完整word版八年级下册数学 二次根式知识点整理

1、 二次根式叫做x的平方等于xa，那么这个正数1、 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数 的算术平方根。a同一个负数，不等号方向改变。(除以)2、 解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘 。不等式组的解集是两个不等式解集的-2，不等式两边同除以如：-2x4-2得x 的解集为-2x5。 -2 X 公共部分。如5 X 3、 分式有意义的条件：分母0 4、 绝对值：a=a （a0）；a= - a （a0） 一、 二次根式的概念 一般地，我们把形如a （a0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 正确理解二次根式的概念，要把握以下五点： （1） 二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“

2、”，“ ”的根指数22 5 。 ”。如5 可以写作”为2，即“ ，我们一般省略根指数2，写作“ 二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。（2） 有意a a0是0，因此a，a 0。其中子（3） 式a 表示非负数a的算术平方根 义的前提条件。 这一隐含条件。a0）（4 在具体问题中，如果已知二次根式a ，就意味着给出了 是分是相乘的关系。要注意当b0）的式子也是二次根式，b与a 如（5） 形ba （a2882 2 。可写成 ，但不能写成2 数时不能写成带分数，例如 2 333 2 +1 ；x）-18 ； （3）26 练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1）； （132

3、 ）- x1+2x 7 x36 +2x+1 ）（；）（4-8 5x；（）；（）（ 2 1 取什么实数时，下列各式有意义？二、当x2+4x+1 ）2（14x）2-5x ； （ 二、二次根式的性质：性的二次根式 质符号语言 文字语言 应用与拓展 注意0）的（aa 性质a 0 （a0）负个非一术算数的是根平方 非负数。，0（1）二次根式的非负性（a b-3 0）应用较多，如：a+1 +a=0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x的取值范围是x-a0，a-x0，解得x=a。 20a；（2）具有非负性的性质：a0；a 0（a0）。 2+b+c =0，则a=0（3）

4、若a，b=0，c=0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。 的最0）a （a 。小值为02（a ）a0）的性质 2 （a ）= a）（a0 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 2 2+1 m）=5；（正用公式：（5 ）22=m+1；逆用公式：若a0，则a=11 222）（），=a）如：2=（2（22逆用公式可以在实数范围内分解因式，如222 5 ）-（a-5=a=(a+5 )(a-5 ) 2 的性质a 2a =a=a（a0） 或= 2aa = ）a- a（0的一个数的算平方方根术平这等个于绝数的对 值。2) （1）正用公式：（3-（ 2）逆用=3-=3-112 =3 =&

5、#215;3公式：3332a化简形如 的式 子时，先转化为a形式，再根据的符号去掉绝对a值号。 32 2 2) -6 (3) （ ）3 (2) （4）（练习：计算（1）51222-6x+9 （1x6（- 4（）x-2x+1 + x3） - （）822 的区别与联系：a0aa （）（）与 2 2 （a ）2 a 区 别 表示的意义不同 a的算术平方根的非负数表示 平方2 表示a的算术平方根取值范围不同 a0 a为任意实数读法不同 读作“根号a的平方”或“a的算术平方根的平方” 2的平方aa”或“读作“根号 的算术平方根”被开方数不同 a 被开方数是2被开方数是a 运算顺序不同 先开放后平方先平方

6、后开方 运算结果，运算 依据不同2 ，依据平方与开平（a ）=a 方互为逆运算得到 依据算术平方根的定义得到 作用不同2 0），正向运用可）（a （ = aa逆向运用可以将任意化简二次根式，一个非负数写成一个数的平方的形 式2，正向运用可以将根号aa =内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆用运用可以将根号外的非 负因式平方后移到根号内系联 含有两种相同的运算，都要进行平方与开方22 ）=aa 时，结果都是非负数；a0（ 三、代数式把数或表示数的字母连用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）s3 接起来的式子叫代数式，0t（都是代数式x -ab，）（，x+y，。例：3x3x x

7、0， t ）单独一个数或字母也是代数式；1注（等）代数式中不能含有关系符号（，（2= 等）连接起来的式子叫关系式，方程和不将）1（ 两个代数式用关系符号（，= 3x-5是关系式。2x+3等式都是关系式。如 x-22，其中；2a+3b； ；2+x=4；0练习：下列式子：12-x (x2) 3 ） 是代数式的有（ 3 列代数式的常用方法： （1） 直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。 （2） 公式法：根据公式列出代数式。 （3） 探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。 练习：列代数式 5本，还余3本，则学生人数为（ ）a（1）把本书平均分给若干名学生，若每人分 ）

8、5倍，则这两个圆的周长之和为（ B（2）若圆A的半径r是圆的半径的 典型例题剖析 题型一：二次根式有意义的条件 当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？2x-13+x ）1（）（x+5-3-2x； 23）x-3+； 1-x 题型二：利用二次根式的非负性化简求值2 的值。，求+b-2=4a-4已知aab 题型三：二次根式非负性的简单应用 的值为两边长的等腰三角形的周长是（） ，已知实数xy，满足x-4+y-8=0则以x，y2 a题型四：利用a并结合数轴化简求值 = 在数轴上的位置如图所示。已知实数a，b 22222 +（b-1）-（试化简：aa-1+b+（）a-b2 与三角形三边关系的综合应用

9、题型五：aa =2 ）-2c-a-b是三角形的三边长，化简ABC在中，a，b，c（a-b+c2 0）在实数范围内分解因式a 题型六：逆用（）（ = aa244+4 2 x1在实数范围内分解因式：（）-4；（）-4xx 4 二次根式的乘除单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个1、 单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在、 2 被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 二次根式的乘法法则 一、 ）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变a b =ab （a0，b0 均为非

