大一函数的极限

1、 第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限第四节, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限0 xx , 01. 0 xx 时函数时函数 f (x) 以以A为极限的定义为极限的定义0 xx 0|0 xx Axf)(00 xxAxf)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 当当x与与x0充分靠近充分靠近(

2、但但)时时, f (x)与与A可以任意靠近可以任意靠近,要多近就能有多近要多近就能有多近.(2) 要要f (x)与与A多靠近多靠近,只须只须x与与x0靠近靠近(但但)到一定程度到一定程度后后, 就能多靠近就能多靠近.(3) 要要| f (x)-A|多小多小,只须只须| x-x0 |小到一定程度后小到一定程度后(但但),就能有多小就能有多小.(4), 0使得当使得当时时,定义定义1 . 设函数设函数)(xf在点在点0 x的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,0,0当当00 xx时时, 有有 Axf)(则称常数则称常数 A 为函数为函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限,Axfxx)(l

3、im0或或)()(0 xxAxf当即即,0,0当),(0 xx时时, 有有若若记作记作 Axf)(Axfxx)(lim0几何解释几何解释:0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 极限存在函数局部有界函数局部有界(P30 性质性质2)这表明这表明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明证明. )(lim0为常数CCCxx证证:Axf)(CC 0故,0对任意的,0当00 xx时 , 0CC因此CCxx0lim总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 (P28 例例3)例例2. 证明证明.lim00 xxxx证证:Axf)(0 xx欲使欲使,0取取,则当则当00 xx时时 , 必有必有0

4、)(xxAxf因此因此,)( Axf只要只要,0 xx00limxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明. 211lim21xxx证证:Axf)(2112xx21 x故,0取,当10 x时 , 必有2112xx因此211lim21xxx1 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 (P29 例4)当00 x.lim00 xxxx时机动 目录 上页 下页 返回 结束 (P29 例5)结论记住！结论记住！2. 保号性定理保号性定理定理定理1 . 若,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0时使当xx. 0)(xf)0)(xf证略证略 已知,)(lim0Axfxx即,0, ),(0

5、 x当时, 有.)(AxfA当 A 0 时, 取正数,A则在对应的邻域上. 0)(xf( 0)(A则存在( A 0 ),(0 x),(0 xx),(0 x(P30 性质3)0 x0 xAAAx0 xy)(xfy )0(机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2 . 若在若在0 x的某去心邻域内的某去心邻域内0)(xf)0)(xf, 且且 ,)(lim0Axfxx则. 0A)0(A思考思考: 若定理若定理 2 中的条件改为中的条件改为, 0)(xf是否必有是否必有?0A不能不能! 0lim20 xx如 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (P30推论1)3. 左极限与右极限左极限与右极限左

6、极限左极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当当),(00 xxx时时, 有有.)( Axf右极限右极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当当),(00 xxx时时, 有有.)( Axf定理定理 3 .Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00( P30 定理2 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设函数设函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论讨论 0 x时时)(xf的极限是否存在的极限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理利用定理 3 .因为因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx

7、) 1(lim0 xx1显然显然, )0()0( ff所以所以)(lim0 xfx不存在不存在 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 XXAAoxy)(xfy A二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限定义定义2 . 设函数设函数xxf当)(大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义,若若,0X,)(,AxfXx有时当则称常数则称常数时的极限时的极限,Axfx)(lim)()(xAxf当或几何解释几何解释:AxfA)(XxXx或记作记作直线直线 y = A 为曲线为曲线)(xfy 的水平渐近线的水平渐近线,0 xxf当)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 A 为函数为函

8、数例例6. 证明. 0sinlimxxx证证:0sinxxx1取,1X,时当Xx 0sinxx因此0sinlimxxx注注:就有故,0欲使,1x即,1x机动 目录 上页 下页 返回 结束 .sin0的水平渐近线为xxyy(P27 例1)-40-20-60-0.10.1-0.050.05-0.150.15204060 xyxxysinx1x11oyxxxgxxf11)(,1)(直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :Axfx)(lim,0,0X当Xx 时, 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X当Xx时, 有 Axf)(几何意义几何意义 :例如，都有水平渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线. 1y又如，oxyx21x21机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 函数极限的或X定义及应用2. 函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考与练习思考与练