高中数学心法——从理解题意出发解高考数学综合题ppt教学模板

1、浅谈用波利亚的解题思想解高考浅谈用波利亚的解题思想解高考数学综合题数学综合题先放松一下：玩玩先放松一下：玩玩20162016题外话题外话高考试卷高考试卷（理科（理科II卷）卷）的的难易难易结构结构一、波利亚的生平及贡献一、波利亚的生平及贡献 G . Polya(1887-1985) 乔治乔治波利亚（波利亚（George Polya,18871985）美籍匈牙利数学）美籍匈牙利数学家。波利亚是法国科学院、美国全国家。波利亚是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士。科学院和匈牙利科学院的院士。 1887年出生在匈牙利，青年时期年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴曾在布达

2、佩斯、维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。士学位。1914年在苏黎世著名的瑞士年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。联邦理工学院任教。 1940年移居美国；年移居美国； 1942年起任美国斯坦福大学教授；年起任美国斯坦福大学教授； 他对实变函数、复变函数、组合论、概率论、他对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论，几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献数论，几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献，一些术语和定理都以他的名字命名。，一些术语和定理都以他的名字命名。 由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界由于他在数学教育方面所取得的成就和对

3、世界数学教育所产生的影响，在他数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，被岁高龄时，被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。（国际数学教育大会）聘为名誉主席。波利亚数学教育三部曲波利亚数学教育三部曲1.G.Polya著,涂泓等译.怎样解题(1944).上海科技出版社,2002,62.G.Polya著,刘景麟等译.数学的发现(1954).科学出版社,2006,73.G.Polya著,李心灿等译.数学与猜想(1961).科学出版社,2001,7其中，怎样解题一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册以上。 范.德.瓦尔登说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读读这本引人入胜的书”

4、（1952）弄清问题（表征）弄清问题（表征）拟定计划（模式识别、引入辅助问题）拟定计划（模式识别、引入辅助问题）实现计划实现计划回顾（反思、优化、拓展）回顾（反思、优化、拓展）波利亚的怎样解题表波利亚的怎样解题表“怎样解题怎样解题”表的精髓表的精髓启发联想启发联想联想什么？联想什么？怎样联想？怎样联想？通过一连串建议性或启发性问题来加以回答通过一连串建议性或启发性问题来加以回答. .波利亚认为，波利亚认为，“万能方法万能方法”是不存在的，但是是不存在的，但是“各种各样的规则还是有的，诸如行为准则各种各样的规则还是有的，诸如行为准则、格言、指南等等，这些都还是有用的。、格言、指南等等，这些都还是

5、有用的。怎样解题的最重要一步怎样解题的最重要一步理解题意！理解题意！u不会做题：要么没学懂；要么没读懂题！不会做题：要么没学懂；要么没读懂题！u理解题意是解题的最重要的环节理解题意是解题的最重要的环节u理解了题意，相当于解决了问题的一半理解了题意，相当于解决了问题的一半u理解了题意，往往能直接找到问题的解法理解了题意，往往能直接找到问题的解法为什么要理解题意？为什么要理解题意？何为理解题意？何为理解题意？第一步，要搞清楚第一步，要搞清楚几个基本问题：几个基本问题： 条件是什么？条件是什么？ 结论结论是什么？是什么？ 隐含条件是什么？隐含条件是什么？如何算是真正理解题意？重新把问题写下来！如何算

6、是真正理解题意？重新把问题写下来！第二步，要理解题目中的每一个对象，多问问：第二步，要理解题目中的每一个对象，多问问： 它是什么它是什么？ 它有什么性质它有什么性质？ 它能如何表示它能如何表示？ 它还能如何表示？它还能如何表示？ 理解了题目中的所有的理解了题目中的所有的“它它”，弄清了每一个，弄清了每一个“它它”的性质，并找出这些所有的的性质，并找出这些所有的“它它”之间的相互之间的相互关系，就理解了问题，走出成功解决问题的第一步关系，就理解了问题，走出成功解决问题的第一步.第三步，要展开联想：第三步，要展开联想： 你以前见过它吗你以前见过它吗？（见过类似的条件、结？（见过类似的条件、结论、问

7、题论、问题） （如果找到点线索）看看（如果找到点线索）看看有什么方法可以有什么方法可以利用利用？最后，实在没招，还可以：最后，实在没招，还可以：盯住目标盯住目标 回到定义去回到定义去直至找到条件和结论间的联系！直至找到条件和结论间的联系！二、二、真题回放真题回放之一之一（2015全国新全国新课标课标II卷卷19题题）（I）如图所示：）如图所示：（II）如图所示：）如图所示： 此题带有明显的此题带有明显的“空间直角坐标系空间直角坐标系”的的痕迹，当然也可以用向量法来做。痕迹，当然也可以用向量法来做。 提醒注意：线面角的正弦值是直线的方提醒注意：线面角的正弦值是直线的方向向量和平面法向量所成角余弦

