弹塑性力学部分习题及答案

1、,()( ,)iji jj iuui j11 2 32（ （ )3 , 2 , 1,(210jiUijijeuuGnFiji , jj , iiie 为体积应变为体积应变利用指标符号推导位移法基本方程利用指标符号推导位移法基本方程上在VFuGuGbijiji0,2（ （若若 上在VFuGuGbijiji0,2位移法基本方程为用位移表示的平衡微分方程位移法基本方程为用位移表示的平衡微分方程) 3 , 2 , 1,(0,jiFbijji),j , i ()e()(Eijijij321211kke),j , i ()e()(Eijijij321211kke),j , i ()()(Eijj ,kkj

2、 ,jij ,ji321211而而),j , i ()uu(i , jj , iij32121则则ijkj,kjj, iij , jj ,jiuuu)(E21211ki,kjj, iij , jj ,jiuuu)(E21211注意哑标可换标注意哑标可换标ji, jjj, iij , jj ,jiuuu)(E21211jj, iji, jj ,jiuu)(E2121211代入代入jj, iji, jj ,jiuu)(E2121211jj, iji, jGuuG) 3 , 2 , 1,(0,jiFbijji得得上在VFuGuGbijiji0,2试求位移。试求位移。xzlx ygFbz其中其中 k

3、为待定常数，为待定常数， (xy)为待定函数为待定函数，试写出应力分量的表达式和位移法方程。试写出应力分量的表达式和位移法方程。ukyz vkxz,wkx y22221zhgzhqGw试求试求 ( (应力比应力比). ). hy xOhABCDqx yq o A x yo450lh00byyxybxyxxFyxFyx0bybxF,aFx yo450lhYllXllyxyyxx212100Y ,XhxaY ,axX2x yo450lhYllXllyxyyxx212100Y ,XxyxyxyyyxxGEE1)(1 )(1lhyxOh() ,ggulxxyvlx yEE 2222)xl (Egyv,

4、xlEgxuyxlhyxOh)xl (Egyv,xlEgxuyx0 xvyuxy2 2、求应力（平面应力问题）、求应力（平面应力问题）xyxyyxyyxxGEE)(1 )(122)xl (gx00 xyy,lhyxOh4 4、求、求力力00byyxybxyxxFyxFyx0bybxF,gF左右边界和下边界无面力；左右边界和下边界无面力；上边界面力为均匀拉力上边界面力为均匀拉力 g gl 。)xl (gx00 xyy,xyb go位移解为位移解为byyE)(gv ,u2102yVY,xVXyxVxVyxyyx22222,2232343yqcxyxycF2coxyl将将 代入代入 4 =0 满足满

5、足, , 为应力函数。为应力函数。 2 2、求应力（无体力）、求应力（无体力）2232343yqcxyxycF2coxyl3 3、求边界力、求边界力22222322143 0 23cycFyx,x,qcFxyyxyyx2coxyl22222322143 0 23cycFyx,x,qcFxyyxyyxYllXllyxyyxx212100Y ,X00Y ,X2coxyl22222322143 0 23cycFyx,x,qcFxyyxyyxYllXllyxyyxx212122143cycFY ,qXFdyYcc2coxyl22222322143 0 23cycFyx,x,qcFxyyxyyxYllX

6、llyxyyxx2121,cFlyqX32322143cycFY,cFlyqX32322143cycFYoxylqcdyXcc2FdyYccFlydyXccFlqqFF3223eycxyybxaxyxqo 将将 代入代入 4 =0 满足满足, , 为应力函数。为应力函数。 3223eycxyybxaxyxqo 2 2、求应力（有常体积力）、求应力（有常体积力）qF,Fbybx 0cybxyx,qybyaxyFx,eycxyxybyyx22 266222222yxqo 3 3、由边界条件确定待定系数、由边界条件确定待定系数00Y ,X 06 02 ,ax,bxyxycybxyx,qybyaxyF

7、x,eycxyxybyyx22 26 6222222yxqo 00Y ,Xcybxyx,qybyaxyFx,eycxyxybyyx22 26 6222222020262(cosqy)sin(cycoscy)sin)(eycxyxqo ctgqsincosqc22 23 ctgqeqyctg,qy,qyctgqxctgxyyx 22sin ,Pr sin ,Pr 由边界条件确定由边界条件确定 C1 和和 C2 22321(1)8rCuC rrrEx yb ra边界条件为：边界条件为： ( r）r=a=0, ( r）r=b=0 )(12rudrduErrr应力应力 r（平面（平面应力问题）：应力问

8、题）：由边界条件确定由边界条件确定 C1 和和 C2 ：x yb ra应力应力 ：2221813baEC2222813baEC2222222r83 rrbaba222222233183 rrbabaqx yqabq为单连域，为单连域，为多连域；为多连域；abq r= =2C1 ，ur= 2C1 r (1- 1)/E1 r= A2 /r 2+ 2C2 ， = - A2 /r 2+ 2C1 ，ur= - (1+ 2)A2 /r + 2C2 r (1- 2)/E2abq边界条件：边界条件： ( r）r=b= -q 条件：条件：r = a 时时 ur1 = ur2 ， r1 = r2 A2 /b2+

