一次函数与几何图形综合专业题材

1、.一次函数与几何图形综合 专题思想方法小结：（1）函数方法.函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问 题的方法.函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题.（2）数形结合法.数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关 的问题时，能起到事半功倍的作用.知识规律小结：（1）常数k, b对直线y=kx+b（k，0）位置的影响.当b>0时，直线与y轴的正半轴相交；当b=0时，直线经过原点；当b<0时，直线与y轴的负半轴相交.当k, b异号时，即-b >0

2、时，直线与x轴正半轴相交；k当b=0时，即-2 =0时，直线经过原点；k当k, b同号时，即-b <0时，直线与x轴负半轴相交.k当k>O, b>O时，图象经过第一、二、三象限；当k>0, b=0时，图象经过第一、三象限；当b>O, b< O时，图象经过第一、三、四象限；当k<O, b>0时，图象经过第一、二、四象限；当k<O, b=0时，图象经过第二、四象限；当b<O, b< O时，图象经过第二、三、四象限.（2）直线y=kx+b （k，0）与直线y=kx（k，0）的位置关系.直线y=kx+b（k丰0）平行于直线y=kx（k丰

3、0）当b>0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线 y=kx+b；当b<O时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线 y=kx+b .（3）直线 bi=kix+bi与直线 y2=%x+b2 （ki，0 , k2，0）的位置关系.kiikzyi与y2相交；ki k2yi与y2相交于y轴上同一点（0, bi）或（0, bz）;bi b2ki k2，yi与y2平行；bi b2ki k2，yi与y2重合.bi b2例题精讲:i、直线y=-2x+2与x轴、y轴交于 A B两点，C在y轴的负半轴上，且 OC=OB(2)在OA的延长线上任取一点 P,作PQ! BP,交直线AC于Q,试

4、探究BP与PQ的数量关系，并证明你的结论。(3)在(2)的前提下，作 PMLAC于M,BP交AC于N,下面两个结论：(MQ+AC)/PM的值不变；(MQ-AC)/PM的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明第2题图OQ过A、B两点分别作 AML OQT M,2.如图所示，直线 l： y mx 5m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于 A b两点(1)当OA=OB寸，试确定直线L的解析式;第2题图(2)在(1)的条件下，如图所示，设 Q为AB延长线上一点，作直线BN± OQT N,若 AM=4 BN=3 求 MN的长。(3)当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以 OB A

5、B为边，点B为直角顶点在第一、二象 限内作等腰直角 OBFO等腰直角 ABE连EF交y轴于P点，如图。问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想 PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由考点：一次函数综合题；直角三角形全等的判定.专题：代数几何综合题.分析：(1)是求直线解析式的运用，会把点的坐标转化为线段的长度；(2)由OA=OB得到启发，证明： AMOAONB ,用对应线段相等求长度；(3)通过两次全等，寻找相等线段，并进行转化，求 PB的长.解答：解：(1) .,直线 L： y=mx+5m，: A (-5, 0) , B (0, 5m),由 OA=OB 得 5m=5 , m=1

6、 , ;直线解析式为：y=x+5 .(2)在匕 AMO 和 OBN 中 OA=OB , / OAM= / BON , / AMO= / BNO ,： AMOONB . AM=ON=4 , ： BN=OM=3 .(3)如图，作 EKy 轴于 K 点.先证 ABO 口BEK, : OA=BK , EK=OB .再证 PBF 口 PKE ,PK=PB . PB= BK= OA=. 222点评：本题重点考查了直角坐标系里的全等关系，充分运用坐标系里的垂直关系证明全等，本题也涉及一次函数图象的实际应用问题.3、如图，直线I与x轴、y轴分别交于A B两点，直线l2与直线li关于x轴对称，已知直线I1的解析

