概率到知识点总结

1、名师精编 _优秀资料第一讲随机事件及其概率1. 了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机 事件的概念，掌握事件的关系及运算.2 理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的 加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及 贝叶斯（Bayes）公式.3. 理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进 行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有 关事件概率的方法主要内容与典型例题一随机试验与随机事件1. 随机试验 随机试验满足以下三个特点：试验的所有可能结果（不止一个）是确定的；每次试验会发生什么结果是无法事先预知的；试验可以在相同的条件下重复进行。但

2、也有不少的随机试验不满足这个条件2. 样本点与样本空间 试验的每一个可能结果称为样本点，用 表示。所有样本点组成的集合就是样本空间，用 门表示。3. 随机事件，基本事件，必然事件，不可能事件：样本空间的子集称为随机事件，简称事件,用A，B, C等记之。由单个样本点构成的随机事件成为基本事件，样本空间门为必然事件，不含任何样本点的事件称为不可能事件。二事件的关系与运算1. 包含关系：事件A发生必导致事件B发生，记为A B。2. 相等关系：若A B且B A。n3. 并事件：A B二A,B至少发生一个 , A。14. 差事件：A-B二AB二A发生，B不发生n5. 交事件：A-B=AB=A,B同时发生

3、 ,Ai。6. 互斥事件：A和B不同时发生。7. 对立事件:A =A不发生 ， A A = 1 .8. 事件的运算律：交换律：AB = B A, A - B = B - A；结合律：AB C = (A B) C = A(BC),A - B - C = (A - B) - C = A - (B - C)；分配律：(A一 B) 一 C = AC 一 BC，(A一B)一 C = (A 一 C)_ (B C)；对偶律：AB = A - B , A - B = AB ；三事件的概率及其性质1. 定义:设随机试验的样本空间为f 1，若对每个事件 A，有且只有一个实数 P(A)与之对应,并满足以下公理：(1

4、)(非负性)0乞P(A)叮；(规范性)PC 9 =1;oOoO(可列可加性)对任意一列两两互斥事件a，A2,，有P( AJ二 P(AJ ；i 二im则称P(A)为事件A的概率。2性质： P( ) =0 ; P(A) =1- P(A);nn若AA, ,An互斥，则P( Ai)八P(Ai);i =1i # P(A B) =P(A) P(B) -P(AB)；P(A - B - C)二 P(A) P(B) P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) P(ABC)；名师精编优秀资料若 A B，则 P(A)空 P(B)，且 P(B 一 A)二 P(B) 一 P(A);推广：P(B _ A)

5、=P(B) _P(AB)四 条件概率与事件的独立性1.条件概率：设有两个事件 A和B，P(A) 0，称已知A发生的条件下B发生的概率为B的条件概率，记为 P(B A)，且有P(B A)二巳色。P(A)2.独立性：若两事件A和B满足P(BA)二P(B)或P(ABP(A) P(B)，则称A和B相互独立。类似的还有 A,a2,，代两两独立和相互独立的定义。3.简单性质：在A和B，A和B，A和B，A和百这四对事件中，只要其中有一对独立, 则其余三对也独立。五重要的概率模型1.古典概型：古典概型的特点为：试验的可能结果只有有限个；各个可能结果是等可能的；设试验一共有n个可能结果，而所考察的事件 A含有其

6、中的k个，则事件 A的概率为P(A)A包含的样本点数样本点总数注 古典概率的计算难点在于 A包含的样本点数的计算。在计算样本点数的时候，常用到以下排列组合公式:从n个不同元素取r的排列数为:P；n!(n -r)!从n个元素中有返回地取r个的排列数：nr ；从n个不同元素取r的组合数为：C；n!r!(n - r)!2. 几何概型：向某个可度量的有界区域 D内随机地投掷一点，如果落在D内任何两个测度相 等的子区域的可能性相等，则随机点落在D的子区域A内的概率为A的测度D的测度注如果D和A是数轴上区间(平面区域或立体区域)，则测度就是区间长度(面积或体积)；几何概率的计算关键是找出事件A所对应的子区