8、的绝对值。向向量和平面法向量所成角余弦的绝对值。 请同学们自己动手去试一试。请同学们自己动手去试一试。三、三、真题回放真题回放之二之二（2017年理科年理科III卷卷第第17题）题）1. 命题背景：命题背景： D为中点（若隐若现）、完整为中点（若隐若现）、完整图形的故意残缺、一题多解图形的故意残缺、一题多解2. 命题立意：命题立意：（1）知识点：正弦定理、余弦定理、勾股定理、特殊）知识点：正弦定理、余弦定理、勾股定理、特殊角的三角函数值、角的正弦（余弦、正切的定义）、角的三角函数值、角的正弦（余弦、正切的定义）、辅助角公式、两角和的正弦（余弦）公式、三角形面辅助角公式、两角和的正弦（余弦）公式

9、、三角形面积公式、方程思想、三角形中位线、平行四边形的有积公式、方程思想、三角形中位线、平行四边形的有关性质关性质（2）数学思想：数形结合思想、化归思想、方程思想）数学思想：数形结合思想、化归思想、方程思想（3）核心素养：逻辑推理、直观想象、运算能力、数）核心素养：逻辑推理、直观想象、运算能力、数学建模学建模这一道题学生怎么解？以后怎么学？这一道题学生怎么解？以后怎么学？1. 学学思考，充分发展逻辑推理与合情推理能力思考，充分发展逻辑推理与合情推理能力（如先（如先猜中点再证明之）猜中点再证明之）2. 学学体验，在对图形的观察中，培养几何直观能力（体验，在对图形的观察中，培养几何直观能力（如：将

10、残缺的图形补全如：将残缺的图形补全充分把握整体与局部充分把握整体与局部的关系）的关系）3. 学学表达，学会符号表达、学会作图、提高运算能力表达，学会符号表达、学会作图、提高运算能力（要求构图合理、表达清晰且符合逻辑、运算结（要求构图合理、表达清晰且符合逻辑、运算结果准确等）果准确等）4. 尝试一题多解，培养思维的灵活性尝试一题多解，培养思维的灵活性四、四、真题回放真题回放之三之三（2015全国新全国新课标课标II卷卷20题题）五、五、真题回放真题回放之四之四（2017年理科年理科III卷卷第第19题）题） 在解这个题目的过在解这个题目的过程中，你发现了什么？程中，你发现了什么？集中已知条件！集

11、中已知条件！1. 命题背景：命题背景：uE为中点（从体积反推为中点（从体积反推高维转化为低维）高维转化为低维）u反复利用中点以及对称性反复利用中点以及对称性u对图形的整体识别与精细分析对图形的整体识别与精细分析u一题多解一题多变一题多解一题多变2. 命题立意：命题立意：（1）知识点：二面角、直二面角、二面角的平面角、）知识点：二面角、直二面角、二面角的平面角、二面角的余弦、余弦定理、勾股定理、角的余弦的定二面角的余弦、余弦定理、勾股定理、角的余弦的定义、三角形面积、等积法（面积、体积）、三角形全义、三角形面积、等积法（面积、体积）、三角形全等、建立空间直角坐标系、平面的法向量、利用平面等、建立

12、空间直角坐标系、平面的法向量、利用平面的法向量求二面角的平面角的法向量求二面角的平面角（2）数学思想：数形结合思想、化归思想、方程思想）数学思想：数形结合思想、化归思想、方程思想（3）核心素养：逻辑推理、直观想象、运算能力）核心素养：逻辑推理、直观想象、运算能力这一道题学生怎么解？以后怎么学？这一道题学生怎么解？以后怎么学？1. 学学思考，努力提高逻辑推理能力，充分利用已有的思考，努力提高逻辑推理能力，充分利用已有的解题经验解题经验2. 学学体验，在对图形的观察中，培养几何直观能力（体验，在对图形的观察中，培养几何直观能力（如：对图形的整体识别与精细分析、对称性的把如：对图形的整体识别与精细分

13、析、对称性的把握与利用）握与利用）3. 学学表达，学会符号表达、学会作图、提高运算能力表达，学会符号表达、学会作图、提高运算能力4. 尝试一题多解、一题多变，培养思维的灵活性与发尝试一题多解、一题多变，培养思维的灵活性与发散性散性六、六、真题回放真题回放之五之五（重庆市（重庆市2013年理科第年理科第22题）题）这是一个所谓的压轴题，难题怎么得分？这是一个所谓的压轴题，难题怎么得分？从理解题意入手，再难的题目都有能得分的从理解题意入手，再难的题目都有能得分的“点点”，突，突破一点，带动全面。破一点，带动全面。能得几分算几分？就算是块硬骨头，也要尝到点肉味！能得几分算几分？就算是块硬骨头，也要尝

14、到点肉味！大家说说看有多少个元素？大家说说看有多少个元素？u未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？u它是什么它是什么？它有什么性质它有什么性质？它能如何表示它能如何表示？它还？它还能如何表示？能如何表示？u你以前见过它吗你以前见过它吗？有什么方法可以利用有什么方法可以利用？u实在不行：实在不行：回到定义去回到定义去！ 盯住目标盯住目标！u如有必要：如有必要：画一张图画一张图 引进适当的符号引进适当的符号统称为：统称为： “ “理解题意理解题意”的提示语的提示语 以上是用以上是用“理解题意理解题意”的提示语解的提示语解高考高考题的一题的一些些实例实例。研究发现，。研究发现，“理解题意理解题意”的提示语可以帮的提示语可以帮助助解题者解题者弄清问题中的各个元素，从目标入手，找弄清问题中的各个元素，从目标入手，找到已知量、未