7、式为y x 3,(1)求直线|2的解析式；(3分)(2)过A点在 ABC的外部作一条直线|3 ,过点B作BE1 |3于E,过点C作CF, I3于F分别，请画出图形并求证：BE+ CF= EF(3) ABM y轴向下平移，AB边交x轴于点P,过P点的直线与 AC边的延长线相交于点 Q,与y轴相交与 点M且BP= CQ在 ABC平移的过程中，OM定值；MC为定值。在这两个结论中，有且只有一个是正 确的，请找出正确的结论，并求出其值。(6分)考点：轴对称的性质；全等三角形的判定与性质.分析：(1)根据题意先求直线11与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再根据轴对称的性质求直线12的上点C的坐标，用待定系

8、数法求直线 12的解析式；(2)根据题意结合轴对称的性质，先证明BEAAAFC ,再根据全等三角形的性质，结合图形证明BE+CF=EF ;(3)首先过Q点作QH ±y轴于H ,证明 QCH 9A PBO ,然后根据全等三角形的性质和 QHM 9A pom ,从而得HM=OM ,根据线段的和差进行计算 OM的值.解答：解：(1) ;直线11与x轴、y轴分别交于A、B两点, (-3, 0) , B (0, 3),线12与直线11关于X轴对称，(0,-3)线12的解析式为：y=-x-3 ；如图1.BE+CF=EF .线12与直线11关于X轴对称，AB=BC , / EBA= / FAC ,

9、±13, CF ±13BEA= / AFC=90°BEAAFCBE=AF , EA=FC , BE+CF=AF+EA=EF ;对，OM=3点作QH，y轴于H,直线12与直线11关于x轴对称POB=/QHC=90 , BP=CQ ,AB=AC ,ABO= /ACB= /HCQ ,则QCH/PBO (AAS),QH=PO=OB=CHAQHMA POMHM=OMOM=BC- ( OB+CM ) =BC- ( CH+CM ) =BC-OMOM= 1BC=3 .2点评：轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分, 对称轴上的任何

10、一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等.(1)求直线AB的解析式；若点M为直线y=mx上一点，且a ABM以AB为底的等腰直角三角形，求 m值;(3)过A点的直线了 = 人七- 2上交y轴于负半轴于P, N点的横坐标为-1 ,过N点的直线 22交AP于点M试证明 . 的值为定值.考点：一次函数综合题；二次根式的性质与化简；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.专题：计算题.分析：(1)求出a、b的值得到A、B的坐标，设直线 AB的解析式是y=kx+b ,代入得到方程组，求出即可；(2)当BM ± BA,且BM=

11、BA时，过 M作MNL 丫轴于N,证BMN/ABO (AAS),求出 M的坐标即可；当AM ± BA,且AM=BA 时，过M作MNLX轴于N,同法求出 M的坐标；当AM，BM ,且AM=BM 时，过 M作MN，X轴于N, MH ±Y轴于H ,证 BHMAMN ,求出 M的坐标即可.(3)设NM与x轴的交点为H,分别过M、H作x轴的垂线垂足为 G, HD交MP于D点，求出H、G的坐标，证 AMGADH, A AMG ADH DPC NPC ,推出 PN=PD=AD=AM 代入即可求出答案.解答：解：(1)要使b=(原一三口有意义，必须(a-2) 2=0, Jb-4=0,a=2

12、, b=4 , A (2, 0) , B (0, 4),设直线AB的解析式是y=kx+b ,代入得：0=2k+b , 4=b ,解得：k=-2 , b=4, :函数解析式为：y=-2x+4 ,答：直线AB的解析式是y=-2x+4 .(2)如图2 ,分三种情况：如图(1)当BM LBA,且BM=BA 时，过 M作MN ±Y轴于N ,ABMNABO (AAS),MN=OB=4 , BN=OA=2 ,ON=2+4=6 ,M的坐标为(4,6 ), 3代入y=mx得：m=,2如图(2)当AM LBA,且AM=BA 时，过 M作MN XX轴于N , BOA/ ANM (AAS ),同理求出 M，

