CH03刚体力学基础1

1、第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础什么因素影响物体转动的状态？什么因素影响物体转动的状态？如何运动？如何运动？如何旋转？如何旋转？轮为什么不倒下？轮为什么不倒下？与物体本身结构有关与物体本身结构有关与物体所处状态有关与物体所处状态有关第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础2 2刚体刚体：在外力作用下，形：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物状和大小都不发生变化的物体体. .（任意两质点间距离保（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）持不变的特殊质点组）3.1 刚体运动的描述刚体运动的描述3.1.1 刚体刚体通常

2、把刚体分成许多部分，通常把刚体分成许多部分，每一部分都小到可看作质点，每一部分都小到可看作质点，叫作刚体的叫作刚体的质元质元各质元间各质元间的距离保持不变的质点系叫的距离保持不变的质点系叫作作不变质点系不变质点系一一 刚体的引入刚体的引入质点的自由度质点的自由度 一维运动一维运动 x i=1 二维运动二维运动 x,y i=2 三维运动三维运动 x,y,z i=3定义：定义：确定一个物体的空间确定一个物体的空间位置所需要的独立坐位置所需要的独立坐标数目标数目自由度自由度(i)。3.1.2.刚体自由度刚体自由度质点质点质点系质点系刚体刚体集合集合特例特例第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章

3、第三章 刚体力学基础刚体力学基础 当刚体受到某些限制当刚体受到某些限制 自由度减少自由度减少质点的自由度质点的自由度一维运动一维运动 x i=1二维运动二维运动 x,y i=2三维运动三维运动 x,y,z i=3定义：定义：确定一个物体的空间确定一个物体的空间位置所需要的独立坐位置所需要的独立坐标数目标数目自由度自由度(i)。自由刚体自由刚体i=6 3 3个平动个平动 3 3个转动个转动3.1.2.刚体自由度刚体自由度第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础4 42.2.刚体的转动刚体的转动：刚体中所有：刚体中所有点都绕同一直线做圆周运动点都绕同一直线做圆周

4、运动分类：分类：定轴转动和非定轴转定轴转动和非定轴转动动 . .平动、转动平动、转动. .平动转动平动转动1.1.刚体的平动刚体的平动：若刚体中：若刚体中所有点的运动轨迹都保持所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的行于它们的初始位置间的连线连线. .刚体平动刚体平动 质点运动质点运动3.1.3 刚体运动的几种形式刚体运动的几种形式定轴转动：定轴转动：转轴固定不动转轴固定不动的转动的转动.平面平行运动平面平行运动 刚体在刚体在运动过程中，其上每一点运动过程中，其上每一点都在与某固定平面相平行都在与某固定

5、平面相平行的平面内运动的平面内运动.自由度为自由度为3.第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础定点转动定点转动当刚体上某一点固定时，当刚体上某一点固定时，刚体只能绕该点转动刚体只能绕该点转动.自由自由度为度为3.一般运动一般运动刚体的一般运动可以看成刚体的一般运动可以看成是随刚体上某一点（如质是随刚体上某一点（如质心）的移动和绕该点的转心）的移动和绕该点的转动的组合动的组合自由度为自由度为6.2.2.刚体的转动刚体的转动：刚体中所有：刚体中所有点都绕同一直线做圆周运动点都绕同一直线做圆周运动分类：分类：定轴转动和非定轴转定轴转动和非定轴转动动 . .定轴转

6、动：定轴转动：转轴固定不动转轴固定不动的转动的转动.平面平行运动平面平行运动 刚体在刚体在运动过程中，其上每一点运动过程中，其上每一点都在与某固定平面相平行都在与某固定平面相平行的平面内运动的平面内运动.自由度为自由度为3.第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础6刚体的一般运动刚体的一般运动质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础用角量描述定轴转动用角量描述定轴转动转动平面：转动平面：定轴转动刚体定轴转动刚体上各质点的运动面上各质点的运动面.转动平面转动平面定轴定轴刚体定轴转

