北京市房山区2019-2020学年高二上学期期末数学试题

1、绝密启用前北京市房山区2019-2020 学年高二上学期期末数学试题注意事项：1 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上试卷副标题题号一二三总分得分考试范围：xxx；考试时间：100 分钟；命题人：xxx第 I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分评卷人得分一、单选题21 椭圆x42y 1 的离心率是（）3A3B2BC12232在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些A 一个球B 一个圆C半圆23双曲线yx2 1 的渐近线方程为（4A y 2xB y 2xD 一个点1C y x2D yr4已知向量ar2, 3,5 与向

2、量 bA 1B 1C6D 6225已知双曲线x y1 的焦点为F1， F2， P 为其上一点. 若点P 到 F1 的距离为15，64 364,x, 1 垂直，则实数x 的值为（则点 P 到 F2的距离是（）A 31B 1C1rr6 已知直线l 的方向向量a 1,2,1 ， 平面 的法向量bD 1 或 312,4,2 ， 则直线 l 与平面试卷第 2 页，总 4 页()A l/B lC lD l试卷第 8 页，总 4 页uuur uuuur7在正方体ABCD A1B1C1D1 中，向量AB 与向量C1A1 的夹角是（）A 150°B 135°C 45°D 30

3、76;8 已知抛物线16x 上的点 P 到抛物线焦点的距离m10 ， 则点 P 到 y 轴的距离dA12BC 6D9已知双曲线1 的离心率e 2 ，则实数k 的取值范围是（Ak 0或 k 3B3k0C12 k 0Dk310 如果抛物线y24x的焦点为F 点M 为该抛物线上的动点，又点A(1,0) 那么 | MF | 的最大值是 |MA|AB22C2D11“方程2 mx2 ny1 表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件是mnB n m 0Cmn 012在正方体ABCD A1B1C1D1中，点Q 是平面A1BCD1内的动点，且点()Dmn 0Q 到直线AB1和直线 BC 的距离相等，则动点Q 的轨迹

4、是（A 圆的一部分B 椭圆的一部分C 双曲线的一部分D 抛物线的一部分第 II请点击修改第II 卷的文字说明卷（非选择题） 在 要 不 请 评卷人得分13 设 是直线与平面所成的角，则角二、填空题的取值范围是2214 双曲线y x 1 的实轴长为16915抛物线x2 = -8y的准线方程是16 以下三个关于圆锥曲线的命题：设 A， B为两个定点，uuurk 为非零常数，若| PA|uuur| PB | k ，则动点P 的轨迹为双曲线；方程2x2 5x 2 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；222双曲线x y 1 与椭圆 xy2 1 有相同的焦点25 935其中真命题的序号为（写出所有真

5、命题的序号）.17 在长方体ABCD2 x18 已知椭圆E： x2aA1B1C1D1 中，AB A1A 3，则二面角A12y 1， a2 1， ab2E 于 A、 B 两点 若 AB 的中点坐标为BC A的大小为0 的右焦点为F 3,0 ， 过点 F 的直线交椭圆1, 1 ， 则 E 的方程为评卷人得分三、解答题19如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC 3， BC 4， AB 5， AA1 4 ，点D 是 AB 的中点（ 1）求异面直线AC 与 BC1 所成的角；（ 2）求证：AC1/平面CDB1220 在平面直角坐标系xOy中， 点 F1 ， F2分别是椭圆E : x2a右焦点， 顶

6、点 B 的坐标为（0, b） ， 且 |BF2 |2 ， 点 C交椭圆于点A2y21(a b 0) 的左、b2414 , 1 是椭圆 E 上一点， 直线CF2331）求椭圆E 的方程；2）求ABC 的面积221 已知 F 为抛物线C : y2 2px（p 0） 的焦点，过点F 的直线交抛物线于A， B 两点， O 为坐标原点1）当抛物线C 过点 M （1, 2） 时，求抛物线C 的方程；uuur uuur2）证明：OAgOB 是定值22 如图，在四棱锥P ABCD 中， 底面 ABCD 为矩形，PA平面ABCD， AB PA 1，AD 3 ， F 是 PB 中点， E 为 BC 上一点 .1）

