九年级数学第8讲.全等到相似的转化.尖子班.解析版

1、全等到相似的转化满分晋级阶梯三角形 17 级 解直角三角形三角形 15 级 垂直模型中的相似及变形 三角形 16 级 全等到相似的转化克隆机 VS放大机知识互联网题型一：全等到相似的转化（对称型）典题精练例 1】解析】已知正方形 ABCD的边长为 6cm，点 E 是射线 BC上的一个动点， 交射线 DC于点 F ，将ABE沿直线 AE翻折，点B落在点 B 处 当 BE 1 时， CF cm ，CE 当 BE 2 时，求 sin DAB 的值；CEBE 当 BE x 时（点 C 与点 E 不重合） ，请写出 ABE 翻折后与 CE正方形 ABCD公共部分的面积 y与 x的关系式，（只要写出结论，

2、 不要解题过程） CF 6 cm ； 如图 1，当点 E在BC上时，延长 AB 交DC于点 M，连接 AE图1 ABCF ， ABE FCE ，BECEABFCBECE2 ， CF3B图2 AB CF ， BAE F 又 BAE BAE， BAE F MA MF 设 MA MF k ，则 MC k 3 ， DM 9 k 在 Rt ADM 中，由勾股定理得：2 2 2 135k 2 9 k 2 62 ，解得 k MA 13 DM 5 22DM 5 sin DAB ；AM 13 如图 2，当点 E 在 BC延长线上时，延长 AD 交 BE 于 点N，同可得 NA NE 设 NA NE m，则 BN

3、 12 m 在 Rt AB N 中，由勾股定理，得m2 12 m 2 62 ，解得 m AN 15BN 9 22B N 3 sin DAB AN 5 当点 E在BC上时， y 18x ；x1（所求 ABE 的面积即为 ABE的面积，再由相似表示出边长） 当点 E 在 BC 延长线上时，18 x 18x题型二：全等到相似的转化（旋转型）中， OACOD ， AC 、 BDOB ，OC ODAOB例 2】 在 OAB 和 OCD 交于点 P 如图 1， AOB关系是关系是典题精练COD60°，则 APDAC 与 BD 的数量图1O求 AC 的值 如图 2， AOB COD ，则 APD

4、的度数为（用含 的式子表示）， AC 与 BD之间的数量关系是 ；填写你的结论，并给 出你的证明； 请你继续完成下面探索：如 图 3 ， 在 OAB 和 OCD 中 ， OA kOB ， OC kOD ， AOB COD ，则 APD的度数为 （用含 的式子表示） ， AC 与 BD 之间的数量关系是 ；填写你的结论，并给予证明分析】 此 题考察学生对共顶点的三角形的全等与相似.解决这里夹角的主要思路是我们常见的模型 “八字角 ”.解析】 120 ，相等； 180，相等； AOC BOD SAS， AC BD ，OACOBD 1 2 ，AOBAPB AOB ， APB， APD180°

5、;180 ， ACkBD .易证 AOC BOD ，AC kBD ，ODBOCA 12 ，DOCDPC ， APD180° ， ACkBD AOB COD ， AOC BOD例 3】 如图，直线 MN 与线段 AB 相交于点 O, 点 C 和点 D 在直线 MN 上，且 ACN BDN 45 . 如图 1所示，当点 C与点 O重合时 ，且 AO OB ，请写出 AC与 BD 的数量关系和位置关系； 将图 1 中的 MN 绕点 O顺时针旋转到如图 2 所示的位置， AO OB， 中的 AC与 BD的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请证明； 若不成立，请说明理由； 将图 2 中的

6、 OB 拉长为 AO 的 k 倍得到如图 3，答案】 AC BD, AC BD 仍然成立 .证明 : 过点 A作 AEMN 于 E,过点 B 作BFMN 于 F AEOBFO 90 AOEBOF ,AO OB AOE BOFDFBAOCH AE BF ACN BDN 45 AC 2AE,BD 2BF AC BD延长 AC 与 DB 的延长线相交点 HDCH ACN 45又 BDN 45 CHD 90 AC BD 过点 A 作 AE MN 于 E,过点 B 作 BF MN 于 F易证 AOEBOF AE AOBF OB OB kAO ， AO 1OB k 由知 AC 2AE,BD 2BF AC