7、动的特点：刚体定轴转动的特点：(1) 转动平面垂直于转轴转动平面垂直于转轴.的方向均沿轴线的方向均沿轴线.(3) 定轴转动刚体上各点的角定轴转动刚体上各点的角速度矢量速度矢量(2) 转动平面上各点均做圆周转动平面上各点均做圆周运动，角量相同，线量不同运动，角量相同，线量不同.第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础)srad(22秒秒单单位位：弧弧度度2. 定轴转动中的基本关系式定轴转动中的基本关系式角加速度：角加速度：ddt 22dd,ddtt 22n,ararr v 、 是矢量，在定是矢量，在定轴转动中由于轴的方位不轴转动中由于轴的方位不变，故用正、负表

8、示其方变，故用正、负表示其方向向.1. 基本物理量基本物理量角坐标角坐标: 单位：弧度（单位：弧度（rad）角位移：角位移：， d角速度的大小：角速度的大小：ddt 单位：弧度单位：弧度/秒（秒（rad/s）角速度角速度 的方向：的方向：右旋前进方向右旋前进方向)(tPOAvviir若刚体上某质元若刚体上某质元i到转轴到转轴的距离为的距离为ri. .则则第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础iR 质元到转轴的垂直距离质元到转轴的垂直距离iFizFiFiv只有只有 使刚体使刚体绕绕Z轴转动轴转动FiiiFRM 质元对质元对O点的力矩点的力矩质元对轴的力矩：质

9、元对轴的力矩： 在在z轴上的分量轴上的分量iMiiziFrMirizrsiniziiiMrF 3.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 角动量守恒定律角动量守恒定律 3.2.1 质元对轴的力矩及角动量质元对轴的力矩及角动量&质元对轴的力矩质元对轴的力矩第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础iR zOLiz的计算的计算ir izrdmiiviLLiz质元到转轴的垂直距离质元到转轴的垂直距离质元对点质元对点O 的角动量的角动量iiiivmRLd iiiizvrmLd 质元对轴的角动量质元对轴的角动量&质元对轴的角动量质元对轴的角动量第3章 刚体

10、力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础11 sin=iziiiiiMrFrF 结论：结论：绕定轴转动的刚绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于体的角加速度与作用于刚体上的刚体上的合外力矩合外力矩成正成正比，与刚体的比，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比. -. -刚体定轴转刚体定轴转动的转动定律动的转动定律 dM=dizMJJt 定义定义 刚体对定轴的刚体对定轴的转动惯量转动惯量2i iJdm r 2iiiidr dm ar dmdt 2d=diidr dmJdtt 3.2.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 转动惯量转动惯量 1.刚体对轴的力矩刚体对轴的力矩 =所有

11、质点对轴的力矩的代所有质点对轴的力矩的代数和数和一一.刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础121222()()ii iiii iiLLdm rdm rJ 刚体对某定轴的角动量等于刚体对某定轴的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积方向沿该转动速度的乘积方向沿该转动轴，并与这时转动的角速度轴，并与这时转动的角速度方向相同方向相同刚体对转轴的角动量刚体对转轴的角动量 = =刚体上各质元刚体上各质元对轴对轴的角的角动量之和动量之和2ii iLdm r 2.刚体对轴的角动量刚体对轴的角动量-组成刚

12、体的各质元的组成刚体的各质元的质量与其到转轴的距离的质量与其到转轴的距离的平方的乘积之和是刚体平方的乘积之和是刚体转动时惯性大小的量度转动时惯性大小的量度3.3.转动惯量转动惯量对于单个质点对于单个质点 2Jmr质点系质点系 2i iJmr22ddmmJrmrV若物体质量连续分布若物体质量连续分布单位：单位：千克千克米米2 2（kgm2）第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础二二.转动惯量的计算转动惯量的计算（2）若质量连续分布）若质量连续分布mrJd2线分布面分布体分布lSVmdddd（1）质点系）质点系iiimrJ2由长由长l 的轻杆连接的的轻杆连接的

