高等数学：7-6 空间直线及其方程

1、1第六节第六节 空间直线空间直线及其方程及其方程空间直线的一般方程空间直线的一般方程空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程与参数方程与参数方程两直线的夹角两直线的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角小结小结 思考题思考题 作业作业(space right line)第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数21 2 定义定义 空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线.0:11111 DzCyBxA 0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程L注注;

2、)1(222111不不成成比比例例、与与、CBACBA(2) 直线直线L的一般方程形式不是唯一的的一般方程形式不是唯一的.空间直线及其方程空间直线及其方程xyzOL3方向向量的定义方向向量的定义如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于sL已知直线上点已知直线上点0M M ,),(LzyxM sMM0/),(pnms 二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程1.对称式方程对称式方程 一条直线一条直线可以可以有许多有许多方向向量方向向量. 求此直线的方程求此直线的方程一条已知直线一条已知直线, 这个向量称这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量. .),(00

3、00zyxM的的直直线线L称称为为、的的三三个个坐坐标标pnmss空间直线及其方程空间直线及其方程方向数方向数. .xyzO4pzznyymxx000 直线的直线的对称式方程对称式方程pzznyymxx000 令令 直线的直线的参数方程参数方程),(0000zzyyxxMM 因为因为故故sMM0/故故直线方程的几种形式可以互相转换直线方程的几种形式可以互相转换.( (点向式、标准式）点向式、标准式）t mtxx 0ntyy 0ptzz 0空间直线及其方程空间直线及其方程5 例例解解取取所求直线方程为所求直线方程为 11xpzznyymxx000 M1 M2s求过两点求过两点M1(1,2,3),

4、M2(2,6,5)的直线方程的直线方程.向量向量21MM与直线平行与直线平行)2 , 4 , 1( s 21MM 42y23 z 过两点作直线过两点作直线空间直线及其方程空间直线及其方程6),(),(22221111zyxMzyxM则直线的一个方向向量为则直线的一个方向向量为: 于是对称式于是对称式方程可写成方程可写成:121121121zzzzyyyyxxxx pzznyymxx000 一般一般, ,如直线过两点如直线过两点),(121212zzyyxx 21MM空间直线及其方程空间直线及其方程7解解 交点为交点为),0, 3, 0( B取取BAs ),4, 0, 2( 所求直线方程所求直线

5、方程 22x. A. Bs,),4 , 3, 2(轴垂直相交轴垂直相交且和且和一直线过点一直线过点yA .求其方程求其方程例例 03y.44 z空间直线及其方程空间直线及其方程xyzO8可将对称式方程拆为一般方程可将对称式方程拆为一般方程如对称式方程为如对称式方程为111101 zyx可写成一般方程可写成一般方程 可将直线的对称式方程可将直线的对称式方程又如又如110101 zyx注注 )0( zy即即可写成一般方程可写成一般方程pzznyymxx000 01 x11 zy 1 x1 y化为一般方程吗化为一般方程吗 各类直线方程的互换各类直线方程的互换空间直线及其方程空间直线及其方程xyzO1

6、192. 直线的一般方程化为对称式方程直线的一般方程化为对称式方程 怎样将直线的一般方程怎样将直线的一般方程(1) 用代数的用代数的消元法消元法化为比例式化为比例式; 有两种方法有两种方法(2) 在直线上找一定点在直线上找一定点,再求出方向向量再求出方向向量, (重要重要)化为对称式方程化为对称式方程即写出对称式方程即写出对称式方程.空间直线及其方程空间直线及其方程10写成比例式写成比例式,7351 zyx例例 0220123zyxzyx将将解解 法一法一 0220123zyxzyx(1)(2)015 yx037 zx)2(2)1( )2()1( . z可消去可消去. y可可消消去去两个方程中

7、两个方程中, 每一个只有两个变量每一个只有两个变量,共同的变量共同的变量即得即得对称式方程对称式方程.化为对称式方程化为对称式方程.解出解出x.空间直线及其方程空间直线及其方程此直线上一定点为此直线上一定点为方向向量为方向向量为(0, 1, 3), (1,5,7)s 11先求直线上一定点先求直线上一定点: 于是得直线上的一定点于是得直线上的一定点取取 21nns对称式方程对称式方程7578173zyx 将将 化为对称式方程化为对称式方程. 0220123zyxzyx 0220123zyxzyx,73 x,0 ,78,73 因因所求直线与两平面的法向量都垂直所求直线与两平面的法向量都垂直. )1

8、, 1 , 2()1 , 2, 3(2n1ns法二法二,0代入代入以以 z00)7 , 5 , 1(78 y空间直线及其方程空间直线及其方程1 2 Ls12两个对称式方程两个对称式方程7351 zyx7578173zyx 实际上直线的对称式方程不唯一实际上直线的对称式方程不唯一.注意注意都满足这两个对称式方程都满足这两个对称式方程, ,0 ,78,73 ),3, 1, 0( 过两点确定唯一的过两点确定唯一的因此这两个对称式方程表示同一条因此这两个对称式方程表示同一条怎么不一样怎么不一样答答: :(当定点取得不同时对称式方程不同当定点取得不同时对称式方程不同).另外可验证另外可验证, 两个点两个

