2020初中数学压轴题型之一：三条弦之间的数量关系(适合各版本)

1、证明三条线段之间的数量关系，是初二及初三数学的考试热点，也是学习中 的重难点。有些同学在学习该版块时，苦于找不到线段之间的数量关系，导致对 数学学习的信心大减。下面，用几种方法从三个方面分析，三条线段之间的数量关系究竟怎么解答！例题、(1)已知，如图,在ABC 中，BAC=90°,AB=AC,直线 m 经 过点 A,BD 直线 m,CE直线 m,垂足分别为点 D,E, 求证：DE=BD+CE;(2)如图,将(1)中的条件改为在ABC 中，AB=AC,D,A,E 三点都 在直线 m 上， 并且有BDA=AEC=BAC=,其中 为任意钝角， 请问结论 DE=BD+CE 是否 成立？若成立

2、，请你给出证明：若不成立， 请说明理由.证明：(1)因为 BD直线 m,CE直线 m, 所以BDA=CEA=90°,因为BAC=90°,所以BAD+CAE=90°,因为BAD+ABD=90°,所以CAE=ABD,因为在ADB 和CEA 中：ABD=CAE，BDA=CEA，AB=AC所以ADBCEA(AAS), 所以 AE=BD,AD=CE, 所以 DE=AE+AD=BD+CE.(2)成立.理由如下：因为BDA=BAC=,所以DBA+BAD=BAD+CAE=180°-,所以CAE=ABD,因为在ADB 和CEA 中，ABD=CAE，BDA=CEA

3、，AB=AC所以ADBCEA(AAS), 所以 AE=BD,AD=CE,所以 DE=AE+AD=BD+CE.方法二、等面积法例题、已知在ABC 中，AB=AC，D 是 BC 边上任意一点，过点 D 分别向 AB，AC 引垂线，垂足分别为 E，F（1） 如图 1，当点 D 在边 BC 的什么位置时，DE=DF？并给出证明；（2） 如图 2，过点 C 作 AB 边上的高 CG，垂足为 G，试猜想线段 DE，DF，CG 的 长度之间存在怎样的数量关系？并给出证明【解答】解：（1）当点 D 在 BC 的中点上时，DE=DF， 证明：D 为 BC 中点，BD=CD，AB=AC，B=C，DEAB，DFAC

4、，DEB=DFC=90°，在BED 和CFD 中，B=C，DEB=DFC，BD=CD，BEDCFD（AAS），DE=DF（2）CG=DE+DF证明：连接 AD，S 三角形 ABC=S 三角形 ADB+S 三角形 ADC， 0.5AB×CG=0.5AB×DE+0.5AC×DF，AB=AC，CG=DE+DF方法三、截长补短法：构造全等三角形例、已知ABC 和DEF 为等腰三角形，AB=AC，DE=DF，BAC=EDF，点 E 在 AB 上，点 F 在射线 AC 上。(1) 如图 1，若BAC=60°，点 F 与点 C 重合，求证：AF=AE+AD；

5、(2) 如图 2，若 AD=AB，求证：AF=AE+BC。(提示：在 FA 上截取 FM=AE，连接 DM)证明：(1)BAC=EDF=60°，ABC、DEF 为等边三角形，BCE+ACE=DCA+ECA=60°，在BCE 和ACD 中 BC=AC，BCE=ACD，CE=CD BCEACE(SAS)，AD=BE，AE+A=AE+BE=AB=AF：(2)在 FA 上截取 FM=AE，连接 DM，BAC=EDF，AED=MFD，在AED 和MFD 中 AE=MF，AED=MFD，ED=DF， AEDMFD(SAS)，DA=DM=AB=AC，ADE=MDF，ADE+EDM=MDF+EDM，即ADM=EDF=BAC，在ABC 和DAM 中，AB=DA，BAC=ADM，AC=DM，ABCDAM(SAS)，AM=BC，AE+BC=FM+AM=AF即 AF=AE+BC巩固练习如图 1，在ABC 中，ACB 是直角，B60°，AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F。(1) 直接写出AFC 的度数(2) 请你判断并