现代控制工程第二线性系统的状态空间描述

1、第二章 状态空间分析法 2.1 2.1 状态空间描述的基本概念状态空间描述的基本概念 2.2 2.2 线性定常连续系统动态方程的建立线性定常连续系统动态方程的建立 2.3 2.3 线性定常连续系统状态空间表达式线性定常连续系统状态空间表达式的线性变换及其标准型的解的线性变换及其标准型的解 2.4 2.4 动态方程与传递函数矩阵动态方程与传递函数矩阵n系统的状态，是指系统的过去、现在和将来的状况。（如：一个质点作直线运动，它的状态就是它每个时刻的位置和速度）一、状态2.1 2.1 状态空间描述的基本概念状态空间描述的基本概念二、状态变量二、状态变量 状态变量指描述系统运动的一组独立（数目最少的）

2、变量。当系统能用最少的n个变量完全确定系统状态时，则称这个变量为系统的状态变量状态变量。状态变量选取的特点： 状态变量的选取具有非唯一性非唯一性；即可用某一组， 也可用另一组数目最少的变量。状态变量个数的选取具有唯一性唯一性；三、状态向量三、状态向量 设一个系统有n个状态变量，即x1(t)，x2(t)，xn(t)，用这n个状态变量作为分量构成的向量x(t)称为该系统的状态向量状态向量。记为 1Tntxtxtx， ，x1(t)x2(t)x3(t)xn(t)四、四、 状态空间状态空间 以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间称状态空间。系统在任一时刻的状态由状态空间中一点表示，例如二阶系统的状态可

3、由 轴、 轴组成的状态平面（即相平面）中一点表示；三阶系统的状态可由 轴、 轴、 轴组成的三维状态空间中一点来表示；n阶系统的状态则由轴 ， 轴组成的n维状态空间中一点来表示。 初始时刻 的状态 在状态空间中为一初始点；随着时间推移，系统状态在变化，便在状态空间中描绘出一条轨迹，称状态轨迹。1x2x3x1x2x1xnx0t 0txn由n个状态变量作为坐标轴所构成的n维空间，称为状态空间。引入了状态和状态空间的概念之后，就可以建立动力学系统的状态空间描述了。图2-1 动力学系统结构示意图五、状态方程五、状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量关系的数学表达式称为状态方程。状态方程一阶微分

4、方程或差分方程。状态方程是状态空间分析法的基本数学方程。故系统的状态方程具有非唯一性。 n例：设单单输入线性定常系统(LTI-Linear Time Invariant )的状态变量为x1(t)，x2 (t)，xn (t)，输入为u(t),则一般形式的状态方程为： 111 112211221 1222221 1122nnnnnnnnnnnx ta x ta x ta x tbux ta x ta x ta x tbux ta x tax ta x tb u(2-1) 方程（21）可写成向量矩阵形式： ttu txAxb12nxxxx12nxxxx111212122212nnnnnnaaaaaa

5、aaaA12nbbbb式中 （2-2）其中A为系统矩阵，表示系内部状态的联系。多多输入（含p个输入变量）线性定常连续系统的状态方程一般表达式为： 111 1111 11221 1221 121 11 1nnppnnppnnnnnnnppx ta x ta xtb ub uxta x ta xtb ub uxta x ta xtb ub u(2-3)方程(2-3)的向量矩阵形式为： ttxAxbu(2-4)式中u为p维列向量，B为 输入矩阵，或称控制系数矩阵，有：np111212122212nnnnnaaaaaaaaaA111212122212ppnnnpbbbbbbbbbB 12nx txtt

6、xtx12puuuu六六、输出方程输出方程在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量、输入量之间的函数关系式，称为系统的输出方程输出方程。例：单单输出线性定常系统 1 122nny tc x tc xtc xtdu t(2-5)式中常系数 与系统特性有关。可写成向量矩阵形式： 1nccd， ，； ( )y ttdu tcx其中 ，d为直接联系输入量、输出量的前向传递（前馈）系数，又称前馈系数。 12ncccc， ，多多输入多输出（含q个输出变量）线性定常连续系统的输出方程一般表达形式为：111 1111 111 11 1nnppqqqnnqqppyc xc xd ud uyc xc xd ud

7、u(2-7)其向量矩阵形式为：yCxDu(2-8)12qyyyy1112112122212nqqqncccccccccC1112121222111ppqqqpdddddddddD12uuupu七七、状态空间表达式、状态空间表达式状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程。它是对系统的一种完全的描述。例：SISO系统状态空间表达式： MIMO系统状态空间表达式： ducxybuAxxDuCxyBuAxx由于A、B、C、D矩阵完整地表征了系统的动态特性，所以有时把一个确定的系统简称为系统（A，B，C，D）。 u 单输入单输出系统单输入单输出系统动态方程一般形式为式中 为 维状态向量