7、域，并计算其测度。3. 贝努利概型：在 n重贝努利试验中，事件Ak = A恰好发生k次(Q <k< n)的概率为：P(AJpn(1 - p)n±。六重要公式1. 乘法公式：P(AB) =P(A)P(B A) =P(B)P(AB)P(AA2 A.)二 P(A)P(A A) P(An A1A2 An)2. 全概率公式：设事件 A,A2,，An两两互斥，且 P(A).0(1空n)。事件B满足nB =BAii 4则有nP(B)=二 P(Ai)P(B Ai)。i33.贝叶斯公式：设事件A,A2, ,An两两互斥，且P(A)0(仁沱n)，P(B) 0,事件B满足nB = BAii吕则

8、有P(A|B)=咻尸阳)。 迟 P(A)P(BA)i d第二讲随机变量及其分布1. 理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性 质，会计算与随机变量相联系的事件的概率2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念， 掌 握0-1分布、二项分布、泊松(Poisson)分布及其应 用.3.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用.4. 会求随机变量函数的分布主要内容与典型例题一随机变量及其分布函数、分布律与密度函数1. 随机变量 对于给定的随机试验，i】是其样本空间，若对w 门，有且只有一个实数 xc )与之对应，则称此定义在'1上的实值函数 X为随机变量

9、。2. 分布函数设X是一个随机变量，称函数F(x) =P(X _ x)(：x ：)为随机变量的分布函数。性质 0 冬 F (x)乞 1 ( - ： : x - - )；对任意两点x-i, x2，当xx2时，有F(xJ F(x2)； lim F (x) =0 ； lim F (x) =1 ；X ，.xJ : lim F(x)二F(x0) ( 一 ： : x0 ：:)；x jxo P(a ： X 乞 b)二 F(b) F(a)注记满足上述性质、和的函数必为某随机变量的分布函数。3.分布律Xx1x2-XiPP1P2Pi性质 0 乞 Pi <1 , '、Pi =1oi4.密度函数 设随机

10、变量X的分布函数为F(x),若非负函数f(x),对任意的x，使得xF(x)= f(t)dt则称X为连续型随机变量，f (x)为X的概率密度函数，并称X的分布是连续型分布。性质 f (x) _ 0 ； f (x)dx 二 1 ；(满足上述两个性质的函数必为某随机变量的密度函数)b P(a ： X zb)二 f (x)dxaF (x)是连续函数，且在f (x)的连续点处有F (x) = f (x)；对-c R，有 P(X =c) =0 ；对任意的a,b R (a : b)，有bP(a ： X < b) = P(a ： X :： b)二 P(a 乞 X : b)二 P(a 空 X 乞 b)二

11、f(x)dxa二重要的一维分布0 1、1. (0-1)分布分布律为X ，0c P £1。J-p P丿2. 二项分布 在n重贝努利试验中，事件 A发生的次数X的分布为k kn _kP(X 二 k)二 CnP (1-P) (k=0,12,n)记作X B(n, p)。当n = 1时，二项分布即为(0-1 )分布。、k3. 泊松分布 分布律为P(X =k) e'(k =0,1,2, L)，记为X PC )。k!4. 均匀分布密度函数和分布函数分别为a ： x ： bother0,x _ab a1,记作 X U(a,b).5. 指数分布密度函数和分布函数分别为f(x)0,x 0和 ot

12、herF(x)0,记为X E()。6.正态分布密度函数为1_(x-a2f(x)二1 止 e,；都是常数，匚0)2 2x2记作X N(.L,二)。当=0,二=1时，密度函数为f (x)二称X服从标准正态分布，记为X N (0,1)。性质标准正态分布的密度函数为偶函数，所以有G(-x) = 1-(x)，其中门(x)是n(,；2)的分布函数。2X _ 4若XN(j；)，则有N(0,1)，继而有b _ Pa _ »P(a X b)二讥 )- >()。(J5J三随机变量函数的分布1.离散情形 设离散型随机变量 X的分布律为XX1xXkPP1P2pk则丫二g(X)的分布律为Y = g(x)

13、g(xjgg)g(xQpP1P2pk其中g(xj、gg)、g(xQ、具有各不相同的值。若g(x的值中有相同的,则应把那些相同的值分别合并，同时把对应的概率pi相加。2. 连续情形 设X的密度函数为fX (x),求丫二g(X)的密度函数的步骤为先求Y的分布函数：FY(y)二 P(Y 乞 y)二 P(g(X)乞 y g(xy fx (x)dx再求Y的密度函数：fY (y)二FY(y)。第三讲 多维随机变量及其分布1. 理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分 布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、 边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件 的概率.2. 理解随机变量的独立性的概念，

