无穷级数总结

1、无穷级数总结一、概念与性质1.定义：对数列 u1, u2 ,un，un 称为无穷级数， un 称为一般项；若部分和n 1数列 Sn 有极限 S ，即 lim SnS ，称级数收敛，否则称为发散.n2.性质设常数 c0 ，则un 与cun 有相同的敛散性；n 1n 1设有两个级数u n 与vn ，若uns ，vn，则(unvn )s；n 1n 1n 1n 1n 1若un 收敛，vn 发散，则(unvn ) 发散；n 1n 1n 1若un ，vn 均发散，则(u nvn ) 敛散性不确定；n 1n 1n 1添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；设级数u n 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数

2、仍收敛于原级数的和n 1注：一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定级数u n 收敛的必要条件： lim u n0 ；nn 1注：级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；若 lim un 0 ，则u n 未必收敛；nn 1若u n 发散，则n 1二、常数项级数审敛法1. 正项级数及其审敛法lim u n0 未必成立n 定义：若 un0 ，则u n 称为正项级数 .n 1 审敛法：（ i）充要条件：正项级数un 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.n 1精品文库（ ii ）比较审敛法：设u n 与vn 都是正项级数， 且 unvn (n1,2, )

3、，n1n 1则若收敛则收敛；若发散则发散 .A. 若收敛，且存在自然数N ，使得当 nN 时有 unkvn (k0) 成立，则收敛；若发散，且存在自然数N ，使得当 nN 时有 unkvn (k0) 成立，则发散；B. 设u n 为正项级数，若有p1 使得 un1(n 1,2,)，则un收敛；若n 1n pn1u1 (n 1, 2,)，则un 发散 .nnn1C. 极限形式：设u n 与vn都是正项级数，若limunl (0l) ，则vnn 1n1nun 与vn 有相同的敛散性 .n1n 1注：常用的比较级数：ar n1ar1 ；几何级数：1rn 1发散r11收敛p时 p级数：1；n 1 n

4、p发散p1时 调和级数：1111发散1 n2nn（ iii ）比值判别法（达郎贝尔判别法）设a n 是正项级数，若n 1注：若lima n 1r1，则a n 收敛； lima n1r 1，则a n 发散na nn 1nann 1a n 1n11lim1，或 liman 1，推不出级数的敛散 .例与，虽然a nn 1 nn 1 n2nnliman 11， lim n an1，但1发散，而12 收敛.nannn 1 nn 1 n（ iv ）根值判别法（柯西判别法）设nan 是正项级数， lim an，若1 ，n 1n欢迎下载2精品文库级数收敛，若1则级数发散（ v）极限审敛法：设 un0 ，且 l

5、im n punl ，则 lim n p u nl0 且 p1 ，则级nn数u n 发散；如果 p1 ，而 lim n p u nl (0l) ,则其收n1n敛（书上 P317-2-（1）注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法正项级数的比（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件2.交错级数及其审敛法定义：设 un 0(n 1,2, ) ，则( 1)n 1un 称为交错级数 .n 1审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数( 1)n 1un ，若 unun 1且 lim un0 ，n 1n则 ( 1)n 1 un 收敛 .n 1注：比较 un 与 u n

6、1 的大小的方法有三种：比值法，即考察 u n 1是否小于 1；u n差值法，即考察 u nu n 1 是否大于 0；由 u n 找出一个连续可导函数 f ( x) ，使 unf (n), (n 1,2, ) 考察 f ( x) 是否小于 03. 一般项级数的判别法：若un 绝对收敛，则un收敛 .n 1n1若用比值法或根值法判定| un |发散，则u n 必发散 .n1n1三、幂级数1.定义：an x n 称为幂级数 .n 02.收敛性 阿贝尔定理：设幂级数an x n 在 x00处收敛，则其在满足 xx0 的所n 0欢迎下载3精品文库有 x 处绝对收敛反之，若幂级数a n xn 在 x1

7、处发散，则其在满足 xx1n 0的所有 x 处发散 收敛半径（i）定义：若幂级数在xx0 点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个 正数 R ， 使得 当xx0R 时，幂级 数收 敛； 当x x0 R 时，幂级数发散； R 称为幂级数的收敛半径 .（ii ）求法：设幂级数a n xn的收敛半径为 R ，其系数满足条件a n 1l ，nlimn0a n或 lim n a nl ，则当 0 l时， R1 ；当 l 0时， R，nl当 l时， R 0 注：求收敛半径的方法却有很大的差异 前一个可直接用公式， 后一个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺

8、项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法（ iii ）收敛半径的类型A. R 0 ，此时收敛域仅为一点；B. R，此时收敛域为 ( , ) ；C. R =某定常数，此时收敛域为一个有限区间3.幂级数的运算（略）4.幂级数的性质若幂级数的收敛半径R0 ，则和函数 S( x)a n x nn 0若幂级数的收敛半径R0 ，则和函数 S( x)a n x nn 0在收敛区间在收敛区间( R, R) 内连续( R, R) 内可导，且可逐项求导，即 S ( x) (an xn )(a n x n )nan xn 1 ，收敛半径不变n 0n 0n 1若幂级数的收敛半径 R 0 ，则和

9、函数 S( x)a n x n 在收敛区间 ( R, R) 内可积，n0xxan t n )dtx且可逐项积分，即S(t )dt(an t ndt ( x ( R, R) ，收敛半径不00 n 0n 00欢迎下载4精品文库变5.函数展开成幂级数若 f ( x) 在含有点 x0 的某个区间 I内有任意阶导数， f ( x) 在 x0 点的 n 阶泰勒公式为 f ( x)f ( x)f(x0)( xx)f(x0 ) (xx0) 2f (n) ( x0 ) ( x x)002!0n!f (n1) ()( xx0 ) ( n1) ，记 Rn ( x)f(n1)( )( xx0 )( n 1) ， 介于