13、质点如图所示，求质点系对质点如图所示，求质点系对过过A垂直于该平面的轴的转垂直于该平面的轴的转动惯量动惯量. .llllAmm2m3m4m5222232)2)(54()2(32mllmmlmmlJ解：解：由定义式由定义式iiimrJ2思考：思考：A点移至质量为点移至质量为2m的杆中心的杆中心处处 J=?第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础(2) 轴过一端端点轴过一端端点LoxmdxmxmrJdd22xLmxLd022331031mLLxLm 一长为一长为L的细杆，质量的细杆，质量m均匀分布，求该杆对垂均匀分布，求该杆对垂直于杆，分别过杆的中点和一端端点的

14、轴的转动惯量直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量. .解：解：(1) 轴过中点轴过中点2L2Lox在杆上任取在杆上任取dmmdxmxmrJdd2222223231dLLLLxLmxLmx2331218831mLLLLm第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础 求质量求质量 m ,半径半径 R 的圆的圆环对中心垂直轴的转动惯量环对中心垂直轴的转动惯量.: 圆环上取圆环上取 微元微元dm2022ddmRmRmrJm思考思考1. 环上加一质量为环上加一质量为m1 的质点的质点, J1 =? RO思考思考2. 环上有一个环上有一个 x的缺口，的缺口， J2

15、=?RO xdmm1 求质量求质量 m , 半径半径 R 的的均匀圆盘对中心垂直轴的均匀圆盘对中心垂直轴的转动惯量转动惯量.: 圆盘上取半径为圆盘上取半径为r宽度宽度dr的的圆环作为质量元圆环作为质量元dmROrdrOmrJmRJdd22环SmddrrRmd22rrRmrJd222rrRmRd2032221mR x2121 RmmRJ2222xRRmmRJ第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础对同轴的转动对同轴的转动惯量才具有可加减性惯量才具有可加减性. 平行轴定理平行轴定理: 若刚体对过质若刚体对过质心的轴的转动惯量为心的轴的转动惯量为Jc，则，则刚体对

16、与该轴相距为刚体对与该轴相距为d 的平的平行轴行轴z的转动惯量的转动惯量Jz是是mJzJc2mdJJcz2221mRmRJz223mR正交轴定理正交轴定理 对平面刚体对平面刚体ozyxyxzJJJ质量有关质量有关质量分布有关质量分布有关转轴位置有关转轴位置有关(3)转动惯量与转动惯量与第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础几种常见刚体转动惯量几种常见刚体转动惯量 圆环转轴通过圆环转轴通过中心与盘面垂直中心与盘面垂直r2mrJ圆环转轴沿直径圆环转轴沿直径r221mrJ几何形状不规则的刚体的转几何形状不规则的刚体的转动惯量，由实验测定动惯量，由实验测定.r2r

17、1圆筒转轴沿几何轴圆筒转轴沿几何轴)(212221rrmJ 薄圆盘转轴通薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直过中心与盘面垂直221mrJr第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础lr 圆柱体转圆柱体转轴沿几何轴轴沿几何轴221mrJlr 圆柱体转轴通过圆柱体转轴通过中心与几何轴垂直中心与几何轴垂直12422mlmrJl 细棒转轴通细棒转轴通过中心与棒垂直过中心与棒垂直122mlJl 细棒转轴通过细棒转轴通过端点与棒垂直端点与棒垂直32mlJ2r球体转轴沿直径球体转轴沿直径522mrJ2r球壳转轴沿直径球壳转轴沿直径322mrJ第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第

18、三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础MJ M 的符号：的符号：使刚体向规定的使刚体向规定的 正方向转动的力矩为正正方向转动的力矩为正(3) 为瞬时关系为瞬时关系(1) 与与 方向相同方向相同 M说明说明(2) 、 JM对同一轴对同一轴 (4) (4) 转动中转动中 与与 平动中平动中 地位相同地位相同maF JM 讨论讨论JM（1）tJJMdd（2）（3） =常量常量M，0三三. 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用m 是物体平动惯性的量度是物体平动惯性的量度J 是物体转动惯性的量度是物体转动惯性的量度第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础例例3.