8、，u与y为标量，A为n阶方阵，b为 向量，c为 向量，d为标量。xnnp(1)nu yduxAx bcx，（2-9）u多输入多输出系统多输入多输出系统动态方程一般形式为xAxBuyCxDu，（2-10）式中x为 向量，u为 向量，y为 向量，A为n阶方阵，B为 矩阵，C为 矩阵，D为 矩阵。由于 完整地表征了系统动态特性，故有时把一个指定的系统简称为系统 。1n(1)p1qnpqpqnABCD、 、 、ABCD、 、 、系统矩阵系统矩阵A：表示系统内部各状态变量之间的关联情况。输入矩阵输入矩阵（或控制矩阵控制矩阵）B：表示输入对每个状态变量的作用情况。输出矩阵输出矩阵C：表示输出与每个状态变量

9、之间的组成关系。前馈矩阵前馈矩阵D：表示输入对输出的直接传递关系。一般控制系统中，通常情况D=0。八八、状态空间分析法、状态空间分析法在状态空间中以状态向量或状态变量描述系统的方法，称为状态空间分析法或状态变量法。状态空间表达式： 的结构图如下：DuCxyBuAxx图22 系统动态方程的方块图结构状态空间分析法具有下列优越之处：便于在数字计算机上求解；容易考虑初始条件；能了解并利用处于系统内部的状态信息；数学描述简化；适于描述多输入多输出、时变、非线性、随机、离散等各类系统，是最优控制、最优估计、辨识、自适应控制等现代控制系统的基本描述方法。倒立摆控制系统航天器控制系统机器人控制系统导弹控制系

10、统2-2 2-2 线性系统状态空间表达式线性系统状态空间表达式的建立的建立线性系统状态空间表达式的一般形式：连续系统：用线性微分方程来描述DuCxyBuAxx离散系统：用差分方程来描述)()()()()() 1(kDukCxkYkHukGxkx一、状态空间表达式的模拟结构图一、状态空间表达式的模拟结构图在状态空间分析中，采用模拟计算机的模拟结构图来表示各状态变量之间的信息传递关系，这对于建立系统的状态空间表达式很有帮助。状态空间表达式的模拟结构图有三种基本符号：（1）积分器 xx xx xxs1 xx 或 或 或（2）加法器1x213xxx2x（3）比例器xkkx例例2.2.12.2.1已知系

11、统动态方程如下，试画出系统结构图。uxxxxxxxx3213322123621xxy其中解：写成向量矩阵形式cxybuAxx其中236100010A100b011c系统结构图（或状态变量图）如下：u3x3x2x2x1x1xys1s1s1263系统结构图（用基本单元来模拟动态方程）二、状态空间表达式的的建立二、状态空间表达式的的建立u由控制系统结构图建立u有实际系统通过物理定律建立u由微分方程建立u由传递函数建立要将系统结构图模型转化为状态空间表达式，一般可以由下列三个步骤组成：1 1、由控制系统的结构图求系统动态方程、由控制系统的结构图求系统动态方程 第一步：第一步：在系统结构图的基础上，将各

12、环节通过等效变换等效变换分解分解。整个系统由标准积分器（1/s）、比例器（k）及加法器通过串联、并联和反馈三种形式组成。 第二步：第二步：将的结构图中的每个标准积分器（1/s）的输出作为一个独立的状态变量状态变量xi，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dxi/dt。 第三步：第三步：根据调整过的结构图中各信号的关系，写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程状态方程。根据需要指定输出变量，从结构图写出系统的输出方程输出方程。例例2.2.32.2.3求如图所示系统的动态方程。（a）系统方块图21ss31s64812 ss)(ty)(tu（b）第一次等效变换)(tu21s31s)8(

13、1ss64)(ty（c）由标准积分器组成的等效方块图)(tus1s1s1s14x3x1x)(ty86432解：第一步第一步：化简方框图，使得整个系统只有标准积分器（1/s）、比例器（k）及加法器组成。 第二步：第二步：将上述调整过的结构图中的每个标准积分器（1/s）的输出作为一个独立的状态变量xi，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dxi/dt。 第三步：第三步：写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。由图(c)可得系统状态方程：uxxuxxxuxxxuxxxxxxxxxx4114443114333122112233648由图可知：系统输出写成矢量形式，得到系统动态方程：1x