10、 x, x0 之间，则 f ( x) 在( n1)!(n1)!I 内能展开成为泰勒级数的充要条件为limRn ( x) 0,x I .n初等函数的泰勒级数 ( x00)（ i） e xxn, x (,) ；0 n!n（ ii ） sin x(1) n 1 x 2n1, x(,) ；n1(2n1)!（ iii ） cos x(1) n x2n(,) ；( 2n)!, xn0（ iv ） ln(1x)(1) n xn 1, x( 1,1 ；n1n0（ v） (1x)1(1)(n1) x n , x(1, 1), (R) ；n 1n!（ vi ） 1xx n , x1 ；1x( 1) n x n ,

11、 x1.1n01n 06. 级数求和幂级数求和函数解题程序（ i）求出给定级数的收敛域；（ ii ）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看出其假设和函数s( x) 与其导数 s ( x) 的关系），从而得到新级数的和函数；注：系数为若干项代数和的幂级数，求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和， 即得所求级数的和函数数项级数求和（ i）利用级数和的定义求和，即lim Sn s ，则un s ，其中nn 1nsnu1u2u nu k 根据 sn 的求法又可分为：直接法、拆项法、递k 1推法欢迎下载5精品文库A. 直接法：

12、适用于u k 为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；k 1B.拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求n 项和时，除首尾两项外其余各项对消掉（ ii ）阿贝尔法（构造幂级数法）an liman xn ，其中幂级数a n xn ，可通n 0x 1n 0n 0过逐项微分或积分求得和函数 S(x) 因此a nlim s(x) n 0x 1四、傅里叶级数1. 定义定义 1：设 f (x) 是以 2为周期的函数，且在, 或 0, 2 上可积，则an11f ( x) cos nxdxbn1f ( x) s i nn x d x 120,1,2 )，f (x) cosnxdx, (n021,2, )，

13、f (x) s i n x d,x(n0称为函数 f (x) 的傅立叶系数定义 2：以 f (x) 的傅立叶系数为系数的三角级数1 a 0(a n cos nx bn sin nx) 2n 1称为函数 f ( x) 的傅立叶级数，表示为f ( x) 1 a0(a n cos nxbn sin nx) 2n 1定义 3：设 f (x) 是以 2l 为周期的函数，且在 l , l 上可积，则以1lf (x) cosnxdx, (n0,1, 2) ，a nlll1lf (x) sinnxdx, (n1, 2) 为系数的三角级数bnlll1 a0( an cos nxb n sin nx)称为 f (

14、 x) 的傅立叶级数，表示为2n1llf ( x)1a0(a n cosnx bn sinnx)2lln 12. 收敛定理（狄里赫莱的充分条件）设函数f ( x) 在区间 , 上满足条件除有限个第一类间断点外都是连续的；只有有限个极值点，欢迎下载6精品文库则 f ( x) 的傅立叶级数在 , 上收敛，且有fx),x是 f x 的连续点 ；()1 f ( x0 0)f ( x00),a 02.( an cos nx bn sin nx)2x是 fx 的第一类间断点 ；n 10( )1 f (0)f (0), x23. 函数展开成傅氏级数周期函数（ i ）以 2为周期的函数 f ( x) ： f

15、( x) a 0a n cos nxbn sin nx2n1a n1f ( x) cos nxdx(n0,1, 2,) ， bn1f ( x) sin nxdx(n1, 2,) ；注：若f ( x)为奇函数，则nsin nx(正弦级数 )， a n 0(n0,1, 2,)f ( x)bn 1bn2f ( x)sin nxdx(n 1, 2,) ；0若 f ( x) 为偶函数，则f x a0an cos nx (余弦级数 )，( )2n 1an2f ( x)cos nxdx (n 0,1, 2,) ， bn0(n1, 2, ).0（ ii ）以 2l为周期的函数 f ( x) ： f ( x)

16、a 0ancos nx + bn sin nx)2n 1lla n1ln0,1, 2,1lnxdx(n1, 2,) ；lf (x) cosxdx(n) ， bnf (x) sinlllll注：若f ( x)为奇函数，则nsinnx(正弦级数 )， a n0(n0,1, 2, )f ( x)bn 1l2bnll0f ( x)sin n xdx(n 1, 2, ) ；l若 f ( x) 为偶函数，则f x a0n( )an cosx ， (余弦级数 )2n 1l2anll0f ( x)cos n xdx (n 0, 1, 2, ) ， b n 0(n 1, 2, ) .l非周期函数（ i）奇延拓：

17、f ( x),0x，则 F ( x) 除 x 0 外在A. f (x) 为 0, 上的非周期函数，令 F ( x)x),xf (0, 上 为 奇 函 数 ， f ( x)bn sin nx ( 正 弦 级 数 ) ， bn2f (x)sin nxdxn10(n1, 2, )；B.f (x),0xlf (x) 为 0, l 上的非周期函数，则令 F (x)f (x),l，则 F (x) 除 x 0 外x 0欢迎下载7精品文库在 , 上为奇函数，nb2f ( x)bn sinx (正弦级数 )， nln 1l(n1, 2,) .l0f ( x)sin n xdx l（ ii ）偶延拓：A. f (x) 为 0, 上的非周期函数，令F ( x)f ( x),0x，f ( x),x0则F (x)除