19、43.4有一根有一根长为长为l，质量为质量为m的均匀细棒的均匀细棒OA，可绕上，可绕上端光滑水平轴在竖直平面内转动端光滑水平轴在竖直平面内转动. .最初棒静止在水平位最初棒静止在水平位置，求它由此自由下摆到与水平位置成置，求它由此自由下摆到与水平位置成 角时的角加速角时的角加速度和角速度度和角速度. .(2)(2)d3 cosd2dddgtddtdl解解(1)(1) ，故由转动定律有故由转动定律有 1cos2Mm gl3 cos2MgJl3 cos3 sin=2ggddll 即第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础 质量为质量为M =16kg的实的实心滑轮

20、，半径为心滑轮，半径为R =0.15m. .一一根细绳绕在滑轮上，一端挂根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为一质量为m=8kg的物体的物体. .设细设细绳不伸长且与滑轮间无相对绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，求：滑动，求：(1) (1) 由静止开始由静止开始1 1秒钟后，物体下降的距离秒钟后，物体下降的距离. .(2) (2) 绳子的张力绳子的张力. .解解对轮、物受力分析如图对轮、物受力分析如图2sm5881082Mmmgam5 . 215212122athN4051621TMmmgTMgNRaMRJTR221由转动定律由转动定律maTmg由牛顿定律由牛顿定律拓展拓展mMm1m2RT1T2m1gm

21、2gm2 m1MgNJRTRTamgmTamTgm12111222RaMRJ221拓展：拓展：第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础JRTRTamgmTamTgm12111222RaMRJ221m2MT1T2m2gRm1m1gN1N2MgJRTRTamTamTgm1211222RaMRJ221mMm1m2RT1T2m1gm2gm2 m1MgN拓展拓展mm1m2R1T1T2m1gM2 gM1R2M2JRTRTamgmTamTgm22112222111122112222112121RaRaRMRMJ第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基

22、础刚体力学基础 一半径为一半径为R、质量为、质量为m的的均匀圆盘平放在粗糙的水平面均匀圆盘平放在粗糙的水平面上上.若它的初速度为若它的初速度为 0，绕中心，绕中心O旋转，问经过多长时间圆盘旋转，问经过多长时间圆盘才停止才停止.(设摩擦系数为设摩擦系数为 )ORdrr解：解：考察半径为考察半径为r宽度为宽度为dr的圆环的圆环rmgrFMddd22d2d2dRrmrrrRmm22d2dRrgrmMmgRRrmgrMMR32d2d022摩擦力矩为摩擦力矩为: 由转动定律由转动定律tJMddtmRmgRdd21322d43dgRt000d43dgRttgRt430第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学

23、第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础刚体对刚体对z轴的总角动量为轴的总角动量为zLJ zzLJtMd)d(d-角动量定理的微分形式角动量定理的微分形式.ttztM0d称为称为冲量矩冲量矩又称又称角冲量角冲量11221221dJJLLtMttz刚体的角动量定理：刚体的角动量定理：刚体刚体在在t1t2时间内所受合外力时间内所受合外力矩的冲量矩等于该段时间矩的冲量矩等于该段时间内刚体角动量的增量内刚体角动量的增量.3.2.3 刚体定轴转动的角动量和角动量定理刚体定轴转动的角动量和角动量定理dd()ddzzLJMJtt 3.2.4 定轴转动刚体角动定轴转动刚体角动量守恒定律量守恒定律角动量守恒定律：