9、点一条直线一条直线,直线直线.空间直线及其方程空间直线及其方程133. 直线的参数方程直线的参数方程上式何时有用上式何时有用 如求如求tpzznyymxx 000设设为参数为参数ttpzztnyytmxx 000直线的参数方程直线的参数方程故故答答: : ),(pnms 直线与平面的交点直线与平面的交点.空间直线及其方程空间直线及其方程14241312 zyx令令241312 zyx得得62 zyx解解 tztytx243206)24()3()2(2 ttt1 t再代入再代入代入平面方程代入平面方程,求直线求直线例例与平面与平面的交点的交点.t 得得, 1 x, 2 y. 2 z空间直线及其方

10、程空间直线及其方程15解解 先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 3再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令12131 zyx tztytx1213. M垂直相交垂直相交的直线方程的直线方程.12131)3 , 1 , 2( zyxM且与直线且与直线求过点求过点例例 N2 1 )2( x)1( y)3( z0 t 空间直线及其方程空间直线及其方程1673 t交点交点)73,713,72( N取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为MNMN)373, 1713, 272( )724,76,712( 直线方程为直线方程为451122 zyx想一

11、想想一想0)3()1(2)2(3 zyx tztytx1213代入代入得得将将)3 , 1 , 2(M直线过点直线过点. M N还有别的方法吗还有别的方法吗?空间直线及其方程空间直线及其方程17定义定义直线直线:1L111111pzznyymxx 直线直线:2L222222pzznyymxx ),cos(21LL两直线的两直线的方向向量的夹角方向向量的夹角称之称之.两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角三、两直线的夹角（锐角）（锐角）222222212121212121pnmpnmppnnmm 空间直线及其方程空间直线及其方程18两直线的位置关系两直线的位置关系:21)1(LL ,

12、0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L),0, 4, 1(1 s),1 , 0 , 0(2 s, 021 ss,21ss 例例.21LL 即即(两直线垂直、平行的条件两直线垂直、平行的条件):1L:2L),(1111pnms ),(2222pnms 空间直线及其方程空间直线及其方程19 与直线与直线及及112211 zyx都平行且过原点的都平行且过原点的平面方程平面方程为为( ).1987,数学一考研填空数学一考研填空,(3分分) tztyx2110 zyx提示提示平面过原点平面过原点由点法式方程即可得由点法式方程即可得.法向量法向

13、量1.)1 , 1, 1( )1 , 2 , 1()1 , 1 , 0( n空间直线及其方程空间直线及其方程202.垂直的垂直的且与直线且与直线过点过点 1432)1, 2 , 1(tztytx).(平平面面方方程程是是1990,数学一考研填空数学一考研填空,(3分分)043 zyx3.130211:1 zyxL过直线过直线且且平平行行于于).(11122:2的平面方程为的平面方程为直线直线zyxL 1991,数学一考研填空数学一考研填空,(3分分)023 zyx 提示提示)3 , 2 , 1(点点)1 , 3, 1()1 , 1 , 2()1, 0 , 1( 21ssn)1 , 3 , 1(

14、 n 提示提示空间直线及其方程空间直线及其方程 21与与两两直直线线182511:1 zyxL).(326:2的夹角为的夹角为与与 zyyxL1993,数学一考研数学一考研 选择选择,(3分分)6. A4. B3. CC2. D 提示提示22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的夹角公式两直线的夹角公式:4.)2 , 1, 1( )1 , 2 , 0()0 , 1, 1( 2s)1 , 2, 1( 1s空间直线及其方程空间直线及其方程22解解 设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为),(pnms ,1ns ,2ns 取取21nns ),1

15、, 3, 4( .153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程例例的交线平行的直线方程的交线平行的直线方程.和和且与两平面且与两平面求过点求过点34)5 , 2 , 3( zx152 zyx 过已知直线外一点作直线与已知直线平行过已知直线外一点作直线与已知直线平行空间直线及其方程空间直线及其方程 23直线和它在平面上的投影直线的直线和它在平面上的投影直线的 定义定义20 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx ),(pnms ),(CBAn 2),(ns 2),(ns四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角夹角夹角 sin 2cos空间直线及其方程空间直线及其方程称之称之

16、.2cos 24直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的)1()2(/(直线与平面垂直、平行的充要条件直线与平面垂直、平行的充要条件) sin222222|pnmCBACpBnAm ;pCnBmA . 0 CpBnAm LL 位置关系：位置关系：空间直线及其方程空间直线及其方程25解解),2, 1, 1( n),2, 1, 2( s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角.,21121: zyxL设直线设直线例例, 32: zyx 平面平面求直线与平面的夹角求直线与平面的夹角.空间直线

