八年级上培优专题三全等三角形辅助线作法

1、. 欢迎下载支持.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理 全等三角形辅助线作法专题三 “三线合一”法一、：遇到等腰三角形，中线、顶角的角平分线三线合一. 等腰三角形底边上的高、 可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题 注意：有一个内角为60°的三角形一定是等边三角形 倍长中线法：二、即延长中线使延长线段与原中线长相等，构遇到三角形的中线，倍长中线， 造全等三角形。_. ，则中线AD的取值范围是ABC中，AB=5，AC=3例1、已知，如图AA 2图例1图 例E的EFBE+CF，D是中点，试比较分别在AB、AC上，DE与DF中，例2、如图，ABCE、FF. 大小BCCDBD的

2、中点，求证：中，、如图，ABCBD=DC=AC，E是DCAD平分BAE. 例3三、角平分线构造全等法 ：即利用角平分线构造全等三角形法。遇到角平分线有三种添辅助线的方）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，形成一对全等三角形。（法，1可以在角平分线上的一点（2）所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理可以在该角的（3）作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。然后从这两点再向角平分线两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点， 上的某点作边线，构造一对全等三角形。 （一）角分线上点向角两边作垂线构全等OE=OD 求证：AD,CE相交于点O，的角平分线已知在、如图，ABC中，

3、B=60°，ABC1A FAC,CD=BC。 如图2-1，已知AB>AD, BAC=例1 ADC+B=180 求证：EOADC的两边作垂线。近而证向分析：可由CBAD与B之和为平角。 BCD例2 如图2-2，在ABC中，A=90 ，AB=AC，ABD=CBD。 BC=AB+AD 求证：. 欢迎下载支持.word版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理，则构造出全等三角形，从而得证。此题AD=DE=CE于E，则：过D作DEBC分析 是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。 （二）：作角平分线的垂线构等腰三角形则截得一个等腰三角形，从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使

4、之与角的两边相交，以利用中位线的性质与等腰三垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一角形的三线合一的性质。 。边相交）中点。H是BCAD于D，例1 已知：如图3-1，BAD=DAC，AB>AC,CD1 AB-AC求证：DH=）（ 2 E，则可得全等三角形。问题可证。：延长CD交AB于点分析B为ABC的平分线，CEAD 已知：如图3-2，AB=AC，BAC=90 ，例2 。E.求证：BD=2CE可延长此垂线与另外一边给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，分析： 相交，近而构造出等腰三角形。 、以角分线上一点做

5、角的另一边的平行线（三）从而构造等腰常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，有角平分线时，三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交， 所示。4-1和图4-2从而也构造等腰三角形。如图 C=180。平分ABC，且AD=CD，求证：A+5 例如图，BC>BA，BDA D C 65图图 例例例6 如图，ABCD，AE、DE分别平分BAD各ADE，求证：AD=AB+CD。 D B E （四）截取构全等可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这C B A 两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。例8 已知：如图1-3，AB=2AC，B

6、AD=CAD，DA=DB，求证DCAC 分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。 AB-AC=CD ，求证：BAC平分B,ADC=2中，ABC，在1-4已知：如图 9 例文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？ 四、截长法与补短法： 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等

7、的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 （一）截长 在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 1.已知：如图，ABC中，AD平分BAC，若C=2B,证明：AB=AC+CD. 2.已知：如图，ABC中，A=60°，B与C的平分线BE,CF交于点I，求证：BC=BF+CE. （二）补短 将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段 3.已知：如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分CBE交CD于F，求证：BE=CF+AE. 4.已知：如图，在ABC中，AB=AC，D为ABC外一点，ABD=60

8、76;，AB=BD+DC，求证：ACD=60°. 5.已知：如图，四边形ABCD中，AB=AD，BAD=60°，BCD=120°，求证：BC+DC=AC. 五、中垂线法： 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 例1、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. ab，求AE、BE的长2）如果AB=. ，AC=（1）说明BE=CF的理由；（注意：作平行线、作垂线、作中位线是三角形问题中最常见的辅助线作法 （一）作平行线 1、如图，ABCD和CEFG是两个正方形，AB=a，

9、CE=b，则BDF的面积是 。 2、已知：如图，在ABC中，AB=AC，D点在AB边上，E在AC边的延长线上，DE交BC于点F，BD=CE，求证：DF=EF. （二）作垂线 3、如图，已知OP平分AOB，C，D分别在OA、OB上，若PCO+PDO=180°， 求证：PC=PD. 4、已知：如图，在ABC中，AB=2AC，1=2，AD=BD，求证：CDAC. 5、已知：如图，ABC中，AB=AC，ABAC，BM是AC边上的中线，ADBM，分别交BC、BM于D、E，求证：CMD=AMB. （三） 构造中位线 6.如图，在ABC中，D是BC上的靠近B点的三等分点，E是AB的中点，直线AC与

10、DE交于点F，求证：EF=3DE. 7.在ABC中，B=2C,M为BC的中点，ADBC，求证：DM=1/2AB. 8.在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, CAB的平分线交BD于点F，交BC于点G，求证：CG=2OF. 全等三角形辅助线的作法. 欢迎下载支持版本可编辑.文档来源为:从网络收集整理.word 遇三角形中线常见辅助线一、 构造全等三角形，利用的使延长线段与原中线长相等，若遇到三角形的中线，可倍长中线， 。旋转”思维模式是全等变换中的“ 角平分线常见辅助线二、 角分线上点向角两边作垂线构全等：1、利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明过角平分线上一点向角两边作垂线，

11、 问题 截取构全等2、，从而为OFDDF，则有OEDBOC，如取OE=OF，并连接DE、AOC=如图， 我们证明线段、角相等创造了条件 延长垂线段3、 遇到垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形 作平行线4、 、以角平分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形从而也构造等腰三通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，、 角形 性质的逆定理三线合一”三、等腰三角形的“ 性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。三线合一” “ 逆定理： 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。、 、如果三

12、角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。 、如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。 三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。【简言之】： 四、截长法与补短法 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法： 截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。之差通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、对于证明有关线段和差的不等式， 小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。可连接两点或延长某如直接证明不出来，、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，再运用三角形三边的不等关系边构成三角形，使结