高中数学第一章立体几何初步1.2.1平面的基本性质学案苏教版必修2

1、平面的基本性质学习目标1. 掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系.2. 掌握有关平面的三个公理及三个推论 .3. 会用符号表示图形中点、线、面之间的位置关系.知识点一平面的概念思考几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？梳理(1) 平面的概念广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象 . 和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念 .(2) 平面的画法一般用水平放置的_ 作为平面的直观图一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用_ 画出来 .(3) 平面的表示方法平面通常用希腊字母 ， ， 表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面、平

2、面 AC等 .知识点二点、线、面之间的位置关系思考直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线，平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？梳理点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达1/11位置关系符号表示点 P在直线 AB上P AB点 C不在直线 AB上C?AB点 在平面上平面ACMACM点 A 不在平面 AC内A?平面 AC11直线 AB与直线 BC交于点 BAB BC B直线 AB在平面 AC内AB? 平面 AC直线 AA 不在平面 AC内AA?平面 AC11知识点三平面的基本性质思考 1直线 l 与平面 有且仅有一个公共点P. 直线 l 是否在平面 内？有两个公共点呢？思

3、考 2观察下图，你能得出什么结论？思考 3观察正方体ABCD A1B1C1D1( 如图所示 ) ，平面 ABCD与平面 BCC1B1 有且只有两个公共点 B、 C吗？梳理公理文字语言图形语言符号语言作用2/11(推论)如果一条直线上的两点在平公理 1面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内如果两个平面有一个公共点，那AB?P(1) 判定直线在平面内；(2) 证明点在平面内(1) 判断两个平面是么它们还有其他公理 2公共点，这些公P?否相交；(2) 判定点是否在直共点的集合是的一条直线经过公理 3，有且只有一个平面经过一条直线和推论 1这条直线的一点，有且只有一个平面经过两条推论 2直线，有且

4、只有一个平面经过两条推论 3直线，有且只有一个平面_A， B，C不共线? A，B， C确定一个平面 A?l ? A和 l 确定一个平面a bA? a， b确定一个平面a b? a， b 确定一个平面线上；(3) 证明点共线问题(1) 确定一个平面的依据 .(2) 证明平面重合；(3) 证明点、线共面类型一点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例 1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.3/11反思与感悟(1) 用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2) 根据符号语言或文字语言画

5、相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1) A ， B? ；(2) l ? ， m A， A?l ；(3) 平面 ABD平面 BDC BD，平面 ABC平面 ADCAC.类型二点线共面例 2如图，已知：a? ， b? ， a bA， P b， PQ a，求证： PQ? .引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内 .反思与感悟证明多线共面的两种方法(1) 纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2) 重合法：先说明一些直线在一个平面内，另

6、一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合 .4/11跟踪训练 2已知 l 1 l 2 A， l 2 l 3 B，l 1 l 3 C如图所示 . 求证：直线l 1， l 2， l 3 在同一平面内 .类型三 点共线、线共点问题命题角度1点共线问题例 3如图，在正方体 1 1 1 1中，设线段1与平面1 1交于点，求证： ，ABCD A BCDA CABCDQBQ， D1 三点共线 .反思与感悟证明多点共线通常利用公理2，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在直线上 .跟踪训练 3已知ABC在平面外，其三边

7、所在的直线满足 ， ，AB PBC QAC R，如图所示 . 求证： P， Q， R三点共线 .5/11命题角度2线共点问题例 4如图所示，在正方体1111中，E为AB的中点，F为1 的中点 . 求证：、ABCD A BCDAACED1F， DA三线交于一点 .反思与感悟证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上. 此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.跟踪训练4已知：平面 ， ， 两两相交于三条直线l ，l ， l ，且 l ， l2不平行.求1231证： l 1

8、，l 2， l 3 相交于一点 .1. 用符号表示“点A 在直线 l 上， l 在平面 外”为 _.2. 平面 ， 有公共点 A，则 ， 有 _个公共点 .3. 下图中图形的画法正确的是 _.( 填序号 )4. 空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是_.5. 如图， a b A， ac B， a d F， b c C， c d D， b d E，求证： a， b， c， d 共面 .6/111. 解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言. 文字语