24、角动量守恒定律：刚体刚体所受合外力矩为零，则所受合外力矩为零，则刚体的角动量保持不变刚体的角动量保持不变.2211JJ 恒恒量量时时，当当： JLMzz0第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础3.2.4 定轴转动刚体角动量守恒定律定轴转动刚体角动量守恒定律角动量守恒定律：角动量守恒定律：刚体刚体所受合外力矩为零，则所受合外力矩为零，则刚体的角动量保持不变刚体的角动量保持不变.2211JJ 对有几个物体或质点构对有几个物体或质点构成的系统，若整个系统所成的系统，若整个系统所受对同一转轴的合外力矩受对同一转轴的合外力矩为零，则整个物体系对该为零，则整个物体系对

25、该转轴的总角动量守恒转轴的总角动量守恒.下面看几个角动量守恒实例下面看几个角动量守恒实例恒恒量量时时，当当： JLMzz0第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础 J 可变，可变， 亦可变，但仍亦可变，但仍有有J=常数，故有常数，故有 J1 第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础回转仪定向原理回转仪定向原理万万向向支支架架回转仪定向原理回转仪定向原理其中转动惯量其中转动惯量为常量为常量若将回转体转轴指向任一方向若将回转体转轴指向任一方向使其以角速度使其以角速度 高速旋转高速旋转则转轴将保持该方向不变则转轴将保持该方向不变

26、而不会受基座改向的影响而不会受基座改向的影响基基 座座回转体回转体 （转动惯量（转动惯量 ）受合外力矩为零受合外力矩为零回转体质量呈轴对称分布；回转体质量呈轴对称分布；轴摩擦及空气阻力很小。轴摩擦及空气阻力很小。角动量守恒角动量守恒恒矢量恒矢量第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础克服直升飞机机身反转的措施：克服直升飞机机身反转的措施：装置尾浆推动大装置尾浆推动大气产生克服机身气产生克服机身反转的力矩反转的力矩装置反向转动的双装置反向转动的双旋翼产生反向角动旋翼产生反向角动量而相互

27、抵消量而相互抵消第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础3030例例3-8. 3-8. 在工程上，两飞轮常用在工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动如图所示，速一起转动如图所示，A和和B两飞轮的轴杆在同一中心线两飞轮的轴杆在同一中心线上上A轮的转动惯量为轮的转动惯量为JA10 kgm2，B轮的转动惯量为轮的转动惯量为JB20 kgm2，开始时开始时A轮每分钟的轮每分钟的转速为转速为600600转，转，B B轮静止轮静止C为摩为摩擦啮合器求两轮啮合后的转擦啮合器求两轮啮合后的转速，在啮合过程中，两轮的机速，在啮合过程中

28、，两轮的机械能有何变化？械能有何变化？AAAB= ()JJJ解解 系统所受合外力矩为零，系统所受合外力矩为零，所以系统的角动量守恒所以系统的角动量守恒，即即为两轮啮合后的共同角为两轮啮合后的共同角速度，速度，AAAB20.9 rad/JsJJ22AAAB411()221.32 10 JEJJJ 在啮合过程中，摩擦力矩在啮合过程中，摩擦力矩做功，机械能不守恒，损做功，机械能不守恒，损失的机械能转化为内失的机械能转化为内能损失的机械能为能损失的机械能为第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础1. 刚体定轴转动的动能刚体定轴转动的动能(1) 质元动能质元动能222

29、1122iii idmdm r v(2) 刚体的总动能：刚体的总动能： 2222k211221=2i ii iEdm rdm rJ 2k21JE 3-3 刚体的能量刚体的能量 miziriv转动动能：转动动能：3.3.1 刚体定轴转动的动刚体定轴转动的动能和动能定理能和动能定理diM cosiiiiiidWFdrFdr iiids)2sin(F sinii iFrd 2.2.力矩的功力矩的功 对于受外力对于受外力 Fi 作用的质点作用的质点i,外力所做的微元功外力所做的微元功 第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础3232diM d()ddiWMM 21d