7、求证：AF 平面PBC；2）当BE 为何值时，二面角C PE D 为 45° . 线 线 题 答 订 内 订 线 订 装 在 装 要 装 不 请 内 外 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第 28 页，总 16 页参考答案1 D【解析】【分析】c1 方程可知a 、 b 、 c 的值，由离心率e 求出结果a2解：由椭圆x42y 1 可知， a 2 ， b 3 ， c 1 ，3c1离心率 e，a2本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出故选： D a 、 c 的值是解题的关键，属于基础题2 B【解析】【分析】利用共面向量的概念及向量的模即可得答案【详解

8、】解： 平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是一个圆故选： B 【点睛】本题考查方程，关键是理解共面向量的概念，属于基础题3 A【解析】【分析】2直接利用双曲线的标准方程x2a2 y b2b1 的渐近线方程为y x ， 求出双曲线的渐近线方a程即可2解：因为双曲线的标准方程为y4x2 1 ，则它的渐近线方程为：y 2x故选： A本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查计算能力，属于基础题4 B根据数量积的坐标计算

9、公式代入可得x 的值rr解：向量a 2, 3,5 ，与向量brr4, x, 1 垂直，则agb 0 ，24(3) x 5 ( 1) 0 ，解得 x 1 ，故选： B 本题考查空间向量的坐标运算，以及数量积的坐标公式，属于基础题5 A直接利用双曲线的定义，转化求解即可解：双曲线22x y 1 的焦点为F1 ， F2 ， P 为其上一点64 36所以PF1PF22a 16 ，若点P 到 F1 的距离为PF1 15，15 PF216，解得PF231或PF21 （舍去），所以点 P 到F2的距离是：31 故选： A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，属于基础题6 B【解析】【分

10、析】r r rr由已知可求b 2a ，判断 b 与 a 共线，即可得解l a 【详解】rr解： Q 直线 l 的方向向量a 1,2,1 ，平面的法向量b 2,4,2 ，rrb 2a ，rr则 b 与 a 共线，可得：l a 故选： B 【点睛】本题考查满足线面平行的条件的判断，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题7 B【解析】【分析】uuur uuuur由题意利用正方体的性质，求出向量uAuBur 与向量C1 A1 的夹角【详解】解：如图，正方体ABCD A1B1C1D1 中，Q AB/A1B1 ， AC/A1C1，uuur uuuurC1 A1B1的补角即为向量AB 与

11、向量C1A1 的夹角Q C1 A1B1 为等腰直角三角形，C1A1B145 ，uuur uuuur量 AB 与向量C1 A1 的夹角为180 45 135 ，本题主要考查两个向量的夹角，正方体的性质，属于中档题8 CP 的横坐标，即为P 到 y 轴的距离解：由抛物线的方程可得准线方程为：x 4，设 P 的横坐标为x0，由抛物线的性质可得x0 4 10 ，所以x0 6 ，所以 P 到 y轴的距离为6，故选： C 【点睛】考查抛物线的定义的理解，属于基础题9 C【解析】【分析】直接利用双曲线的方程，求出离心率，利用已知条件求解即可【详解】22解： 双曲线 x y 1 可知 k 0 ， 并且 a 2

12、， c 4 k ， 双曲线的离心率为：e 4 k ，4k2Q1 e 2，4k2，2解得12 k 0，综上 12 k 0故选：C本题考查双曲线的基本性质的应用，注意双曲线方程的判断，属于基础题10 DA 在抛物线的准线上，由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得| MF | MN ， 所以 | MF | 的最大值时，A， M ， F 三点共线，可得结果| MA | AM | MA |解：由抛物线的方程可得，焦点F (1,0) ，准线方程为：x 1 ， A(1,0) 点在准线上，作 MN 准线交于N ，由抛物线的性质可得MF | | MN |，所以|MF |MA|MN |，

13、|MA|在三角形AMN 中， MN cosMAMAF ，所以 |MF | 的最大值时，FAM 最小，|MA |FAM 最小，所以这时| MF | 的最大值为1，|MA |A， M ， F 上的共线时，考查抛物线简单几何性质，属于基础题11 A根据椭圆的标准方程，即可得到结论解：若方程表示椭圆，则m， n0，2 x则方程等价为12y11，若方程表示焦点在1则等价为n解得： m n故选： A本题主要考查椭圆的定义和方程，题12 DQ 的轨迹【详解】解：如图，0，y 轴上椭圆，0，Q 到直线将条件转化为标准方程形式是解决本题的关键，属于基础AB1 的距离为Q 到 G 点的距离，再由抛物线的定义得动点

