《第八讲 一次函数

1、第八讲一次函数第八讲一次函数 二次函数二次函数 幂函幂函数数回归课本回归课本1.二次函数的性质与图象二次函数的性质与图象(1)函数函数y=ax2+bx+c(a0)叫做二次函数叫做二次函数,它的定义域是它的定义域是R. 24,;242,2:,a0,2222,x,;bacbbxaaabbbfabaaa 二次函数有如下性质函数的图抛物线顶点的坐标是象是抛物线的对称轴是当时 抛物线开口函一条抛物线向数在处取值在区间上是减函数 在上是上小；增函数最,2;,2220,a0,;y;,cbxabbbfaaa 当时 抛物线开口函数在处取最大值在区间上是增函数 在上是减函数与 轴的交点向是下当当=b2-4ac0时

2、时,与与x轴两交点的横坐标轴两交点的横坐标x1 x2分别是方分别是方程程ax2+bx+c=0(a0)的两根的两根;当当=0时时,与与x轴切于一点轴切于一点当当25答案答案:A4.已知当已知当mR时时,函数函数f(x)=m(x2-1)+x-a的图象和的图象和x轴恒轴恒有公共点有公共点,则实数则实数a的取值范围的取值范围_.答案答案:m=0时时,aR;m0时时,a-1,1a5.a1,1,yxRaA.1,3B. 1,1C. 1,3D. 1,1,3231 设则使函数的定义域为 且为奇函数的所有 值为（）解析解析:在函数在函数y=x-1,y=x,y=x ,y=x3中中,只有函数只有函数y=x和和y=x3

3、的定义域是的定义域是R,且是奇函数且是奇函数,故故a=1,3.答案答案:A类型一类型一二次函数图像和性质的应用二次函数图像和性质的应用 224,:f xaxbxc(a.0)2,x24,bbacbaaa 解题准备 二次函数的图象是一条抛物线对称轴方程为顶点坐标是 (1)二次函数二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),当当=b2-4ac0时时,图图象与象与x轴有两个交点轴有两个交点(2)二次函数的图象与性质是历年高考的热点内容二次函数的图象与性质是历年高考的热点内容,今后仍是今后仍是高考命题的热点高考命题的热点,选择题选择题 填空题填空题 解答题三种题型中都解答题三种题型中都有可能出现有可能出

4、现.(, ),(, ),|.|a11221212M x 0 Mx 0M Mxx【典例典例1】已知二次函数已知二次函数f(x)满足满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且且f(x)的最大值是的最大值是8,试确定此二次函数试确定此二次函数.分析分析由题目条件知二次函数过由题目条件知二次函数过(2,-1),(-1,-1)两点两点,且知其且知其最大值最大值,所以可应用一般式所以可应用一般式 顶点式或两根式解题顶点式或两根式解题. 222421,4:,f xaxbxc,1,4,7.48a0 .y4x4x7,.4abcaabcbcacba 解 解法一 利用二次函数一般式设由题意得解得所求二次函数为 222

5、22:,f xa xmn a0 .f 2f1 ,xmy8,yf xaf 21,a42( 1)11,.22218.21281,218447.2f.x4xaxxx 解法二 利用二次函数顶点式 设抛物线对称轴为又根据题意函数有最大值解得解法三解法三:利用两根式利用两根式.由已知由已知f(x)+1=0的两根为的两根为x1=2,x2=-1,故可设故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0),即即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值又函数有最大值ymax=8,即即解得解得a=-4,或或a=0(舍舍).所求函数解析式为所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.24 ( 21)84aaa

6、a ，类型二类型二二次函数在特定区间上的最值问题二次函数在特定区间上的最值问题解题准备解题准备:1.二次函数在闭区间上必有最大值和最小值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值,它只它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得. 0002.:a0,f xp,qM,m,x1,f pm,f qM;2px ,3xf pM, 4q,f pM,f qm.1().22,( );a022,;22,f xp,q,2pqbpabbfm f qMaabbqfmaaba二次函数在闭区间上的最值讨论 当时在区间上的最大值为最小值为令若则若 则若则若则当时在上的最大值与上述最小值讨论