9、2C2 = - q (1)abqr = a 时时 ur1 = ur2 ， r1 = r2 A2 /b2+ 2C2 = - q (1)2C1a (1- 1)/E1 =- (1+ 2)A2 /a + 2C2 a (1- 2)/E2 (2)2C1 = A2 /a2+ 2C2 (3) (r, )= r2(Asin2 + B )/2 试（试（1 1）列出求解待定系数）列出求解待定系数 A、B 的方程的方程式，（式，（2 2）写出应力分量表达式。）写出应力分量表达式。oxyrq (r, )= Acos2 + Bsin2 + C A、B、Cox yM /2 /2。lPCBAx ylC虚位移虚位移原理求原理求

10、解图示桁架的内力解图示桁架的内力 桁架在荷载作用桁架在荷载作用 下，各下，各杆产生内力杆产生内力NAC 、NBC 、NDC和变形，引起和变形，引起C点位移：点位移：uc 和 vc （内力、变形和位移（内力、变形和位移是真实的）。是真实的）。lPCBAx ylDlPCBAx ylD设桁架有虚位移，桁架有虚位移， C点虚位移点虚位移 uc 和 vcijijVdV ACACBCBCDCDCNNNCSiivPdSuX cACuDCcv ()BCccuv22lPCBAx ylDcACcDCcP vNuNvBCccNuv22,ACBCDCBCNNPNN220022lPCBAx ylD,ACBCDCBCNN

11、PNN220022,ACcDCcEAEANuNvll BCccEANuvl222,ccPlPluvEAEA1222 122 12,ACcDCcEAEANuPNvPll 212322BCccEANuvPl222222虚应力虚应力原理求图示桁架的内力原理求图示桁架的内力lPCBAx ylD 桁架在荷载作用桁架在荷载作用 下，各下，各杆产生内力杆产生内力NAC 、NBC 、NDC和变形，引起和变形，引起C点位移：点位移：uc 和 vc （内力、变形和位移（内力、变形和位移是真实的）。是真实的）。设桁架有虚内力，对应于桁架有虚内力，对应于无荷载情况，无荷载情况，NAC 、 NBC 、 NDClCBAx

12、 ylD虚应力方程虚应力方程lPCBAx ylD即NAC AC+ NBC BC+ NDC DC=0lCBAx ylDiijVijiSieWdVdSuXWuEAlNEAlN,EAlNBCBCDCDCACAC2NAC + NBC cos450 =0 , NDC + NBC cos450 =0NBC =（ NAC + NDC ）/2 （1）lPCBAx ylDNBC cos450 +NAC =0 （2）NBC cos450 +NDC + P =0 （3）lPCBAx ylDPN,PN,PNDCACBC232212222利用最小余能利用最小余能原理求原理求图示梁的弯图示梁的弯矩。矩。 y qEI x

13、l M y qEI x l（1 1）悬臂梁受两）悬臂梁受两个集中力个集中力 P 作用。作用。（2 2）简支梁受均布）简支梁受均布荷载荷载 q 作用作用, ,设：设：v =B1x(x-l)+B2x2(x-l) 。x yPEIl/2l/2P qEI y x l（1 1）悬臂梁受两）悬臂梁受两个集中力个集中力 P 作用。作用。x yPEIl/2l/2P利用利用Ritz 法求解图示梁的挠曲线。法求解图示梁的挠曲线。设挠曲线为设挠曲线为3221xbxbv满足位移边界条件：满足位移边界条件：0)( )( , 0)(000 xxxdxdvxvv梁的应变能梁的应变能:x yPEIl/2l/2P3221xbxb

14、v外力势能外力势能:确定确定b1 , b2xbbv21 62)lblbblb(EIdx)x(EIUl32222121023322lx/ lx)v(P)v(PV2梁的总势能梁的总势能:x yPEIl/2l/2P3221xbxbv外力势能外力势能:lx/ lx)v(P)v(PV2)lblb(P)/lb/lb(P3221322184 =U +V 由总势能由总势能 的变分的变分 = 0 ，得得x yPEIl/2l/2P解得解得 045322 022211Pl)lblb(EI:b)VU( 089632 0332212Pl)lblb(EI:b)VU( 41611 21EIPb,EIPlb梁的挠曲线梁的挠曲线3241611xEIPxEIPlvu=0, v = B1 y(y-b)，求其位移解答。求其位移解答。xyb gogF,Fbybx 0将将 u=0, v = B1 y(y-b) 代入代入xyb go薄板薄板的总势能的总势能 =U +V dxdyxvyuyvxuyvxuEUA2222212123123