的运算性质求解即可.（3）利用指数幂的运算性质求解即可.【小问1详解】原式；【小问2详解】；【小问3详解】因为，所以，即.16.已知，且．（1）求，的值；（2）求的值；（3）已知，且，求的值．【答案】（1）（2）;（3）.【解析】【分析】（1）利用同角平方公式及象限角确定符号来求值；（2）利用诱导公式化简，即可求值；（3）利用变单角为双角差，再用两角差余弦公式求值即可.【小问1详解】因为，且，所以，即；【小问2详解】由；【小问3详解】因为，，所以，又因为，所以，则.17.已知函数是指数函数.（1）该指数函数的图象经过点，求函数的表达式；（2）解关于的不等式：；【答案】（1）（2）当时，；当时，【解析】【分析】(1)由指数函数定义和所过点列方程组求出表达式.(2)分别讨论和，结合指数函数的单调性求解.【小问1详解】因为函数是指数函数，且图象经过点，所以，即，函数的解析式为；小问2详解】，当时，为减函数，则，解得，解集为当时，为增函数，则，解得，解集为18.设函数且）．（1）若，求的值及的定义域（2）判断的奇偶性，并给出证明；（3）求在上的值域．【答案】（1）；定义域为；（2）为偶函数；证明见解析；（3）具体见解析．【解析】【分析】（1）由对数函数的定义，可求出定义域，代入，可求出结果.（2）由偶函数的定义，即可证明.（3）分别讨论和，由对数函数的单调性即可求出值域.【详解】（1）因为，由题意得，故．由，可得，故函数的定义域为．（2）为偶函数．证明如下：函数的定义域为，所以函数为偶函数．（3）因为，所以．当时，值域为；当时，的值域为．19.已知的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）求的单调递增区间；（3）求在区间上的最大值.【答案】（1）（2）单调递