《用向量法求直线与平面所成的角》教案

1、第二讲：立体几何中的向量方法利用空间向量求直线与平面所成的角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强， 致使大多数学生都感到束手无策。高中新教材中， 向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程

2、理念。为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。教学目标1. 使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法；2. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；3. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.教学重点求平面的法向量；求解直线与平面所成的角的向量法.教学难点

3、求解直线与平面所成的角的向量法.教学过程、复习回顾一、回顾有关知识：1、直线与平面所成的角： （范围：0, ）2思考：设平面的法向量为 n ，则n, BA与的关系？ABO精选文库nA（图 1）BOn, BA2ABOnn, BA（图2）2据图分析可得：结论：sin | cos n, AB | | n ? AB | n | AB |2、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（ 1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （化为向量问题 ）（ 2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运

4、算）（ 3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）、典例分析与练习例 1、如图，正三棱柱ABC A1B1C1 的底面边长为a , 侧棱长为2a ，求 AC1 和 面 AA1 B1B 所成角的正弦值 .分析： 直线与平面所成的角步骤：1. 求出平面的法向量2. 求出直线的方向向量3. 求以上两个向量的夹角， ( 锐角 ) 其余角为所求角解：如图建立空间直角坐标系Axyz ，则 AA1(0,0,2a), AB (0, a,0),设平面 AA1B1 B 的法向量为n ( x, y, z)C1AC1 (3a,1a, 2a)A1B122Z由 nAA102az0y0 取 x1 ， n(1,

5、0,0)nAB0ay 0z0C设 AC1 和 面 AA1 B1B 所成角为ADB yyx| AC1 n |3 a2 |1xsin| cosAC1 , n2|3a 22| AC1 |N |AC1 和 面 AA1 B1B 所成角的正弦值1 .22精选文库点拨 要注意“直线与平面所成的角”与“直线的方向向量与平面的法向量所成角”之间的关系，通常求斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其锐角就是斜线和平面所成的角。练习 1：如图，在三棱柱ABC A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2 的正三角形，侧棱长为3，求BB1 与平面 AB1C1 所成的角 .解：建立如图所示的空间直角坐标系O-

6、xyz.则 A( 1， 0，0) ， B(0 ，3， 0) ， B1(0 ，3， 3) ，C1(1 ， 0， 3) r11n( x, y, z) ，设平面 ABC 的一个法向量为由令r( 3,3,2)z2，得 n设直线 BB1 与平面 AB1C1 所成角为，61则sin |cos ，| n· BB1|1| .n BB4×32| n| BB1|又 0 ， .26练习 2：如图， 在棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1 中， E、F 分别是棱 A1D1, A1B1 的中点 求 BC1 和面 EFBD所成的角 .解：如图建立空间坐标系D xyz ，uuuruuur(2,2,0)则 DE(1,0,2) ， DBr( x, y,1)设面 EFBD 的法向量为 nuuurr0rDEn(2,2,1)由 uuurr0得 nDBn3精选文库uuuur又 BC1 ( 2,0,2)记 BC1 和面 EFBD 所成的角为uuuur ruuuurr2BC1n则 sin | cos BC1 , n | |uuuurr| BC1 | n |2 BC1 和平面 EFBD 所成的角为4、小结与收获1、直线与平面所成的角的正弦值 sin |cos n, AB | | n AB | | n | AB |2、求平面法向量的