14、掌握随机变量相互独立的条件.3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率 密度，理解其中参数的概率意义.4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个 相互独立随机变量简单函数的分布.主要内容与典型例题一二维随机变量及其分布函数1. 定义 设试验E的样本空间为 门，对于每一个样本点 w .1，都有确定的两个实数 X(w) 与Y(w)之对应，称有序数对(X(w),Y(w)为二维随机变量(或二维随机向量)，简记为 (X,Y)。并称X和Y是二维随机变量(X,Y)的两个分量。2. 分布函数 设(X,Y)是二维随机变量，称二元函数记为F(x, y)二 P X 乞 x ' Y 乞 y= P X

15、乞 x,Y 乞 y，(-： : x, y ：)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数。性质lim F(x, y) =1;x_y):0 乞 F(x, y)乞 1 ；且 lim F(x, y) =0;y对任一固定的x , lim F (x, y) = 0 ;y>-oc对任一固定的y , lim F (x, y) = 0 ;F (x, y)关于x和y是单调不减的。F (x, y)关于x和y均为右连续函数。Pxi：X _X2，yi:：丫一 y?十区，y2)-F(xy2)-F(X2,yJF(Xi,yJ。3. 关于X的边缘分布函数：FX(x)二lim F(x,y)y关于丫的边缘分布函数：FY(y)

16、=(lim._F(x, y)4. 独立性的判定 X与丫独立=F(x,y)二Fx(x) Fy(x)。二二维离散型随机变量1.定义 如果二维随机变量(X,Y)所有可能取值只有有限多对或无穷可列多对，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。2.联合分布律 设二维离散型随机变量(X ,Y)的所有可能取值为 任，yj) , i, j二1,2,且(X,Y)取各可能值得概率为PX=xi,Y=yj = pij ， i, j = 1,2,，或写成表格形式：则称或为(X,Y)的联合分布律。名师精编 _优秀资料性质0乞Pj叮，i,j =1,2,；八Pj =1i j:记成3. X 的边缘分布律：P X 二 x Pij P

17、i. (i 二 1,2，),:记成Y 的边缘分布律：PY=yj =7 Pj- Pd (j =1,2-)。4.独立性判疋i 4X与丫相互独立的充要条件是对一切i,j =1,2/都有PX =xi,yjH PX 订 PY = yj.三二维连续型随机变量1. 定义 设F (x, y)为二维随机变量(X，丫)的联合分布函数，若存在一个非负可积的二元函 数f (x, y)，使得对于任意的实数 x、y，有x yF(x,y) =_： _：f(u,v)dudv。贝U称(X,Y)为二维连续型随机变量，称f (x, y)为(X,Y)的联合密度函数。性质f (x, y) 一 0 ； i；f(x,y)dxdy 二1 ；

18、 设G是xoy平面上的区域，则(X,Y)落入区域G内的概率为P(X,Y) G . f (x, y)dxdy。G_ 2在 f(x,y)的连续点，有F(x,y)二 f(x, y)。cxcy2. 关于X的边缘密度函数：fx(x)：f(x,y)dy ,关于丫的边缘密度函数：fY(y) = .f(x,y)dx ,3. 独立性判定X与Y相互独立的充要条件是f (x, y)二 fx (x) fY(y)在f (x, y)、fX (x)、fY(y)的一切公共连续点上都成立。（x, y, G,，其中G是 其它.四常见的二维分布1二维均匀分布联合密度函数为f（x,yr G的面积xoy平面上的某个区域，则称 （X,Y）服从区域G上的均匀分布注 在区域G上服从均匀分布的二维随机变量（X ,Y），其取值可看作向平面 G内随机地投掷一点，而此点落入 G内任何子区域内的概率与子区域的面积成正比，而与子区域的位置无关。2.二维正态分布联合密度为_ 1(xjl)2p( x_4)( yJ2)丄y44)2 If(x,y)e_2(M? dCTO2J（-：:X W,-： : y ；：n），其中f, .L2，F，；2,均为常数，且-1 20 , |讣：1，则称（X,Y）服从二维正态分布，记作（X,Y） N（r2，G2,打，:?）。3. 关于正态分布的结论设（X,