9、言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2. 在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想 .7/11答案精析问题导学知识点一思考没有水平放置的正方形的直观图梳理(2) 正方形的直观图虚线知识点二思考点和直线，平面的位置关系可用数学符号“”或“?”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“ ? ”或“ ?”表示知识点三思考 1前者不在，后者在思考 2不共线的三点可以确定一个平面思考 3不是，平面ABCD与平面 BCC1B1 相交于直线BC.梳理一个AB? 经过这个公共点 l 且 P l不在同一条直线上的三点外相

10、交平行题型探究例 1解在 (1) 中， l ， a A， a B.在(2) 中， ?， ?， ，labalPb l P.跟踪训练1解(1) 点 A 在平面 内，点 B 不在平面 内，如图.(2) 直线 l 在平面 内，直线 m与平面 相交于点 A，且点 A 不在直线 l 上，如图.(3) 平面 ABD与平面 BDC相交于 BD，平面 ABC与平面 ADC相交于 AC，如图.例 2证明因为 PQ a，所以 PQ与 a 确定一个平面，所以直线a? ，点 P . 因为，?，所以.又因为 ?，所以与重合，所以?.P bbPaPQ 引申探究解已知： ，l ， ， .a bca A lb B lc C求证

11、： a， b， c 和 l 共面证明：如图，ab，8/11 a 与 b 确定一个平面 . l aA， l b B， A ， B.又 A l ， Bl ， l ? . bc， b 与 c 确定一个平面 ，同理 l ? .平面 与 都包含 l和 b，且 b l B，由公理 3 的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，平面 与平面 重合， a， b，c 和 l 共面跟踪训练2 证明方法一( 纳入平面法 )12 ，1 和l2 确定一个平面.llAl l2l B， B l .32又 l2? ， B . 同理可证 C. B l 3， C l 3， l 3? .直线 l ， l， l3在同一平面内12方

12、法二( 辅助平面法 ) l 1 l 2 A， l 1 和 l2 确定一个平面. l 2 l 3 B， l 2， l3 确定一个平面. 2，2?， .AllA A l 2， l 2? ， A.同理可证 B ，B ，C ， C.不共线的三个点， ，既在平面内，又在平面内，平面和重合，即直A B C线 l 1， l 2， l 3 在同一平面内例 3证明如图，连结A1B，CD1，显然 B 平面 A1BCD1，D1 平面 A1BCD1. BD1? 平面 A1BCD1.9/11同理 BD1? 平面 ABC1D1. 平面 ABC1D1 平面 A1BCD1 BD1. A1C 平面 ABC1D1 Q， Q 平面

13、 ABC1D1. 又 A1C? 平面 A1BCD1， Q 平面 A1BCD1. Q在平面 A1BCD1与 ABC1D1 的交线上，即 Q BD1， B，Q， D1 三点共线跟踪训练 3 证明 方法一 AB P， P AB， P平面 .又 AB? 平面 ABC， P平面 ABC.由公理 2 可知：点P 在平面 ABC与平面 的交线上同理可证 Q、R也在平面 ABC与平面 的交线上 P、 Q、R三点共线方法二AP ARA，直线 AP与直线 AR确定平面 APR.又 AB P，AC R，平面 APR平面 PR. B平面 APR，C平面 APR，BC? 平面 APR.Q BC， Q平面 APR.又 ，

14、 ，、 、三点共线QQPRP Q R例 4证明如图，连结 EF， DC， A B.11 E 为 AB的中点， F 为 AA1 的中点，1 EF綊 2A1B.又 A1B 綊 D1C，1 EF綊2D1C，E， F， D1，C四点共面， D1F与 CE相交，设交点为P.又 D1F? 平面 A1D1DA，CE? 平面 ABCD，10/11 P 为平面 A1D1DA与平面 ABCD的公共点又平面 A1D1DA平面 ABCD DA，根据公理 2，可得 PDA，即 CE、 D1F、 DA相交于一点跟踪训练4证明如图， l 1， l 2， l 3. l 1? ， l 2? ，且 l 1， l 2 不平行， l 1 与 l 2 必相交设 l 1 l 2 P，则 P l 1? ， P l 2? ，