等腰三角形难题

1、等腰三角形补充练习一.选择题（共3小题）1 .在中，/ 30°,点D在边上，点E在边上，一若为等腰三角形，则/ C的 度数为（）A. 20° B. 20°或 30° C. 30°或 40° D. 20°或 40°2 .如图，网格中的每个小正方形的边长为 1, A B是格点，以A、B、C为等腰 三角形顶点的所有格点C的个数为（）A. 7 个 B. 8 个 C. 9 个 D. 10 个3 .如图所示，在中，/ &且，则/ （A.士 a D. 4.填空题（共14小题）5 .在同一平面内，已知点P在等边外部，且与等

2、边三个顶点中的任意两个 顶点形成的三角形都是等腰三角形，则/的度数为.6 .等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为 45。，则这个三角形的底角为.7,有两个等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的顶角，甲的底长等于乙的腰长,甲的腰长等于乙的底长，则甲的底角是度.8 .如图，/ 9 （0 纭90 ）,现只用4根等长的小棒将/固定，从点 Ai开始依 次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A21,则角8的取值范围是.9 .如图，在中，点P为所在平面内一点，且点 P与的任意两个顶点 构成, , 均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为个.10 .如图所示，为等边三角形，于R, ±于S

3、,则四个结论正确的 是.P在/A的平分线上； ；/;11 .如图，在1中，/20°, iB,在AiB上取一点C,延长i到A2,使得A1A21C; 在A2c上取一点D,延长A1A2到A3,使得A2A32D;，按此做法进行下去，/的 度数为.-4 d 且/N岸12 .已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为 9和12两部分，则腰长为，底边长为.13 .如图，等边三角形中，D、E分别为、边上的两动点，且总使，与交于点 F,14 .如图所示，在中，/80°, P在内，/ 10°, /30°,则/.15 .线段和直线l在同一平面上.则下列判断可能成立的有个直线l上

4、恰好只有个1点P,使为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P,使为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P,使为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P,使为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P,使为等腰三角形直线l上恰好只有个6点P,使为等腰三角形.16 .如图，为正三角形，面积为 S. Di, Ei, Fi分别是三边上的点，且ii4-,可得D1E1F1,则 D1E1F1的面积Si=;如，D2, E2, F2分别是三边上的点，且 2221,则D2E2F2的面积&二;按照这样的思路探索下去，分别是三边上的 占 目 八、, J_L一,贝心 n+1B £r C B E2 cS国17 .已知等腰的周

5、长为10,若设腰长为x,则x的取值范围是.18 .如图，一个顶角为40。的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形,2017年08月23日139*2832 的初中数学组卷参考答案与试题解析一.选择题（共4小题）1. （2016秋？资中县期末）在中，/ 30°,点D在边上，点E在边上，一若 为等腰三角形，则/ C的度数为（）A. 20° B. 20°或 30° C. 30°或 40° D. 20°或 40°【解答】解：如图所示，/ 30°,可设/ a,贝U/60°- a, /2a,根据三角形内角

6、和定理可得，/ 120 - a, 分三种情况：当时，有60 - a =2务解得a =20；当时，有120° - a =2斗 解得a =40;当时，有120°- a =60- a,方程无解， 综上所述，/ C的度数为20°或40°, 故选：D.2. （2016春?乳山市期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为 1, A、B是格 点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点 C的个数为（）A. 7 个 B. 8 个 C. 9 个 D. 10 个【解答】解：如图所示，以A为圆心，长为半径画弧，则圆弧经过的格点 C3、C8、C7即为点C的位置；以B为圆心，长为半径

7、画弧，则圆弧经过的格点 G、C2、C6、C4、C5即为点C的 位置；作线段的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点.故以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点 C的个数为8个.故选（B）3. （2015?天心区校级自主招生）如图，已知等边外有一点P, P落在/内，设P到、的距离分别为hi, h2, h3,满足h23-hi=6,那么等边的面积为（：A. 4 :一； B. 8C. 9 二 D. 12 一；【解答】解：设等边三角形的边长为a,连接、，则一 ,(h23- hi)三"& h23- hi=6, 4后 sg ”12后，4故选(D).4. （1998淅州）如图所示，在中，/ %且，

8、则/ （二 a D.4【解答】解：根据题意：在中,/ / C /,即/ a-/化简可得：/ a=Z / a.2故选A.填空题（共14小题）5. （2016?工西模拟）在同一平面内，已知点 P在等边外部，且与等边三个 顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，则/的度数为 15。或30。或 60° 或 75°或 15。.【解答】解：根据点P在等边外部，且与等边三个顶点中的任意两个顶点形 成的三角形都是等腰三角形，作出如下图形：由图可得：/ 115°, Z 230°, Z 360°, Z 475°, 7 5150°.故答案

9、为：15°或30°或60°或75°或150°45°,则6. (2016秋？东阿县期中)等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为 这个三角形的底角为67.5或22.5 ° .【解答】解：有两种情况；(1)如图，当是锐角三角形时，于 D,则 / 90°,已知/ 45°,90° -45 =45°,ZZX ( 180 -45 ) =67.5 -(2)如图，当是钝角三角形时，于 H,则 / 90°,已知/ 45°, 90°-45 =45°, / 180 -

