2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.9三角函数的简单应用学案北师大版必修4

1、coco2nT=-Io|2nT=9三角函数的简单应用学习目标1. 了解三角函数是研究周期现象最重要的模型(重点)2 初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题(难点)知识点 1 利用三角函数模型解决实际问题在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化，而三角函数模型是刻画周期性问(1)收集数据，画出“散点图”；观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函y=Atan(ox+ $ ) (3工 0)的周期是T=1oI知识点 2 三角函数模型在物理学中的应用y=Asin(ox+ $

2、)来表示运动的位在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数移y随时间x的变化规律，其中：(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移;2n(2)T=称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间;f=T= 2：称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数【预习评在函数y=Asin(ox+ $ ) +b(A 0,o0)中，A,b与函数的最值有何关系?提示A b与函数的最大值ymax,最小值ymin关系如下:(1)ymax=A+b,ymin= 一A+b;ymax一yminymax+yminA=2，b=2I课前預习自乞学习积淀基铀数和余弦函数模型来解决；(

3、3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析.【预习评价】求下列函数的周期y=Acos(ox+$ )(丰0)的周期是课堂互动题型剖析.可动探究题的最优秀的数学模型.利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下:(1)y=Asin(ox+$ )(丰0)的周期是2题型一已知解析式求周期最值【例 1】 交流电的电压日单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E=作出它的图像；(2) 单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？(3) 单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米?(4) 单摆来回摆动一次需要多少时间？Vi-* 7解图略.(2)当t= 0 时，.n1s= 6sin = 6X

4、门=3，即62单摆开始摆动时，离开平衡位置3 cm.(3)s= 6sin i2nt+n的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 cm.(4)s= 6sin i2nt+ nn的周期为1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是1 s.题型二已知模型求解析式【例 2】 如图所示，表示电流I与时间t的关系式：1=Asin(31+n)(A0,30)在开始时电压;电压值重复出现一次的时间间隔;电压的最大值和第一次获得最大值的时解当t= 0 时，E= 110 3(V).即开始时的电压为 110 3 V.2n1一(2)T= (s)，即时间间隔为 0.02 s.100n50电压的最大值为 220 3 V.当

5、 100nt+n=n，即卩t=1-s 时第一次取得最大值.62300规律方法 由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键.【训练 1】 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s= 6sin 2nt+壬，求:220 3sin 100nt+青3一个周期内的图像根据图像写出I=Asin(3t+0)的解析式.4解由图像可知A= 300,1n100n( 300)+ $ =0即，I= 300sin规律方法将实际问题的“条件”与函数模型“y=Asin(3x+$ )

6、 +B”中A3, $ ,B的意义对照，转化为数学问题是解决应用题的关键.【训练 2】 如下图所示，是一弹簧振子作简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式为 _2n血inOOJvj.a战5 /Xp/ | / X. |i /解析设该振子振动的函数解析式为y=Asin(3x+ $ )，由图可知，该振子作简谐运动的图像的平衡位置是t轴，振幅A为 2,2n5n周期T= 2X(0.5 0.1) = 0.8，所以3-=,0.8 2则y= 2sin将点(Og 代入，得$弋.故该振子振动的函数解析式为答案y= 2sin i 竽x+寸【例 3】 据市场调查，某种商品一年中

7、 12 个月的价格与月份的关系可以近似地用函数f(x)2nT100n.又t=-顽时，y= 2sin5n nTx+,典例迁移题型三三角函数模型在实际生活 中的应用又T= 2丄L丄300丿厂50，5I nn 1 f (x)=2sin i 4X +7,把x= 10 代入得y= 7 +2衣8.4 万元.答案 D【迁移 1】 例 3 改为问：在一年内商品价格不低于 8 万元的时间持续多长?解 由f(x)= 2sini4-x 4 + 78易知有 5 个月的时间满足条件.【迁移 2】 例 3 中当价格低于 7 万元时销量大增，需要安排加班生产，问何时应该开始加 班？何时加班结束?n%解 由 2sin i/X

8、 + 7V7 得 5vxv9,所以应该在 5 月份开始加班，直到9 月份加班结束.规律方法三角函数的应用在生产生活中的求解框图渎谅商遍 T-伺1.一根长Icm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移7 澜如1膜型的邮f 解折走打 L(图傑)J=Asin(3x+ $ ) + 7A 0,30,| $ Iv来表示(x为月份)，已知 3 月份达到最咼价 9万元，7 月份价格最低，为 5 万元，则国庆节期间的价格约为(A. 4.2 万元B. 5.6 万元C. 7 万元D. 8.4 万元解析由题知A=2,T=2X(73)=8,s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s= 3cos,

9、其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长lA：nB.g2ng4n2解析2课堂反馈课堂达标问越鮮彖6答案 D72.函数f(X)的部分图像如图所示，贝 Uf(X)的解析式可以是()n解析 观察图像知，函数为奇函数，排除D;又函数在x= 0 处有定义，排除 B;令，fi 2 = 0，A 不合适，故选 C.答案 C3.如图所示，一个单摆以0A为始边，0B为终边的角0( n V B V n)与时间t(s)满足函数关系式 0 = 2sin 2t+ -2 j,则当t= 0 时，角 0 的大小及单摆频率是 _.AAA解析t= 0 时，0=sin=;,由函数解析式知单摆周期T=n，频率为一.222