30、WM 刚体所受力矩的功刚体所受力矩的功对于受外力对于受外力 Fi 作用的质点作用的质点I,外力所做的微元功外力所做的微元功 cosiiiiiidWFdrFdr iiids)2sin(F sinii iFrd 对于所有质点，外力所做的对于所有质点，外力所做的微元功微元功2.2.力矩的功力矩的功 3.刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理dddWM J21222111dd22WWJJJ 合外力矩对一个做合外力矩对一个做定轴定轴转动的刚体所做的功等于它转动的刚体所做的功等于它对对该轴该轴的转动动能的增量的转动动能的增量.ddddddddMJJJtt 第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章

31、第三章 刚体力学基础刚体力学基础3.3.2 刚体的重力势能刚体的重力势能1. 刚体的重力势能刚体的重力势能所有质元的重力势能之和所有质元的重力势能之和PiiEm gz iim zmgm cmgz 刚体的重力势能应刚体的重力势能应等于质量集中于质心的重等于质量集中于质心的重力势能力势能2. 刚体的机械能刚体的机械能212cEJmgh 3.刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理dddWM J21222111dd22WWJJJ 合外力矩对一个做合外力矩对一个做定轴定轴转动的刚体所做的功等于它转动的刚体所做的功等于它对对该轴该轴的转动动能的增量的转动动能的增量.ddddddddMJJJtt 第3

32、章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础343460cos d24 GllWmgmg222600111cos d2222 GlWmgJJJ解解：棒受力如图：用两种方法解：棒受力如图：用两种方法解由转动动能定理由转动动能定理213Jml32gl例例3.83.8有一根有一根长为长为l，质量为质量为m的均匀细棒的均匀细棒OA，可绕上端，可绕上端光滑水平轴在竖直平面内转动光滑水平轴在竖直平面内转动. .最初棒静止在水平位置，最初棒静止在水平位置，求它由此自由下摆到与水平位置成求它由此自由下摆到与水平位置成 角时的角速度角时的角速度. .用机械能守恒定律解用机械能守恒定律

33、解第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础解此题可分解为三个简单过程：解此题可分解为三个简单过程：(1)棒由水平位置下摆至竖直位棒由水平位置下摆至竖直位置但尚未与物块相碰置但尚未与物块相碰.此此过程机过程机械能守恒械能守恒.以以棒、地球为一系统棒、地球为一系统，以棒的重心在竖直位置时为重以棒的重心在竖直位置时为重力势能零点力势能零点，则有，则有例例3.93.9如图，质量为如图，质量为m，长，长为为l的均匀细棒，可绕过其的均匀细棒，可绕过其一端的水平轴一端的水平轴O转动转动. .现将现将棒拉到水平位置棒拉到水平位置(OA)后放后放手，棒下摆到竖直位置手，棒下摆

34、到竖直位置( (OA) )时，与静止放置在水时，与静止放置在水平面平面A处的质量为处的质量为M的物块的物块作完全弹性碰撞，物体在作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一段水平面上向右滑行了一段距离距离s后停止后停止. .设物体与水设物体与水平面间的摩擦系数平面间的摩擦系数处处相处处相同，求证同，求证226m(m3M) sl22211226lmgIml第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础(2)棒与物块作棒与物块作完全弹性碰撞完全弹性碰撞，此过程，此过程角动量守恒角动量守恒(并非动量守恒并非动量守恒)和和机械能守恒机械能守恒，设碰撞后棒的角速度为，设碰撞后

35、棒的角速度为，物块速度为，物块速度为v，则有，则有(3)(3)碰撞后物块在水平面滑行，其满足碰撞后物块在水平面滑行，其满足动能定理动能定理221133mlmllMv2222 21111123232mlmlMv 2102mgsMv联立以上四式，即可证得：联立以上四式，即可证得：226m(m3M) sl第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础解：解：角动量守恒角动量守恒2231maMlamv机械能守恒机械能守恒2223121 maMl22323261maMlmaMlgmav 一长为一长为l、质量为、质量为M的杆可绕支的杆可绕支点点O自由转动自由转动.一质量为一质