14、y 2. 物理系统动态方程的建立物理系统动态方程的建立实际物理系统动态方程的建立的原则：根据所含元件遵循的物理或其他定律，列写其微分方程；选择可以量测的物理量作为状态变量。例2-1 设机械位移系统如图2-1所示。力F及阻尼器汽缸速度v为两种外作用，给定输出量为质量块的位移x及其速度 、加速度 。图中m、k、f分别为质量、弹簧刚度、阻尼系数。试求该双输入-三输出系统的动态方程。x x 图21 双输入-三输出机 械位移系统点击观看（1）机械系统（）机械系统（mck）解解 据牛顿力学，故有显见为二阶系统，若已知质量块的初始位移及初始速度，该微分方程在输入作用下的解便唯一确定，故选 和 作为状态变量。

15、设 ，三个输出量为 ，可由微分方程导出下列动态方程： mxfxvkxFxx 12xxxx ，123yx yx yx，12221112232111xxxxfxvkxFmyxyxyfxvkxFm其向量-矩阵形式为xAxBuyCxDu，式中1201001xFkffxvmmmmxuAB123100001001yyykffmmmmyCD状态变量图状态变量图 将状态方程中的每个一阶微分方程用图解来表示，即每个一阶微分方程的右端诸项之和，构成了状态变量的导数，经积分可得该状态变量，最终按照系统中各状态变量的关系连接成封闭的图形，便是状态变量图。 它便于在模拟计算机上进行仿真，是向量-矩阵形式状态方程的展开图

16、形，揭示了系统的详细的内部结构。 状态变量图中仅含积分器、加法器、比例器三种元件及一些连接线。积分器的输出均为状态变量。输出量可根据输出方程在状态变量图中形成和引出。例2-1的状态变量图见图2-3，图中 为拉普拉斯算子。 s图2-3 状态变量图2 2、根据物理定律建立实际系统的动态方程、根据物理定律建立实际系统的动态方程一般控制系统可分为电气、机械、机电、液压、热力等等。要研究它们，一般先要建立其运动的数学模型（微分方程(组)、传递函数、动态方程等）。根据具体系统结构及其研究目的，选择一定的物理量作为系统的状态变量和输出变量，并利用各种物理定律，如牛顿定律、基尔霍夫电压电流定律、能量守恒定律等

17、，即可建立系统的动态方程模型。例例2.2.32.2.3RLC电路如图所示. 系统的控制输入量为u(t)，系统输出为 建立系统的动态方程。)(0tu)(tu)(tucCLRi解：该RLC电路有两个独立的储能元件L和C，设回路电流为 ，根据基尔霍夫电压定律和R、L、C元件的电压电流关系，可得到下列方程：1）我们可以取流过电感L的电流 和电容C两端电压 作为系统的两个状态变量，分别记作 和 。)()()(1)(tutRidttiCdttdiLdttiCtuc)(1)()(ti)(tuctx 1)(2tux 121211xCdtdxuRxxdtdxL整理得12211111xCxuLxLxLRx2xy

18、写成向量矩阵形式为：2121211001011xxyuLxxCLLRxx2）设状态变量idtxix21,121211xdtdxuRxxCdtdxL1221111xxuLxLCxLRx整理得：写成向量矩阵形式为：2121211001011xxCyuLxxLCLRxx21xCuyc注意：选取不同的状态变量，便会有不同的状态空注意：选取不同的状态变量，便会有不同的状态空间表达式，并且各状态空间表达式之间存在着某种间表达式，并且各状态空间表达式之间存在着某种线性关系。线性关系。udxcyubxAxcccc1,25,10,4310ccccdcbA1,10,25,41300000dbccbAATcTcTc

19、34521)(2ssssG解：（1）可控标准型状态空间表达式为：其中：（2）可观测标准型状态空间表达式为：其中：例例2.2.72.2.7已知系统传递函数为 ，试求状态空间表达式。3486)(22sssssGudxcyubxAx0000 1xq tidt 2xi t方法方法1：选取选取 和和 为状态变量为状态变量则则112201011xxuRxxLCLL1201xix1221211xxRxxxuLCLL 即：即：i=x2 1diRiLi tudtC2. L-R-C电路电路方法方法2：选取选取 为状态变量为状态变量则则1201xix即：即：i=x2 121cxeidtcxi122121111xix

20、ccdiRxxxudtLLL 112210011xxCuxxRLLL方法方法3：选取选取 为状态变量为状态变量则则即：即：12xLiR idtxidt1221211dixLRixudtCRxixxLL 112210011xxCuxxRLL 121xRixLL 小小 结结n（1）同一系统，虽然描述其动态过程的微分方）同一系统，虽然描述其动态过程的微分方程唯一，但状态变量的选取不是唯一的，这也就程唯一，但状态变量的选取不是唯一的，这也就是说，是说，状态变量的选取具有非唯一性状态变量的选取具有非唯一性。但对一个。但对一个具体系统而言，不论如何选取，状态变量的个数具体系统而言，不论如何选取，状态变量的个数总是相同的