10、2n1答案 一n4 .某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos 恃x 61(x= 1,2,3，12,A0)来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为28C,12 月份的月平均气温最低，为18C,则 10 月份的平均气温值为 _C.a+A= 28,a= 23,解析由题意得|aA= 18,|A= 5,D. f(x) =xC. f(x) =XCOSX8答案 20.5当x= 10 时，y= 23+ 5X1= 20.5.y= 23+ 5cos95如图所示，一个摩天轮半径为10 m,轮子的底部在地面上 2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每 30s 转一圈，且当摩

11、天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式;(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.(1)设在ts 时，摩天轮上某人在高hm 处.这时此人所转过的角为n时，此人相对于地面的高度为h= 10sint+ 12(t0).152n n30t= 15t，故在Cj,n/口n1 n525由 10sin + 12 17,得 sin，则 2 三tw2 .故此人有 10 s 相对于地面的高度不小于17 m.1三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的

12、应用.2.三角函数模型构建的步骤：(1) 收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.(2) 制作散点图，选择函数模型进行拟合.(3) 利用三角函数模型解决实际问题.(4) 根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验I课后库业I亠亠基础过关1如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,A 甲C.丙强化训绻，巩固提升1经过？周期后，乙的位置将移解析 该题目考察了最值与周期间的关系；相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半10个周期，选 C.答案 C解析由图像知A= 10,2n3= = 100n,二I= 10sin(100nt+ $ ).1(300, 10)为五点中的第二个点，n.

13、$ = ,I= 1Osin(1OO6 1当t=而秒时，丨=5 安.答案 A 3.若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5 天（下图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图）.则月球绕地球一周所用的时间T为（解析 由题图知，地球从 日到E2用时 29.5 天，月球从月、地、日一条线重新回到月、地、2.电流强度1（安）随时间t（秒）变化的函数nI=Asin(3t+ $ )(A0,3O,O $ -)的图像1如图所示，则当t=硕秒时,A. 5 安C. 5 3 安100n1nx300+ $ =亍nt+方),A. 2

14、4.5 天C. 28.5 天11日一条线，完成一个周期.答案 B4.函数y= 2sin 假+夕的最小正周期在誇,3丿 2”丄 l6n2 6n3解析- 丁=布，又3百4,8nm9n，且m Z, mi= 26,27,28.答案 26,27,28(2) 写出这段曲线的函数解析式.解(1)最大用电量为 50 万 kW- h,最小用电量为 30 万 kW- h.观察图像可知从 814 时的图像是y=Asin(wx+ $ ) +b的半个周期的图像, A=2x(5030)=10,b=2x(50+30)=40.12nnT尹=148, w =石2w6(n)y=10sin i 尹+$ +40.将x= 8,y= 3

15、0 代入上式, 又T0$ 牙，二解得$=n.2 63内，则正整数m的值是5.某时钟的秒针端点A到中心点0的距离为时，点A与钟面上标有12 的点B重合,5 cm ,秒针均匀地绕点O旋转，当时间t= 0B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，贝 Ud，其中t 0,60.解析将解析式可写为d=Asin(wt+$ )的形式，由题意易知A= 10,当t= 0 时，d= 0,得$= 0 ;当t= 30 时，d= 10,可得w=2，所以d= 10sint.6060答案 10sin 目606.如图所示，某地夏天从814 时的用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(wx+ $)+nb(0$0,由周期为 12

16、 分钟可知，当t= 6 时，摩天n轮第 1 次到达最咼点，即此函数第 1 次取得最大值，所以 63= n,即3 =.6冗所以y= 40.5 40cos t （t 0）.n设转第 1 圈时，第to分钟时距地面 60.5 米，由 60.5 = 40.5 40cos 10，得ArAcos-6t0= 2，所以亍0= 2 扌或青t0= 4 扌，解得t0= 4 或t0= 8.所以t= 8（分钟）时，第 2 次距地面 60.5 米，故第 4 次距离地面 60.5 米时，用了 12+ 8 = 20（分 钟）.能力提升&车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车

17、流量由函数Rt） = 50 + 4sin 2（其中。三t0),f(n=f(n)，且f(x)在区间(n,n上有最小值,无最大值，则on n解析 依题意，x= 2=4 时，y有最小值,n. n .si1412已知某海滨浴场海浪的高度y（米）是时间t（0 1 时才可对冲浪者开放,nn nn- COSt0,. 2kn=t2kn + = ,kZ,62 62即 12k 3t12k+ 3,k 乙 0Wtw24,故可令中k分别为 0,1,2 ,得 0Wt3 或 9t15 或 21tw24.在规定时间上午 8 : 00 至晚上 20 : 00 之间，有 6 个小时时间可供冲浪者运动，即上午 9 :00 至下午 3 : 00.13.（选做题）如图，一个水轮的半径为4 m,水轮圆心0距离水面 2 m,已知水轮每分钟转nn-T3+亏14-3= 8k+ （k Z） ,n n因为f（x）在