36、量为m、速度为、速度为v 的的子弹射入距支点为子弹射入距支点为a的棒内的棒内.若棒偏转角若棒偏转角为为 30o , 问子弹的初速度是多少？问子弹的初速度是多少？ Ovao3030cos1mga30cos12lMg解得解得P76例例3-7第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础avmlMmva231oav3030v30cos12312122lMglMoav303030cos1230cos13121222lMgmgamalM2231cosmalMmva第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础第3章 刚体力学基础第2章 质点动力

37、学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础猫尾巴的功能猫尾巴的功能 猫掉下，四脚朝天，脊背朝地猫掉下，四脚朝天，脊背朝地会摔死会摔死.注意：注意：猫狠狠地甩了一下尾巴，结果，四脚转向地面，当猫狠狠地甩了一下尾巴，结果，四脚转向地面，当它着地时，四脚伸直，通过下蹲，缓解了冲击它着地时，四脚伸直，通过下蹲，缓解了冲击.第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础3-4 陀螺的运动陀螺的运动 进动进动 进动进动(precession)：高速自转的高速自转的物体其自身对称轴绕竖直轴做回物体其自身对称轴绕竖直轴做回旋运动旋运动.陀螺陀螺(top)运动运动第3章 刚体力学基础

38、第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础设陀螺质量为设陀螺质量为m，以角速度，以角速度 自转自转重力对固定点重力对固定点O的力矩：的力矩：gmrMsinmgrM 方向沿方向沿c点切向点切向绕自身轴转动的角动量：绕自身轴转动的角动量：rJL角动量定理的微分式：角动量定理的微分式：tMLdd陀螺陀螺(top)运动分析：运动分析：LOcr mgMdsindsindJLLtmgrtMLdsinddJmgrtdd进动角速度进动角速度d 结论：结论：进动现象是进动现象是自旋自旋(spin)的物体的物体在外力距作用下，沿外力矩方向不断在外力距作用下，沿外力矩方向不断改变其自旋角动量方向的结果

39、改变其自旋角动量方向的结果. LOLdLLdd 第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础 一质量为一质量为m，长为，长为l 的均质的均质细杆，可绕垂直于水平面、穿过细杆，可绕垂直于水平面、穿过O点的转轴转动，转轴距点的转轴转动，转轴距A 端端l/3.今使今使棒从静止开始由水平位置绕棒从静止开始由水平位置绕 O点转点转动，求：动，求：(1) 水平位置的角速度和角水平位置的角速度和角加速度加速度.(2) 垂直位置时的角速度和垂直位置时的角速度和角加速度角加速度.222916121mllmmlJO(1)00lgmlmglJMO23962OBA解：解：已知已知212

40、1mlJcc2mdJJco由平行轴定理由平行轴定理由转动定律由转动定律(2)垂直时，力矩为零垂直时，力矩为零.故故0设棒在任意时刻位置如图设棒在任意时刻位置如图 mgtJMdd由转动定律由转动定律tmllmgdd91cos62dd912mldcos23dlgdcos23d200lglg3第3章 刚体力学基础第2章 质点动力学第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础. 一半径为一半径为R、质量为、质量为 M 的转的转台，可绕通过其中心的竖直轴转动台，可绕通过其中心的竖直轴转动, 质量为质量为m 的人站在转台边缘，最的人站在转台边缘，最初人和转台都静止初人和转台都静止.若人沿转台边若人沿转台边缘跑一周缘跑一周(不计阻力不计阻力)，相对于地面，相对于地面，人和台各转了多少角度？，人和台各转了多少角度？R轴对转盘轴对转盘的摩擦力的摩擦力矩可忽略矩可忽略选地面为参考系，设对转轴选地面为参考系，设对转轴人：人：J , ; 台：台：J , 系统对转轴角动量守恒系统对转轴角动量守恒0JJ其中其中2221MRJmRJMm2得得人对转台的角速度为：人对转台的角速度为：MmM2 人沿转台边人沿转台边缘跑一周缘跑一周