绝对值化简及几何意义

1、绝对值化简及几何意义绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a .绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：取绝对值也是一种运算， 运算符号是“”求一个数的绝对值， 就是根据性质去掉 绝对值符号 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：书符号是负号，绝对值是5.求字母a的绝对值：a(a 0) a 二 0(a =0)ga c0)a®-a(a

2、 <0)a严0)la(a 兰 0)利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小 .绝对值非负性：如果若干个非负数的和为 0,那么这若干个非负数都必为 0.例如：若 a|=0，贝U a =0，b =0，c =0绝对值的其它重要性质：(1)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数， 即a _ a，且a _ -a ;(2) 若 a| |b，则 a =b或 a =-b ;(3) b ； I；a% "0)；(4) |a|2=|a2| = a2 ；(5) |a| |b| a b| |a| ：|b ,对于a|a|，等号当且仅当a、b同号或a、b中至少有一个0时

3、，等号成立;对于a| |b| |a - b，等号当且仅当ab异号或a、b中至少有一个0时，等号成立.板块一：绝对值代数意义及化简【例1】下列各组判断中，正确的是A.若a -b，则-定有a - bC.若a b，则定有a b2 2 如果a > b ,则A.a bB. a > b( )B. 若a b，则一定有a bD.若|a -b，则一定有=b( )C. a ：bD a v b下列式子中正确的是( )A.a aB.： -aC. a _ _aD. a _ _a对于m -1，下列结论正确的是()A.m -1 >| m |B.m -1 <| m |C. m -1m | 1 D .m

4、 _1 w | m | _1若 x 2 x 2 =0，求x的取值范围.【巩固】 绝对值小于3 1的整数有哪些？它们的和为多少?【解析】 有理数a与b满足a . b，则下面哪个答案正确（）A. a bB. a=bC. a :bD.无法确定【例2】如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求ab_b_1 |a_c_1_c的值.« «1«1Aa b0 c 1【巩固】 数a,b在数轴上对应的点如右图所示，试化简 a+b +|b-a +|b - a -【例3】设a, b, c为非零实数，且 a| " a = 0, ab = ab , c - c = 0 . 化简

5、 b| |a b |c _b a c .【巩固】若a ： -b且辛.0 ,化简a|冋b ab .【例 4】（1）已知 x=1999，贝U 4x2 5x+9 4x2+2x+2 +3x+7 =(2)满足(a -b)2 (b -a) a -b二ab ( ab = 0)有理数a、b，一定不满足的关系是()D. a b ： 0A. ab : 0B. ab 0C. a b 0(3)已知有理数a、b的和a b及差a -b在数轴上如图所示,化简 2a F -2 a - b -7 .fl i x99920 =【巩固】若 m = -1998，则 m2 +11m -999 - m2 +22m +【补充】若 x -

6、-0.239，求 x-1 x-3 川 X-1997 - x -x-2 -川-x-1996 的值.【例5】如果0 : m <10并且m乞x乞10，化简x - m x-10 亠x-m -10 .【巩固】若a - b，求b-a，1|a-b-5的值.【例6】已知x ：；，化简【例7】若x <0 ,化简 制一2x|卜-3Hxl【巩固】已知3 2 , b“，化简廿4a 2b24b 3-2a -3板块二.分类讨论-零点分段法零点分段讨论的一般步骤：找零点t分区间t定符号t去绝对值符号.【例8】阅读下列材料并解决相关问题：x x 0我们知道x = 0 x=0 ，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对

7、值的代数式，厂x(x£0)如化简代数式|x 1 -|x _2时，可令x V=0和x-2 = 0 ,分别求得x = -1, x = 2 (称 -1,2分别为x 1与x-2的零点值)，在有理数范围内，零点值 x = -1和x=2可 将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：当 x ： -1 时，原式x 1 X - 2 = -2x 1当-1 < x ： 2 时，原式=x 1 一 x -2 =3当 x > 2时，原式_ =x 1，x-2=2x-1-2x 1 x ： -1综上讨论，原式 =3 -1 < x ：22x -1 x > 2通过阅读上面的文字，请你解决下列