14、在正方体ABCD A1B1C1D1 中，有A1D1 平面AA1B1B，则A1D1 AB1，又AB1A1B，A1BIA1D1A1，A1B平面A1BCD1，A1D1平面A1BCD1，AB1 平面A1BCD 1，设 A1B I AB1 G ，连接 QG ，则 QG AB1，垂直为G ，而 G 与 BC 在平面A1 BCD1 内，且 G BC，又点 Q到直线 AB1和直线 BC 的距离相等，即点Q到 G 的距离与到直线BC 的距离相等，由抛物线定义可知，动点Q 的轨迹是抛物线的一部分故选： D 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查抛物线定义的应用，属于中档题13 0，2.【

15、解析】【分析】当直线在平面内或直线平行于平面时，取最小值0， 当直线与平面垂直时，取最大值，2由此能求出角的取值范围【详解】解： 是直线与平面所成的角，当直线在平面内或直线平行于平面时，取最小值0，当直线与平面垂直时，取最大值，2角 的取值范围是0, 2 故答案为：0,2【点睛】本题考查线面角的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题14 8.【解析】【分析】直接利用双曲线标准方程，求出实轴长即可【详解】22解：双曲线y x 1 的实轴长为：2a 2 4 8 16 9故答案为：8【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属

16、于基础题15 y 2（ 0，2） .【解析】【分析】由抛物线的方程直接可得p 的值及焦点所在轴，求出结果【详解】解：由抛物线x2 = - 8y可得： 2p 8，所以 p 4 ，且焦点在y轴的负半轴上，所以焦点0, p 即： 0, 2 ，准线 y p 2 ，22故答案分别为：y 2 ；0, 2 【点睛】考查抛物线的标准方程求焦点坐标及准线方程，属于基础题16 .【解析】【分析】（ 1 ）根据双曲线的定义知不正确，（ 2）解方程知两个正根，一根大于1 作双曲线的离心率，一根小于1 作椭圆的离心率，判定正确；， （ 3）求出双曲线的焦点与椭圆的焦点，判定正确【详解】解： 平面内与两个定点F1， F2

17、的距离的差的绝对值等于常数k（k | F1F2 |） 的点的轨迹叫做双曲线，当0 k | AB | 时是双曲线的一支，当k | AB | 时，表示射线，不正确；11方程2x2 5x 2 0的两根是2和 ， 2可作为双曲线的离心率，可作为椭圆的离心22率，正确；222双曲线x y 1 与椭圆 x y21 的焦点都是34,0 ，有相同的焦点，正确；25935故答案为：【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义、焦点坐标和离心率等知识，属于基础题17 45°.【解析】【分析】设 AD a，以 D 为原点，DA 为 x轴， DC 为 y轴， DD1为 z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面

18、角A1 BC A的大小【详解】解：设 AD a，以 D 为原点，DA 为 x轴， DC 为 y轴，DD1为 z轴，建立空间直角坐标系，ur则平面 ABC的法向量m 0,0,1 ，A1 a,0,3 ， B a,3,0 ， C 0,3,0 ，uuuruuurBC （ a， 0， 0） ， BA1 （0 ，3， 3），r设平面A1BC 的法向量n x, y, z ，v uuuvn·BC ax 0r则 v uuuv，取 y 1，得 n （0 ， 1， 1），n · BA13y 3z 0设二面角A1 BC A的大小为则 cosur r| mgn |ur r| m |g| n |22，

19、45A1 BC A的大小为45故答案为：45本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算 求解能力，属于中档题22 xy18 1189【解析】【分析】yy b设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，采用“点差法”，得 122 ，再根据直线过点F 3,0 ，x1x2ay1y21和 AB的中点坐标1, 1 ， 得 12， 结合椭圆中a， b， c的关系， 可求得b29， a218 ，x1x22即可得 E 的方程 .2222c 3 ，设 Ax1, y1， Bx2 , y2 ，则12y121 ，22y221 ，ababAB 的中点坐标为1, 1 ，则?x1

20、x2 2， y1 y22，得x1 x2 2x1 x2a2y1 y2b x1 x22x1 x2a y1 y2y1 y2 0 1 1，x1 x23 12又 a2 b2 c2 b2 9， b2 9， a2 18，即y1y2y1y220，b222bb1ab2212，即a2 2b2，22x y 1.189在中点弦或弦的中点问题中，本题考查了求椭圆的标准方程，考查了弦的中点有关问题； 采用“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式求解19 （ 1 ）（ 2）证明见解析2【解析】【分析】（ 1） 因为 AC 3， BC 4， AB 5， 利用勾股定理的逆定理可得ABC是直角三角形，AC BC 因为三棱柱ABC

