人教A版数学必修一专题8函数与方程

1、奋斗没有终点任何时候都是一个起点 信达 专题 8 函数与方程 1 函数零点 (1) 概念 对于函数y=f(x)(xCD),把使f(x) = 0成立的实数x叫做函数y = f(x)( xC D)的零点. (2) 意义 函数y= f (x)的零点就是方程f (x) = 0的实数根. (3) 求法 (代数法)求方程f(x) = 0的实数根； 奋斗没有终点任何时候都是一个起点 信达 (几何法)求函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标. 2 .函数零点存在性定理. 3 .二分法 (1)概念 a+ b 中点：一般地，我们把 一2一称为区间(a, b)的中点; 二分法. (2)用二分法求函数零点近似值的基

2、本步骤. 例1判断下列函数在给定区间上是否存在零点. 2 _ (1) f(x) =x -3x- 18, xC 1,8; (2) f(x) =log 2(x+2) x, x 1,3. 变式训练1求下列函数的零点. 奋斗没有终点任何时候都是一个起点 信达 (1) f(x) =x3+ 1; (2) f(x) =x3-2x2-x+2.奋斗没有终点任何时候都是一个起点 信达 例2 已知函数y=ax2+bx+c,若acv0,则函数f(x)的零点个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D.不确定 变式训练2 若函数f (x) = ax+b(aw。)有一个零点为2,那么函数g(x) = bx2 ax的零点

3、是 ( ) 一 1 1 A. 0,-2 B. 0,- - 1 C. 0,2 D. 2, 2 例3已知函数f (x) = x22ax+a21的两个零点都在(一2,4)内，求实数a的取值范围. 变式训练3 若函数f (x) = ax2x 1有且仅有一个零点，求实数 a的值; A级 ( 第 1,7 题是考查偶函数的性质及零点的概念，解题关键是利用偶函数的对称性 ) 1 已知函数f (x) 是偶函数，其图象与 x 轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为 ( A 0B1C 2D 4 2 .若关于x的方程x2+m圻1 = 0有两个不相等的实数根，则实数 m的取值范围是( ) 奋斗没有终点任何时候都是一个起

4、点 信达 A (1,1) B (2,2) C. (8, 2)u (2 , +8) D. (8, 1) U (1 , +8 ) ( 第 3 题考查的是函数图象与零点的关系，解题关键是将函数图象画出来，然后判断交点个 数 ) 3 .函数f (x) =ln x的图象与函数g(x) = x24x+4的图象的交点个数为( ) A 3B 2C 1D 0 ( 第 4 题考查的是零点存在性定理，解题方法是将答案一一验证 ) 4 .设x0是方程lnx + x4= 0的解，则x0属于区间( ) A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,4) ( 第 5 题考查的是零点的概念，求解方法是直接将零点求

5、出来 ) x+1, x0 5 .函数f(x)= x4x x0 的零点的个数为 6 .函数f(x) =m)2-2x+1有且仅有一个正实数的零点，则实数 3 3 7 .函数f(x)对一切实数x都满足f 2+x =f方一x ,并且方程f(x)=0有三个实根，则这 三个实根的和为. B级 8 .若函数f(x)的定义域为(8, 0)0(0 , +8),且f(x)为偶函数，又f(x)在(0,+8) 上是减函数，f(2) =0,则函数f(x)的零点有( ) A. 一个 B.两个 C.至少两个 D.无关判断 (第9,12题考查了零点的性质应用，求解方法是利用零点的性质，辅助图象解题. ) 9.方程x2+ax

6、2=0在区间1,5上有解，则实数 a的取值范围是( ) A. -2,B (1 , +OO ) 5 一 23 , _ 23 C. 5，1 D. , 一 石 10 .方程2x=x2的实数根的个数是( ) m的取值范围是 奋斗没有终点任何时候都是一个起点 信达 A. 1B. 2C. 3D.无数多 11 .方程 1 = 3x的实数解为 _ . 3 1 .2 | x + 5x+ 4| , x0. 若函数y=f(x) a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为 . 13 .不用求根公式，求函数f(x) =(x2)( x 5) 1的零点的个数，并比较零点与3的大小.奋斗没有终点任何时候都是一个起点 信达 1