10、负数这一条件。）（1 进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，bbd （2） 推a 广cb 0abc c =（a0，b，c0）b ad =ac 乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。11 练习：（1）28 7 ；（2（）4xy -2 (4)627 3 （256 ；3y4 二、二次根式乘法法则的逆用 b0，0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积aab =a b （将被开方数进利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先 。再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外，然后行因式分解或因数分解，实际上，0b1注：（）公式中的a，可以是数，也可以是代

11、数式，但必须满足a，b0 （-4）×（）-9如的，公式中的ab是限制公式右边对公式的左边，只要ab0即可， ）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。（2-9 -4 0），d0，（推广：abcd =a b c d a0b0c -14）300 （ 1）； （2（）×（-112）； 练习：化简2345422 ；）（3200abc 5+32x）16x ；134（）-12 （ 三、二次根式的除法法则aa （a0， =b0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 bb 5 a，0都是负数，虽然 aa注：（1）必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。若，b baa 无意

12、义。在实数范围内无意义；若b=0，则 有意义，但a ，b bb171，以 ，应（2）如果被开方数是带分数先将其化成假分数 ，如必须先化成44411 免出现 4 =4 这样的错误。×44不含3（）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中 二次根式。 n0。mb a ）÷（n）=（m÷n）×（a ÷b ），其中a0，b0，推广：（33 ）； 练习：计算（1）48 ÷6 ； （2）-27 ÷（ 8102b 72aaa3 ）4a b ÷（；- （4 （3） 4b4b6b 四、二次根式除法法则的逆

13、用a a） = （a00，b 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。即bb 。公式中的00b，可以是数，也可以是代数式，但必须满足a，b注：公式中的a-3a，不能写为 限制公式右边，ab是的，对公式的左边，只要0即可。例如计算 -4b3 -33 -3-3 3 。 =，而应写为 = = =2-4-444 -4 （或分式）同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数利用这个公式，a 的二次根式时，先将其化为 （a0，b0）的形式，然后利用分式的基本性质，分b 子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。 6 5121b1

14、25481× ； （2（）3） ；练习：化简（1 ） 5216a1449 五、最简二次根式的概念 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 ）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。）被开方数不含分母；（2（1 对于最简二次根式的概念我们可作如下解释： ）被开方数中不含分母，因此被开方数是整数或整式；1（ 1。指数都是（2）被开方数中每一个因数或因式的 化简二次根式的一般方法 方法 举例将被开方数中能开得尽方 的因数或因式进行开方24423xx=xyyxy=x 2，2 =28 =4×化去根号下的 分母若被开方数中含有带分数，应先将带 分数化成假分数244×34

15、123144×3 3 =1=或=1=333333×3333×3若被开方数中含有小数，应先将小数 化成分数3103909999×=10 10或0.9=0.9=10010101010101010×被开方数是多项式的要先 进行因式分解4224253422222）+y=（=xx（+yX+2xxy+xy=（xx+2xy）+yx ）练习：下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？若不是，请说明理由。 yx 22 3222；（4） ；（5）a+6a+9a ； （6）23 ；）（；0.3 ）（1 2 xy （）（x-y）；（7）32n ；（8） x335拓展

16、：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。常用的有理化因式有：a与a；a+b与a+b；a-b与a-b；a+b与a-b；ab+cd与ab-cd等。 72b ）（1；）（1.252；）（练习：把下列二次根式化成最简二次根式：1240（）；3475a20 7 典型例题剖析 题型一：二次根式乘除法法则成立的条件 ）x+3

17、）成立，则（ x-3=（x+3）（）（1 x-3若 、-3x3 Dx为任意实数A、x3 B、x-3 Cxx ）如果= （2）成立，那么（x-6x-66 、xx0 D、0A、x6 B、x6 C 题型二：二次根式的化简39a2224 化简：（1）12ab+x）；（ （2）41-403；x 4 题型三：二次根式的乘法混合运算22a-b-baa412 ）×÷（；（2）×（2÷3282-52）计算：（1b6a7253a+6b 题型四：利用二次根式的性质把根号外的非负因数（式）移到根号内 把下列各式中根号外的因数（式）移到根号内：y113 ，y0-a）- ；5（）x

18、0（x；（1）52；（）-32）（3-2a；（）4x2a5a 题型五：二次根式的大小比较）-211与-35 2与3（11； 2（比较大小：17）二次根式的加减 1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，例如3ab与-4ab 2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数和，且字母部分不变。 3、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 22222 ±2ab+bba=aa-b）（4、平方差公式：a+b（）-b完全平方公式（±）=a5、多项式与多项式相乘，

19、先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得 8 =am+an+bm+bn ）的积相加，即（a+b）（m+n 一、可以合并的二次根式 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。，括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变合并的方法与合并同类项类似，把a 合并的依据是乘法分配律，如m+nm）a+na=（ 练习：化简下列二次根式，并指出哪些是可以合并的二次根式。3127112a b）；0，b0227；（）- ）（；3；）4；（）5（a（1） 327aa3b53232（a0，b0）；）b（a0，0）； （8 7243（6）2； （3）abab9 二、二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下： （1）将各个二次根式化成最简二次根式；（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；（3）合并被开方数相同的二次根式将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：化简判断合并。 二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下： 运算 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 系数 系数相乘除系数