对一道高考轨迹题的探究与推广

1、图4对一道高考轨迹题的探究与推广普通高中数学课程标准指出：“学牛的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿 和练习，高屮数学课程还应倡导口主探索、动手实践、合作交流、阅读口学等学习数学的方 式”，“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现 和创造的历程，发展他们的创新意识”.卜面通过对一道高考题（05年江苏卷）的反思、探 究、推广，介绍自己在这方面所做的一次尝试。考题：如图1,圆o与鬪ch的半径都是1, 02=4,过动点p 分别作圆0|、圆02的切线pm、pn （m、n分别为切点），使得pm = 41pn.试建立适当的处标系，并求动点p的轨迹方程.木题是由一动点

2、出发的两条线段之比为定值的点的轨迹.一个很 白然的想法是将题中的比改为和，点p的轨迹还是圆吗？探究一若将题中的条件pm改为pm + pn = m ,其他条件不变，则p点的轨 迹将是什么呢？解：以oq2所在肓线为x轴,oq2的垂肓平分线为y轴，建立肓角坐标系（下同），设p（x,y）,则 pm + pn = m 即 j（x + 2尸 +）.,2 _ + /兀 _ 2）2 +，2 _ 二皿 化简并整理得（4/?2 - 64）x2 + 4m2y2 = m2 （m2 -12）若加v 2血时,则不表示任何图形（也即p的轨迹不存在）.若m = 2v2时，则表示两个点（-1,0）. （1, 0）.若2血<

3、;m< 2a/3时,则表示焦点在x轴的双illi线的-段（如图2）.若m = 2v3 w,则表示两条线段,，=±¥兀-<%<-（如图3）. 22 丿若2希<m<4时,则表示焦点在y轴的双llll线的一段（如图4）.若加=4时，则表示两条线段,y = ±l（-2<x< 2）（如图5）.（7）若4 <加< 2/6时，则表示椭圆的一段（如图6）.若m = 2v6时,则表示椭圆%2 +3/ = 9 （如图7）.若m > 2v6时,则表示椭圆（如图8）.探究二 若将题屮的一个圆改为一定肓线, 点的轨迹又将是什么呢？

4、即把圆02改为肓线x=2,其他条件不变，则p解：设 p(x,y),则 pm +pn = m (如图 9)即 7( + 2)2 + /-1+ x-2 =m<=> /(x + 2)2 + y2 -1 = x-2 +in (x < 2)-x + 2 + m (x > 2) 化简并整理得 y2 = 2(m - 4)x + in2 - 4m +1 化简并整理得 y2 = 一2(加+ 4)x + /2+4加+1若m<3时,则不表示任何图形（也即p的轨迹不存在）.若加二3吋,则表示一个点（-1, 0）.若35<丘 时，表示抛物线在直线x = 2-m的右边一 段，不表示任何

5、图形，则表示抛物线在直线x = 2-m的右边段（如图10）.若m = vl5时，表示抛物线在直线x = 2-vl5的右边一 段，表示一个点（2, 0）,此点在抛物线上，则表示抛物线在直 线x = 2-v15的右边一段（如图11）.。2 x若v15 < m < 4时，表示抛物线在直线x = 2-m的右边一 段，表示抛物线在肓线x = 2的右边一段，则表示抛物线 在直线x = 2-m的右边一段和抛物线在直线兀=2的右边一段围 成的半封闭图形（如图12）.若加=4时，表示两条线段* = ±1（25x5 2）,表示抛物 线b=_i6x + 33在总线x = 2的右边一段，则两条线

6、段，y = ±l（25兀5 2）和抛物线=_16兀+ 33在直线兀=2的右 边一段围成的半封闭图形（如图13）.（7）若4vv5吋，农示抛物线在其中段（2-7/?x2）,表示抛物线在总线x = 2的右边一段，则表示、围成的半封闭图形（如图14）.若m = 5时，表示抛物线b=2兀+ 6在直线x = 2的左边，表示抛物线 y2=-18x + 46在直线x = 2的右边，则表示、围成的封闭图形（如图15）.表示抛物线在直线x = 2的（9）若加5时，表示抛物线在直线x = 2的左边一段,右边一段，则表示、围成的封闭图形（如图16）.探究三若将题中的一个鬪改为一定点，即把圆02改为定点（2

7、, 0）,其他条件不变，则p 点的轨迹又将是什么呢？解:设 p（x,y）,则 pm + po2 = m （如图 17）即 x + 2）2 + y2- + 7（x-2）2 + y2 =m 化简并整理得 （4/ 64）/ +16兀+ 4肿员=赤一伽2 + i若加 3时,则不表示任何图形（也即p的轨迹不存在）.若m = 3时，则表示一个点（-1,0）.若3 v加v 4时，则表示双曲线左支的一段（如图18）. 若加=4时，则表示抛物线64/=-16x + 33的一段（如图19）.4若4加5时，则表示椭圆的一段（如图20）.探究四 若将题中的一个圆改为一定点，即把圆01改为定点（-2, 0）,再将题屮的一个圆 改为一定直线，即把圆02改为直线x=2,具他条件不变，则p点的轨迹乂将是什么呢？解：设 p（x,y）,则 pq + pn 二加（如图 23）即 j（x + 2尸 +），+ x 2 二加<=> j(x + 2)2 + )，=x-2+ m (x < 2)-x + 2 + m (x > 2)化简并整理得y2 = 2(m-4)x + m2 - 4m©化简并整理得y2 =二一2 (加 + 4) x + 亦 + 4加0若加4时,则不表示任何图形（也即p的