7、2AE AE 1BD 2BF BF k例 4】 如图， Rt AB C 是由 Rt ABC绕点 A顺时针旋转得到的，连结 CC 交斜 边于点 E，CC 的延长线交 BB 于点 F 证明： ACEFBE ； 设 ABC ， CAC ，试探索 、 满足什么关系时， ACE 与FBE 是全等三角形，并说明理由2013 四川眉山 )解析】 证明： RtAB C 是由 RtABC 绕点 A顺时针旋转得到的， AC AC， AB AB ，CABCAB CACBAB ACCABB又 AECFEB ACE FBE 解：当 2 时， ACE FBE在 ACC 中， AC AC180° CAC 180&

8、#176; ACC 90 22在 Rt ABC 中，ACC BCE 90°，即 90BCE 90 ， BCE ABC ， ABC BCE CE BE由知： ACEFBE ， ACE FBE .【例5】 如图，正方形 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 M ，正方形 MNPQ 与正 方形 ABCD全等，射线 MN 与MQ 不过 A、B、 C、 D四点且分别交 BC、 CD 的边于 E 、 F 两点 求证： ME MF ； 若将原题中的正方形改为矩形，且 BC 2AB 4 ，其他条件不变，探索 线段 ME 与线段 MF 的数量关系 QP解析】 证明：过点 M作 MG BC于点 G，M

9、H CD于点 H . MGE MHF 90 .M 为正方形对角线 AC 、 BD的交点， MG MH .又EMG GMQ HMF GMQ 90 EMG HMF在MGE和 MHF 中 EMG HMFMG MH MGE MHF MGE MHF . ME MF . 解：当 MN 交 BC 于点 E ， MQ 交 CD 于点 F 时 .过点 M 作 MG BC 于点 G ， MH CD 于点 H. MGE = MHF = 90 .QPQ M 为矩形对角线 AC、 BD 的交点， EMG + GMQ =HMF +GMQ = 90 EMG = HMF .在 MGE 和 MHF 中，EMG HMFMGE M

10、HFMGE MHF .ME MGMF MHM 为矩形对角线 AC、BD 的交点， MB=MD =MC 又MGBC，MHCD，点G、H分别是 BC、DC 的中点 . BC 2AB 4 ，11 MGAB,MH BC.22 ME 1 .MF 2.【例 6】 如 图 ， ABC和DEF 是 两 个 全 等 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， BAC EDF 90 ， DEF 的顶点 E 与 ABC 的斜边 BC 的中点重 合将 DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB相交于点 P ， 线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q （ 1）如图，当点Q在线段 AC上，且AP AQ时，求证：

11、BPECQE ； （ 2）如图，当点 Q 在线段 CA的延长线上时，求证： BPECEQ ；解析】B C 45 ，AB AC ， AP AQ ， BP CQ ， E是BC 的中点， BE CE ， 在 BPE 和 CQE 中2)BBPC CQ BPECQE（ SAS）；解：连接 PQ ， ABC和 DEF 是两个全等的等腰直角三角形，BC DEF 45 ，BEQEQCC，BEPDEFEQCBEP45EQC 45BEPEQCC，即 BPE CEQBPBECECQ ，BPa，CQ 9a ，2BE CEBECE32 2a ，BC3 2aABACBC ?sin453a，AQCQACa，PA AB2BP

12、2a在 Rt APQ中， PQ AQ 2 AP2训练 1.思维拓展训练 （ 选讲）如图，将ADE 绕正方形 ABCD 的顶点 A 顺时针旋转 90°，得 ABF， 连结 EF 交 AB 于 H ，则下列结论错误的是（）A. AE AF2C. AF 2 FH FEB. EF : AF 2:1BF HB D.FC EC解析】训练 2.如图 断线段如图1，ABC和DBE 为等腰三角形，其中 AE和CD 之间的数量关系与位置关系，并证明BEBDABCDBE 90 ，判AB2， ABC DBE 90 ，BC2，判断线段AE和 CD之间的数量关系与位置关系，并证明 .在的条件下，将 ABC 绕点

13、B 旋转中的结论是否成立？解析】 AE=CD 且 AE CD证明：延长 EA 交 CD 于 M先证 ABE CBD（ SAS）AE=CD， DAM DMECDB AEBBAEABE 9090 ），0图1AECDBE BD BC BD ABBCAB BE ABC ABE CBD AE 2CD成立，方法同上DBE 90图2图3训练3. 已知：如图 1 所示，在 ABC和 ADE 中， AB AC ， AD AE ， BACDAE ，且点 B ， A， D在一条直线上，连接 BE，CD，M ，N分别为 BE、 CD的中点 求证： BE CD ； AMN 是等腰三角形 在图 1 的基础上，将 ADE

