高考数学总复习讲义：简单线性规划

1、简单的线性规划【考纲要求】1. 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。2. 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。3. 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；4. 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。5. 熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。【知识网络】不等式（组）的应用背景简单的线性规划二元一次不等式（组）表示的区域简单应用【考点梳理】【高清课堂：不等式与不等关系394841 知识要点 】考点一：用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式 Ax+By+C 0 在

2、平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域 . （虚线表示区域不包括边界直线）要点诠释：画二元一次不等式AxByC0(0) 或 AxByC0(0) 表示的平面区域的基本步骤：画出直线 l : AxByC0 （有等号画实线，无等号画虚线）；当 C0 时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当C0 时，另取一特殊点判断；确定要画不等式所表示的平面区域。简称：“ 直线定界，特殊点定域”方法。考点二：二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法因为对在直线Ax+By+c=0 同一侧的所有点(x ,y)，实数 Ax+By+c 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(

3、x 0, y0) （若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便） . 把它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0( 或 <0) 表示直线的哪一侧.要点诠释：判断二元一次不等式Ax+By+c>0( 或 <0) 表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线 Ax+By+C =0 同一侧的所有点 (x ,y) ，数 Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点 (x 0, y0) （若原点不在直线上，则取原点 (0,0) 最简便），它的坐标代入 Ax+By+c，由其值的符号1 / 8即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(

4、或 <0) 表示直线的哪一侧.考点三：线性规划的有关概念：线性约束条件：在一个问题中，不等式组是一组变量x、 y 的约束条件，这组约束条件都是关于x、y 的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数：关于 x、 y 的一次式 z=ax+by (a， b R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、 y 的解析式，叫线性目标函数线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y ）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解要点诠释：在应用线性

5、规划的方法时，一般具备下列条件：一定要能够将目标表述为最大化（极大）或最小化（极小）的要求。一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同的选择的可能性存在；所求的目标函数是有约束（限制）条件的；必须将约束条件用代数语言表示成为线性等式或线性不等式（组），并将目标函数表示成为线性函数。考点四：解线性规划问题总体步骤：设变量找约束条件，找目标函数运动变化作图，找出可行域求出最优解要点诠释：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务【典型例题】类型一：

6、二元一次不等式（组）表示的平面区域例 1 画出 3x+y-3<0 所表示的平面区域.【解析】2 / 8举一反三：xy1，0）【变式 1】下面给出四个点中，位于y1表示的平面区域内的点是（x0 (0，2) ( 2，0) (0， 2) (2，0)【答案】 C【变式 2】 ( x2y 1)( x y4) 0 表示的平面区域为（）ABCDx2 y10x2 y10【答案】 B；原不等式可转化为y40或y40xx【变式 3】画出不等式 2x y 40 表示的平面区域。【解析】先画直线2xy40 （画成虚线） .取原点 (0,0) 代入 2xy 4 得 2 0 0 4 4 0 ,原点不在2xy40 表

7、示的平面区域内，不等式 2xy40表示的区域如图：例 2 画出下列不等式组表示的平面区域。3 / 8x3xy22xy 32 yxx2y3（ 3）x2 y4（ 1）2 y6； （2）x；x.3x002 yx6y0y0【解析】（ 1）（ 2）（ 3）举一反三：【变式 1】用平面区域表示不等式( x y 1)(x y4） 0【解析】3x2y20,【变式 2】求不等式组 x4 y40, 的整数解。2xy60【解析】如图所示，作直线 l1 : 3x2 y20 ， l2 : x4 y40 ， l3 : 2xy60 ，在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域，此三角形区域内的整点(2,1)，(1,0)， (2

8、,0)，(1, 1)，(2, 1)，(3,1) 即为原不等式组的整数解。类型二：图解法解决简单的线性规划问题.【高清课堂：不等式与不等关系394841 基础练习一 】4 / 8xy3例 3 设变量 x, y 满足约束条件xy1 ，则目标函数z4x2 y 的最大值为（）y1A12B 10C8D2xy3【解析】由约束条件xy1 可知可行域如图：y1平移 y2 x 知在 A(2,1) 处取得最大值z10答案： B举一反三：xy20【变式1】已知xy40，求；2xy50(1)zx2 y4的最大值；(2)z2y1x的范围 .1【解析】作出可行域如图, 并求出顶点坐标 A(1,3), B(3,1), C(

9、7,9) .5 / 8yCx+y -4=0A2x-y-5=0Bx0x-y+2=0(1) 将 C(7,9) 代入 z 得最大值 21;y(1)1(2) z 2(2表示可行域内一点到定点Q( 1,) 的斜率的2 倍 ,x1)2因为 kQA7 , kQB3,48z 的范围是 3 , 7 .42yx例 4. 已知 x 、 y 满足约束条件 xy 1，求下列各式的最大值和最小值 .y1（ 1） z2xy ；（ 2） zxy .【解析】（1）不等式组表示的平面区域如图所示：求出交点 A(2, 1) ，C ( 1, 1) ， B(0.5,0.5) ，作过点 (0,0) 的直线 l0 : 2x y0 ，平移直

10、线 l 0 ，得到一组与 l 0 平行的直线 l :z 2x y , z R .可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，当 l 经过点 A(2,1) 时的直线 l所对应的 z 最大，所以zmax2213 ；当 l 经过点 C ( 1,1)时的直线l 所对应的 z 最小，所以zmin2(1)1 3.（ 2）不等式组表示的平面区域如图所示：6 / 8作过点 (0,0) 的直线 l0 : xy0 ，平移直线 l0 ，得到一组与 l 0 平行的直线 l : zxy , zR .可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，当 l 经过线段 AB 上的所有点时的直

11、线 l 所对应的 z 最大，所以 zmax211 ；当 l 经过点 C (1, 1) 时的直线 l 所对应的 z 最小，所以 zmin ( 1)12 .举一反三：5x3 y15【变式 1】求 z 3x5 y 的最大值和最小值，使式中的x 、 y 满足约束条件yx 1.x5 y3【解析】不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线z3x5y 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点 B( 2,1) 的直线所对应的z 最小，以经过点35) 的直线所对应的z 最大 .A(,22所以 zmin3(2)5( 1)11 ，zmax335517.22类型三：实际应用问题中的线性规划问题.例 5

12、. 家具公司制作木质的书桌和椅子， 需要木工和漆工两道工序， 已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000 个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子、一小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300 个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15 元和 20 元，试根据以上条件，问怎样安排生产能获得最大利润?【解析】4x8y8000设制作 x 把椅子， y 张桌子约束条件：2xy1300 ，xN , yN7 / 8目标函数： z=15x+20y.如图：目标函数经过A 点时， z 取得最大值4x8y8000x2002xy1300y即 A(200, 900)

13、900 当 x=200, y=900时， z=15×200+20×900=21000(元 )max答：安排生产200 把椅子， 900 张桌子时，利润最大为21000 元。举一反三：【变式 1】某企业生产A、 B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：产品品种劳动力（个）煤（吨）电（千瓦）A 产品394B 产品1045已知生产每吨 A 产品的利润是 7 万元，生产每吨B 产品的利润是12 万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力 300 个，煤360 吨，并且供电局只能供电200 千瓦，试问该企业生产A、 B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？【解析】设生产 A、B 两种