7、一致而最小值类似.上述最大值讨论3.解答此类问题往往离不开数形结合和分类讨论的数学思解答此类问题往往离不开数形结合和分类讨论的数学思想想,有利于培养学生综合分析问题的能力有利于培养学生综合分析问题的能力.【典例典例2】已知函数已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在在0 x1时有最大时有最大值值2,求求a的值的值.分析分析作出函数图象作出函数图象,因对称轴因对称轴x=a位置不定位置不定,故分类讨论对故分类讨论对称轴位置以确定称轴位置以确定f(x)在在0,1上的单调情况上的单调情况.解解当对称轴当对称轴x=a0时时,如图如图(1)所示所示.当当x=0时时,y有最大值有最大值,ymax=f(0)

8、=1-a.所以所以1-a=2,即即a=-1,且满足且满足a0时时,幂函数幂函数y=x有下列性质有下列性质:图象都通过点图象都通过点(0,0),(1,1);在第一象限内在第一象限内,函数值随函数值随x的增大而增大的增大而增大;在第一象限内在第一象限内,1时时,图象是向下凹的图象是向下凹的;01时时,图象是图象是向上凸的向上凸的;在第一象限内在第一象限内,过过(1,1)点后点后,图象向右上方无限伸展图象向右上方无限伸展.(2)当当0时时,幂函数幂函数y=x有下列性质有下列性质:图象都通过点图象都通过点(1,1)在第一象限内在第一象限内,函数值随函数值随x的增大而减小的增大而减小,图象是向下凹的图象

9、是向下凹的;在第一象限内在第一象限内,图象向上与图象向上与y轴无限地接近轴无限地接近,向右与向右与x轴无限轴无限地接近地接近;在第一象限内在第一象限内,过过(1,1)点后点后,|越大越大,图象下落的速度越快图象下落的速度越快. m2 2m 3*334yx(mN )y,(0,),a1a.(32 )mma【典例 】已知幂函数的图象关于 轴对称 且在上是减函数 、求满足的 的取值范围解解函数在函数在(0,+)上单调递减上单调递减,m2-2m-30,解得解得-1m3.mN*,m=1,2.又又函数图象关于函数图象关于y轴对称轴对称,m2-2m-3是偶数是偶数.而而22-22-3=-3为奇数为奇数,12-

10、21-3=-4为偶数为偶数,m=1. 1311331133yx,00,x0;x0(a1a132a032aa10a1032a,0,0,)(32 )23.3223|1.32a1axxaaa aa 在和上均为减函数 且当时时等价于或或解得或故 的取值范围为或错源一错源一力求先化简力求先化简,不盲目用判别式法不盲目用判别式法222222221y.y x1 ,yxyxx2,y 1 xxy20.y 10,y1,x1(),y1;y 10,y1,1 4 y 1y202y30,yR21.y| y1yR.21xxxxxx 【典例 】求函数的值域错解因为所以即当即时由得舍去 所以当即时得 则综上得原函数的值域为且2

11、2222,y,x1,x1,y.x1, y 1 xxy20,x1,323,212322,y,.1xxxxxx剖析 事实上 当即时 解得而当时原函数没有意义 故错误的原因在于当时所以是方程的根 但它不属于原函数的定义域所以方程与方程不同解 故函数不能转化为二次方程 用二次方程的理论行不通(2)(1)2(1)(1)11y(x1),y1x1 ,11133.|1.20,yy21xxxxxxxxy yy 正解 原函数可化为即因为所以且故原函数的值域为且错源二错源二忽视幂函数中幂指数忽视幂函数中幂指数=0【典例典例2】已知幂函数已知幂函数y=xn2-2n-3的图象与的图象与x,y轴都没有公共轴都没有公共点且

12、关于点且关于y轴对称轴对称,求整数求整数n的值的值.错解错解因为函数因为函数y=xn2-2n-3的图象与的图象与x,y轴都没有公共点轴都没有公共点,所以所以n2-2n-30,解得解得-1n0.80.50.80.9,0.90.510.9-0.5,所以所以0.80.90.80.50.90.510.9-0.5.剖析剖析错解混淆了指数函数的性质且没有比较错解混淆了指数函数的性质且没有比较0.80.5与与0.90.5的大小的大小. 正解正解因为因为y=x0.5在在(0,+)上单调递增上单调递增,且且0.80.9,所以所以0.80.50.90.5.作出函数作出函数y=x0.5与与y=x-0.5在第一象限内的图象在第一象限内的图象,易知易知0.90.50.80.9.故故0.80.90.80.50.90.50(a-1,1)恒成立恒成立,所以所以,22( 1)(2)(44)0,(1)(2)(x3x1.xx3x44)0.1.gxxxgxxx 解得或故 的取值范围是或技法