14、绕点 A按顺时针方向旋转 180°，其他条件中的两个结论是否仍然成立；ED 交线段 BC 于点 P 求证：2 中延长不变，得到图 2 所 示的图形请直接写出图 在的条件下，请你在图 PBD AMN 2008 年沈阳市中考题）图1A图2AN ，解析】 由ABE ACD ，得 BE CD，由 ABM ACN ，得 AM 即 AMN 为等腰三角形； 中的两个结论仍然成立 由同理可证 ABM ACN CANBAMC BACMANP N而 BACDAE ，B D A MANDAE BAC ，B M D AE即 AMN、 ADE 、 ABC 都是顶角相等的等腰三角形 PBDAMN ， PDB A

15、DE ANM 故PBD AMN 题型一 【练习 1】解析】全等到相似的转化（对称型） 如右图，在正方形 ABCD BP若 BP = m（m 为常数 ） ，则 BC1中，AB=1，BEAP于 E， DF AP 于F， AFPE练习 2】使如图， AD a已知 OA OB ， OA 4 ， OB 3，以 AB为边作矩形 ABCD， ，过点 D 作 DE 垂直 OA 的延长线交于点 E 当 a 为何值时， 的距离 当 a 为何值时， 解析】 当 a 5 时， OA 4，OB 3， AB 5，当 a 5时，ADOABEDA ？请说明理由，C到 OE 的距离是 15?OABEDABOAAED ， OAB

16、 EDA过C作CF OE，过 B作BG CF ABCD 为矩形又 AD AB ， ABCD为正方形 BC AB ， CBG ABO ， BGC BOAGFOB3， CF 7a15时，C到 OE的距离是 15；ADa， BC a ， BCG BAOBCCG43， CGa ， GF BOABAO5CF4a43 ， a 3 15 ， a1555 BCG BAO ， CG OA 4当并求此时点 C 到OEAB ， BAO ADE题型二 全等到相似的转化（旋转型）【练习 3】 现有一副直角三角板，按下列要求摆放： 如图 1，固定等腰直角三角板 ABC ， AO BC 于 O ，另一个直角三 角板 DEF

17、 的直角顶点 D 与O重合，现让三角板 DEF 绕点 O 旋转，保证 DF、DE分别交 AB 、 AC于点 M、 N试探求 AN:BM 的值； 如图 2，交换两块三角板的位置， 固定直角三角板 ABC ， AO BC 于 O ，另一个等腰直角三角板 DEF的直角顶点 D与点O重合， DF 、DE分 别交 AB、AC于点M ，N，试问 AN:BM 的值又将如何变化？C图2解析】 BOF AOE ， MBO MBO NAO ， AN:BM 1OAN 45° ， AO BO ， 得由 MBO NAO ，得 AN:BMAO:BO ，又由 ABO ABC ，得AO:BO AC: AB，故 AN

18、:BM AC: AB练习 4】 如图 1，在 RtABC 中， C 90°， AC BC ， D 是 AB 边上一点， E 是 AC 边上的一个动点（与点 A、 C不重合）， DF DE，DF 与射线 BC相交于点F如图 2，如果点 D 是边 AB 的中点，求证： DE DF ； 如果 AD:DB m，求 DE:DF 的值 .图2解析】 如图，连结 CD，那么 CD 是等腰直角三角形 ABC的斜边上的高 根据“角边角”可以证明 CDE BDF ，从而得到 DE DF 如图，作 DM AC ， DN BC ，垂足分别为点 M 、 N ，那 么 ADM 与 BDN 都 是 等 腰 直 角

19、 三 角 形 ， DM :DN DA: DB m因为 MDE 与 NDF 都是 EDN 的余角，所以 MDE NDF CMD又因为 DME DNF 90°，所以 DME DNF 因此 DE:DF DM :DN m练习5】 填空或解答：点 B、 C、E在同一直线上，点 A、D 在直线 CE 的同侧，AB AC ，ECED，BACCED ，直线 AE、BD 交于点 F 如图 1，若BAC 60°，则AFB _；如图2，若 BAC 90°，则AFB； 如图 3，若BAC ，则AFB _（用含的式子表示 ） ； 将图 3 中的 ABC 绕点 C 旋转 （点 F 不与点 A、B 重合 ），得图 4 或图 5在 图 4 中， AFB与 的数量关系是 ；在图 5 中， AFB 与 的数量关系是请你任选其中一个结论证明图1 图 2 图3解析】 AFB60°，AFB 45°；AFB190°2；