17、及其方程空间直线及其方程26,031020123 zyxzyxL为为设直线设直线1995,数学一考研选择数学一考研选择,(3分分).(, 0224则则为为平平面面 zyx 平平行行于于LA. .上上在在 LB 垂垂直直于于LC.斜斜交交与与 LD.C( , ,)(1,3,2) (2, 1, 10)sm n p / 提示提示)7,14,28( )1 , 2, 4( 空间直线及其方程空间直线及其方程27平面束的方程平面束的方程设有两块设有两块不平行不平行的平面的平面其中系数不互相其中系数不互相成比例成比例交成一条直线交成一条直线L过直线过直线L的所求全体平面的所求全体平面 平面束平面束)1(0:1

18、1111 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA作作(3)表示过直线表示过直线L的平面的平面)(2 除除0)(2222 DzCyBxA1111DzCyBxA )3()2(0:22222 DzCyBxA 空间直线及其方程空间直线及其方程28解解想一想想一想 还有别的方法吗还有别的方法吗?试比较哪种方法试比较哪种方法简单简单?的的和点和点求过直线求过直线)1, 1 , 1(010 zyxzyx.平平面面方方程程)1(0)1( zyxzyx 将点将点 代入代入(1)中中,得得)1, 1 , 1( 0)1111(111 23 将将代入代入(1)中中,得得23 035 zyxn

19、例例过过已知直线的平面束方程已知直线的平面束方程为为空间直线及其方程空间直线及其方程29例例解解且与平面且与平面求过直线求过直线 , 0405:zxzyx过过已知直线的平面束方程已知直线的平面束方程为为0)4(5 zxzyx 04)1(5)1( zyx即即其法向量其法向量又又已已知知平平面面的的法法向向量量).8, 4, 1(2 n.401284角的平面方程角的平面方程组成组成 zyx 1n)1, 5,1( 空间直线及其方程空间直线及其方程30 4cos 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1( ,2723222 即即由此得由此得.43 代回平面束方程为代回平面束方

20、程为. 012720 zyx且与平面且与平面求过直线求过直线 , 0405:zxzyx.401284角的平面方程角的平面方程组成组成 zyx2121nnnn 0)4(5 zxzyx )1, 5,1( 1n空间直线及其方程空间直线及其方程)8, 4, 1(2 n31上海交大考题上海交大考题(98级级)的两个互相的两个互相求通过直线求通过直线 020:zyxyxL.,zyx 线线其其中中一一个个平平面面平平行行于于直直垂垂直直的的平平面面解解 设设平面束方程平面束方程02)1()1( zyx,1 的的平平面面为为设设平平行行于于直直线线zyx 0)1()1( 2 方方程程平平面面1 ,21 的的平

21、平面面方方程程为为又又设设垂垂直直于于由由即即; 0423 zyx由由02)1(3)1( 31 ),1,1(1 n. 02242 zyx方方程程平平面面 空间直线及其方程空间直线及其方程1 2 (2)0 xyxyz32思考题思考题1 1想一想下述问题能否转化为想一想下述问题能否转化为用点法式确定平面方程？用点法式确定平面方程？(1) 过两条相交直线过两条相交直线,确定一平面确定一平面;(2) 过两条平行直线过两条平行直线,确定一平面确定一平面;(3) 过一直线与该直线外一点过一直线与该直线外一点,确定一平面确定一平面;(4) 过一直线垂直于已知平面过一直线垂直于已知平面,确定一平面确定一平面.

22、(设此直线不垂直于设此直线不垂直于一已知平面一已知平面)如何转化？如何转化？空间直线及其方程空间直线及其方程33思考题思考题2 2想一想下述问题能否转化为想一想下述问题能否转化为用对称式方程来确定直线方程用对称式方程来确定直线方程?(1) 过一点且与一已知平面垂直过一点且与一已知平面垂直,确定一直线方程确定一直线方程;(2) 过一点且与两条相交直线都垂直的直线方程过一点且与两条相交直线都垂直的直线方程;(3) 过一点且与一已知平面平行过一点且与一已知平面平行,与一已知直线相与一已知直线相 交的直线方程交的直线方程.如何转化？如何转化？ 空间直线及其方程空间直线及其方程34(3)过一点且与一已知

23、平面平行过一点且与一已知平面平行,与一已知直线与一已知直线相交的直线方程相交的直线方程.应注意应注意, s即有即有因此在因此在L上上即有即有s共面共面,则由则由对称式对称式求出所给直线求出所给直线.s,n0 ns)(a)(b0)( ABls空间直线及其方程空间直线及其方程为了确定所求直线的方向向量为了确定所求直线的方向向量垂直于已给平面的法线向量垂直于已给平面的法线向量由于已知直线由于已知直线L与欲求直线相交与欲求直线相交,取一已知点取一已知点B,它与欲求直线上任一点它与欲求直线上任一点A的连线的连线AB必与必与L,L snl B A( ),( ),abs由联立解得试想想有没有别的更好方法！试想想有没有别的更好方法！35空间直线的一般方程空间直线的一般方程两直线的夹角两直线的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角(两直线垂直、平行的充要条件两直线垂直、平行的充要条件)(直线与平面垂直、平行的充要条件直线与平面垂直、平行的充要