7、4 .已知a是正实数，函数 f (x) = 2ax2+2x3 a.如果函数y=f(x)在区间1,1上有零 点，求 a 的取值范围 答案精析 专题 8 函数与方程 典型例题 例 1 解 (1)方法一 f (1) =123X 1 18=200, .f (1) f(8)log22 1 = 0, f (3) =log 253log 283=0, .f (1) f(3)0 ,故 f(x)=log2(x+ 2) -x, x 1,3存在零点. 方法二 设y=log2(x+2), y=x,在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看 出当1WxW3时，两图象有一个交点，因此 f(x) = log 2(x+

8、2) -x, x 1,3存在零点.奋斗没有终点任何时候都是一个起点 信达 变式训练 1 解 (1) f (x) =x3+1 = (x+1)( x2 x+1),令(x+1)( x2 x+1) = 0,解得 x= 1, 即函数f(x) =x3+ 1的零点为x=1； (2)令 x3 2x2 x+ 2= 0,化得(x+ 1)( x 1)( x- 2) =0,解得 x=1 或 x=1 或 x=2, 所以函数y= x3 2x2+x2的零点分别为 x=1或x=1或x=2. 例2 C 因ac0,所以函数y=ax2+bx+ c的图象与x轴有两个交点， 即函数f(x)的零点个数为2. 变式训练 2 A ; aw

9、0,2 a+b=0, 令 bx2-ax= 0,得 x= 0 或 x=3=-. 例3 解 设函数的两个零点为 x1与x2,且一2xwx20 f (4)0 A0 a2+4a+30 2 a 8a+ 150 A =40 一 2a4 a一 1 解得a5 , 2a4 所以实数a的取值范围为一1a3. 变式训练3解若a=0, a . b b= 1 2. 一 2 一 2a 2 0, m2或 m-2,应选 C. 3. B 画出两个函数f(x), g(x)的图象， 由图知f(x), g(x)的图象的交点个数为 2. 4. C 令 f(x) = lnx+x 4, 则 f (2) =ln2 +2-40,选 C. 5.

10、 1 解析令f (x) = 0, 当 x0 时，x+ 1 = 0, 解得x= 1,不合适，舍去. 当 x0 ，函数f(x)= 2+ 0 的零点是一1,其个数为1. 奋斗没有终点任何时候都是一个起点 信达 6. (巴 0 U1 一 ， 一 1、. 解析 当m= 0时，x= 2为函数的零点；当 0时，右A=0,即m= 1时，x= 1是函数唯一 的零点，若AW0,显然函数x=0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价 2 于方程mx- 2x +1 = 0有一个正根和一个负根， 即 mf(0) 0,即 m 0. 9 7. 2 解析 设方程f (x) = 0的三个实根分别为 x1, x2, x

11、3, 3 因为对称轴为x=2， 3 口 3 3 所以 x2= 且二一 x1= x3 2 2 2 9 则 x1 + x3=3, 所以 x1 + x2+x3 = 2. 8. B 依据给出的函数性质，易知 f( 2) =0,画出函数的大致图象如图: 可知f(x)有两个零点. 9. C 设 f(x)=x2+ax 2, f (0) =- 20即可， 23 解得 a 1. 5 10. C 画出函数yi = 2x与y2=x2的图象可知 x=2与x = 4时，yi = y2,当x4时，函数yi=2、递增的速度明显比 y2 = x2快， 即x4后，再没有交点，故选 C. 11. log 34 解析 令t = 3

12、x(t 0),则原方程可化为：(t 1)2= 9(t0). ，t1=3, t =4,即 x= log 34 可满足条件， 9 x- 即方程3x巧+ 1 = 3、的实数解为10g 4 12. 1a0). 当a=2时，函数f(x)的图象与函数y=a|x|的图象有3个交点.故a2. 当y=a|x|(xW0)与y= | x2+5x+4|相切时，在整个定义域内， f(x)的图象与y1=a|x|的图 象有5个交点， y = - ax 此时，由 2 y= - x 5x 4奋斗没有终点任何时候都是一个起点 信达 得 X2+ (5 a) x + 4= 0. 2 由=。得(5 a) 16 = 0,解得 a= 1,或 a= 9(舍去)， 则当1a2时，两个函数图象有 4个交点. 故实数a的取值范围是1a0, 所以方程x2-7x+ 9=0有两个不等实数根， 即函数f (x) = (x2)( x5) 1有两个零点； 又因为 f(3) = (3 - 2)(3 -5) -1 = -30, 且函数f(x) =(x2)( x5) 1为开口向上的