21、 A1B1C1 为直三棱柱，可得C1C 平面 ABC ，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出（ 2）建立空间直角坐标系，利用直线方向向量、平面的法向量关系即可得出【详解】解： （ 1 ）因为 AC 3， BC 4， AB 5，所以 AC2 BC2 AB2，所以ABC是直角三角形，所以 ACB 2 ，所以 AC BC因为三棱柱ABC A1B1C1 为直三棱柱，所以C1C 平面 ABC，所以C1C AC ， C1C BC以 C 为原点，分别以CA、 CB、 CC1为 x轴、 y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则 C（0， 0， 0）， A（3， 0， 0）， B（0， 4， 0）， C1（0

22、 ， 0， 4）uuuruuuur所以直线AC 的方向向量为CA （3,0,0） ，直线 BC1 的方向向量为BC1（0, 4,4） ，设异面直线AC 与 BC1 所成的角为，uuur uuuur因为CAgBC10，所以cos0 ，所以异面直线AC 与 BC1 所成的角为2uuur4) ，则CD332 ,2,0 ，uuurCB1(0,4,4)uuuv v3CD ·nv 0x2y0uuuv v ，所以2CB1· nv 04y4z03（ 2）由（1）可知 D 2,2,0 ， B1（0， 4，r设平面CDB1的法向量为n （x,y,z），则令 x 4 ，则 y 3 ， z 3 ，

23、所以rn (4, 3,3)uuuur直线AC1 的方向向量为AC1( 3,0,4) ，uuuur r本题考查了空间位置关系、线面面面平行与垂直的判定性质定理、因为AC1 gn 0， AC1平面 CDB1， 所以AC1/平面CDB1三角形中位线定理、法向量的应用、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题24 y 1 ( 2)32x20 ( 1 ) x21 ）根据椭圆的性质，将C 代入椭圆方程，即可求得b 的值，求得椭圆方程；2）由（1 ）可知，求得直线CF 2的方程，代入椭圆方程，求得A点坐标，求得| AB | ，即可求得 ABC的面积【详解】解： （ 1）因为顶点B 的坐标为（0,

24、b）， | BF2 | 2 ，所以| BF2 | b2 c2 a 2 ，4 116因为点 C,在椭圆上，所以9332a2故所求椭圆的方程为xy2 1 .2191 ，解得b2 1 ，21412）因为点C 的坐标为, ，点F2的坐标为（1,0） ，331所以直线CF2的斜率 k 43 1 ，所以直线CF2的方程为y13x 1，yx122x 2y得，3x2 4x0x0 ，所以y431，3所以点 A的坐标为（0, 1），所以|AB | 2 ，所以 S ABC 2233本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查转化思想，计算能力，属于中档题21 （ 1 ） y2 4x（ 2）证明

25、见解析【解析】1 ）将 M 点代入抛物线方程，即可求得p 的值，求得抛物线方程；2）分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线l 的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及向量的坐标运算，即可证明uuur uuurOAgOB 是定值解： （ 1 ）因为抛物线C :2px( p 0) 过点 M (1, 2)，所以 4 2 p ， p 2 ，所以抛物线C 的方程y24x ；2）证明：当直线l 斜率存在时，F ( p,0) ，设直线2l 的方程为yk(x p) ，则2k(x 2p) (1)，2px (2)将（ 1）代入（2）得，kxkp22 px ，化简得kx2(k2p2p)xk42p 0，设 A，B 的坐标

26、分别为x1 , y1x2 , y2 ，则x1x2A，B 都在抛物线y 22 px 上，所以2 y12 px1 ，2 y22 px2 ，所以y1 2 y22222 p x1x2 ，所以y124y2 p ，A，B 分布在 x 轴的两侧，所以y1y20 ，所以y1 y22p，uuur所以 OAuuuruuur uuur(x1,y1)， OB (x2,y2) ，所以OAgOBx1 x2y1 y23 p2 ，是定值4( x2 ， y2 ) ， 则x1x2l 无斜率时，F （ p ,0） ， 设 A， B 的坐标分别为（x1 ， y1） ，2代入抛物线方程y2 2px得，y12 p2， y22 p2，所以y12y22p4，因为点A，B 分布在 x轴的两侧，所以y1y20 ，所以y1 y22p，uuuruuuruuur uuur所以 OA (x1,y1)， OB (x2,y2) ，所以OA