8、的问题：分别求出x 2和x -4的零点值化简代数式x 2 x -4【例9】求m m_1 m_2的值.【巩固】 化简：|x1 2 +x+1 .板块三：关于已的探讨应用a23【巩固】若a 0，则;若acO，贝U回=a【例11】若0：a：；1,_2：b，1，则的值是（）a1b+2 a+bC. -3A. 0B.-1D.4【例10】已知a是非零有理数，求【例12】已知abM，求齐：的值.【巩固】若a , b , c均不为零，求-c . a b |c|【例13】a , b , c为非零有理数，且a b 0 ,则ab.bc.ca的值等于多少? |a|b |b|c c a【巩固】如果a b -c 0， a -

9、b c 0，a、2002-ab c 0，求 Dlalb 2003(b)c )2004(c)的值.i巩固】若a,b,c均不为零，且a b -o，求M c.【补充】如果2a b =0，求a-1+肛2冋b的值.板块四、绝对值的非负性绝对值非负性：如果右干个非负数的和为0,那么这右干个非负数都必为0.例如：若 a| -|b| “|c =0 ,则 a =0 , b =0 , c =0【例14】若 a-4二-b，则a b =【例15】若m *3 + n -72+2 2p1 = 0 ,贝U p+ 2n+3m=【例16】设a、b同时满足(a -2b)2 |b 1b 1 ，|a，b_3| = 0 .那么ab =

10、【巩固】 已知（a +b）2 +b +5 =b+5，且 2a b 1 =0，那么 ab =板块五、绝对值的几何意义a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离.a -b的几何意义：在数轴上，表示数 a、b对应数轴上两点间的距离.【例17】mn的几何意义是数轴上表示 m的点与表示n的点之间的距离.x的几何意义是数轴上表示X|x-0 ( ，二， );的点与之间的距离；2 -1的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则 2 -1 =;x -3的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离若 x -3 =1，则 x =.x - 2的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离若 x

11、2，则 x 二.i当 x - -1 时，贝y X -2 x 2= .【例18】已知m是实数，求 m m-1 m-2的最小值【例19】已知m是实数，求 m _2 m _4 m _6| -.-|m _8的最小值【例20】如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A、B、C、D、E、F到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G正好是AF的中点现 要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？城市【例21】x -1 x_2屮| x-2009的最小值为【巩固】 不等式|x -.-|x -2 : 7的整数解有 个.【例22】彼此不等的有理数a

12、,b, c在数轴上的对应点分别为A , B , C ,如果ab|+b c| = ac|，那么A，B，C的位置关系是 .【巩固】 有理数a、b、c、d各自对应着数轴上 X、Y、Z、R四个点，且(1) b_d 比 a_b , a_c、 a_d、 b_c、 c_d 都大；(2) d _a.-|a c 二 d c ;(3) c是a、b、c、d中第二大的数.则点X、Y、Z、R从左到右依次是板块六、绝对值最值与定值的探讨【例23】若2a 4 5a 3a的值是一个定值，求 a的取值范围.【巩固】 若x-1计x-2 x J| x - 2008的值为常数，试求 x的取值范围【例24】abcde是一个五位自然数，

13、其中a、b、c、d、e为阿拉伯数码，且 a ： b ： c ： d ,贝U ab +|b c +|cd +|d e 的最大值是 .且 abc ,贝 U( )ab ： 0-c - b c的值.【巩固】a、b、c分别是一个三位数的百、十、个位上的数字， ab半bcc a可能取得的最大值是多少？【巩固】已知0乞a乞4，那么a _2 3 _a的最大值等于 【习题1】若ab .；：Jab，则下列结论正确的是A. a ：0 ,b：0 B. a 0 ,b：0 C. a : 0, b 0 D.【习题2】如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求abab -1 c 0 a 1【习题 3】已知 x ： 0 ： z, xy 0, y -