10、45 =135°, / -X ( 180 - 135 ) =22.5故答案为：67.5或22.5°.7. （2013?香坊区三模）有两个等腰三角形甲和乙，甲的底角等于乙的顶角，甲的底长等于乙的腰长，甲的腰长等于乙的底长，则甲的底角是36。或60。度.【解答】解：假设等腰三角形甲为，等腰三角形乙为（如图所示）.顶角为D根据题中的条件，甲的底长等于乙的腰长，甲的底角等于乙的顶角，我们可以将D挪到B点，使与重合，与重合，如果A为锐角，则F点在边上，由于，由图知是不可能的.如果A为钝角，则F点在延长线上，由于，得知乙的底角=2倍的顶角=2倍甲的 底角,故可以解得甲的底角是36度；当

11、等腰三角形甲和乙都是等边三角形时，/1=/ 2=/ 3=60°,即甲的底角是60。.故答案是：36°或60°.C8. （2013徐州一模）如图，/ 9 （0 < 9<90 ）,现只用4根等长的小棒将/周 定，从点Ai开始依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A21,则角8的取01=/ A2A1A3=2 0,二色=/ A2A4A3=什2 9 =3,9二 电=/ A2A4A3+8 =4,9由题意得 18 V 0< 22.5 °.9. （2013?1兴市一模）如图，在中，,点 P为所在平面内一点，且点 P 与的任意两个顶点构成, 均是

12、等腰三角形，则满足上述条件的所有点6个.【解答】解：如图所示，作的垂直平分线，的外心 Pi为满足条件的一个点,以点C为圆心，以长为半径画圆，P2、P3为满足条件的点，分别以点A、B为圆心，以长为半径画圆，P4为满足条件的点，分别以点A、B为圆心，以长为半径画圆，P5、P6为满足条件的点，综上所述，满足条件的所有点 P的个数为6.故答案为：6.10. (2013?安徽模拟)如图所示，为等边三角形，于R,，于S,则四个结论正确的是.P在/ A的平分线上；/；【解答】解：.，±, ±,P在/ A的平分线上，在和中，.Kap=ap. f PR二PS '(), 为等边三角形，

13、./ / 60°, / 30°,7 60°,在和中， fZPQS=ZB, ZPRB=ZPSQ, fS二PR（）, 项四个结论都正确, 故答案为.11. （2012项阳）如图，在4 1中，/20°, iB,在A1B上取一点C,延长1至1JA2, 使得A1A21C;在A2c上取一点D,延长A1A2到A3,使得A2A32D;，按此做法进 行下去，/的度数为叱.【解答】解：二.在1中，/20°, 1B,./1皿*1a3二80。， 22V A1A21C, / 1A 是4 A1A2c 的外角，同理可得，/3A2=20°, /4A3=10°

14、;,/J12. （2012?枣阳市校级模拟）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为 8或6 ,底边长为 5或9 .【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，设等腰三角形的腰长2x,是腰上的中线，若的长为12,则212,则9,即49,若的长为9,则29, 解得3,则 12,即 312,解得9;所以等腰三角形的底边为5时，腰长为8;等腰三角形的底边为9时，腰长为6;故答案为：8或6; 5或95 y C13. （2011*宁）如图，等边三角形中,D、E分别为、边上的两动点，且总使,与交于点F, ±于点G,则景二等边三角形, / / ,/ / 60°,30&

15、#176;,2故答案为:14. （2011?鄂州校级模拟）如图所示，在中，7 80°, P在内,710°, 730°, 则 /700 .【解答】解：在下方取一点D,使得三角形为等边三角形，连接、/ / - / 20°, / 80°,:，/ 80°, / 50°, 140 =/,又/ 30°=/-又/ 60°, 是等边三角形，. 20=10°,2 2 ./ / 10 +60 =70°.或由 / /又/ / 40° / ( 180 - 40) /2=70故答案为：70°

16、.15. （2011TW曙区模拟）线段和直线l在同一平面上.则下列判断可能成立的有5个直线l上恰好只有个1点P,使为等腰三角形直线l上恰好只有个2点P,使为等腰三角形直线l上恰好只有个3点P,使为等腰三角形直线l上恰好只有个4点P,使为等腰三角形直线l上恰好只有个5点P,使为等腰三角形直线l上恰好只有个6点P,使为等腰三角形.【解答】解：要使是等腰三角形，分为三种情况：（即作的垂直平分线于直 线的交点，即有一个点）.直线l上恰好只有个1点P,使为等腰三角形正确; （以A为圆心，以为半径画弧，交直线于两点），即直线l上恰好只有个2点P,使为等腰三角形正确；直线l上恰好只有个3点P,使为等腰三角形

17、正确；（以B为圆心，以为半径画弧，交直线于两点）即直线l上恰好只有个4点P,使为等腰三角形正确；直线l上恰好只有个5点P,使为等腰三角形正确；. 1+2+2=5,直线l上恰好只有个6点P,使为等腰三角形错误；故答案为：5.PP甲 I16. （2011锹墅区校级模拟）如图，为正三角形，面积为S. Di, Ei, Fi分别是三边上的点，且iii二，可得DiEiFi,则DiEiFi的面积Si=S ;如，02, 2£区F2分别是三边上的点，且22A，则D2E2F2的面积S2±S一 ；按照这样的3三一思路探索下去，一分别是三边上的点，且1 iii2.iFiAiEiAiFi,设等边的边长为a,则输0。, iFi的面积 蒋*看?60:.DiEiFi 的面积 S 3X号；同理，222时,2222y,“ 一一一 11 J9l 9 2F2 的面积 S=±x 官a*a?60 V D2E2F2 的面积 S? - 3Xy j时,n n+l的面积=Lxa?!a?602 / 1n+l Cn+1)2的面积-3X 始产f+1(n+l) 2 tn-+l)