13、1的坐标为(6, 2) , m=一,3当AM XBM ,且AM=BM 时，过 M作MN XX轴于N , MH ±Y轴于H ,则4 BHM/ AMN ,MN=MH ,设 M (x, x)代入 y=mx 得：x=mx , (2):m=1 ,答：m的值是3或1或1.23(3)解：如图3,结论2是正确的且定值为 2,设NM与x轴的交点为H ,分别过M、H作x轴的垂线垂足为 G, HD交MP于D点，由丫=旦W"与*轴交于H点，22 H (1, 0),由y=区x-"与y=kx-2k交于M点,22M (3, K),而 A (2, 0),二.A为HG的中点， A AMG ADH

14、(ASA),又因为N点的横坐标为-1,且在y=kx-k上，2 2:可得N的纵坐标为-K,同理P的纵坐标为-2K, ND平行于x轴且N、D的横坐标分别为-1、1N与D关于y轴对称， AMG ADH DPC NPC ,PN=PD=AD=AM ,PM -PN=2 .AM点评：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的 解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和B两点，过点B的直线计算是解此题的关键.5.如图，直线 AB y=-x-b分别与x、y轴交于A (6, 0)交x轴负半轴于C,且OB OC3： 1

15、。(1)求直线BC的解析式：(2)直线EF:y=kx-k (k，。)交AB于E交BC于点F,交x轴于D是否存在这样的直线EF,使得SEB=SaFBD?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由？(3)如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角4 BPQ 连接QA并延长交y轴于点K,当P点运动时，K点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变 化，请说明理由。考点：一次函数综合题；一次函数的定义；正比例函数的图象；待定系数法求一次函数解析式.专题：计算题.k的值，用三角形全等的相等关系求出点的坐标.分析：代入点的坐标求出解析式 y=3x+6 ,利用坐标相

16、等求出 解答：解：(1)由已知：0=-6-b ,:b=-6 ,AB : y=-x+6 .B (0, 6)OB=6 OB: OC=3 : 1,OC= OB =2,3C (-2, 0)设 BC 的解析式是 Y=ax+c ,代入得；6=0?a+c, 0=-2a+c ,解得：a=3, c=6 , : BC : y=3x+6 .直线BC的解析式是：y=3x+6 ;(2)过 E、F 分另I作 EMx 轴，FNx 轴，则/ EMD= / FND=90 . Saebd=Safbd, DE=DF ,又二( NDF= / EDM联立 y=kx-k, y=-x+65k 一得 yE=, 联立 y=kx-k , y=3

17、x+6k 1/日 9k得 yF=k-3FN=-y f, ME=y e,.5k -9k -=k 1 k-3 - kO, 5 (k-3) =-9 (k+1 ),k=3. k=一,7(3)不变化 K (0, -6).过Q作QHx轴于H ,Z BPQ=90 , PB=PQ , Z BOA= / QHA=90: NFD EDM , ; FN=ME ., BPQ是等腰直角三角形,BPO= /PQH , : BOPA HPQ ,PH=BO , OP=QH , PH+PO=BO+QH ,即 OA+AH=BO+QH ,又 OA=OB ,AH=QH , ： AHQ 是等腰直角三角形，QAH=45 , . . /

18、OAK=45 ,.AOK为等腰直角三角形，： OK=OA=6，: K (0, -6)点评：此题是一个综合运用的题，关键是正确求解析式和灵活运用解析式去解.6.如图，直线 AB交X轴负半轴于B (m, 0),交丫轴负半轴于 A (0, m) , OCL AB于C (-2,-2)11)求m的值；过G彳OB的垂线，垂足为GOB OAAOB为等腰直角三角形CBO 45CGB, CGO, OCB都是等腰直角三角形GB OG CG 2m -4(2)直线AD交OC于D,交X轴于E,过B作BF± AD于F,若OD=OE求BF的值;AEHBO FAH （同角的余角相等）OE ODOED ODEFEB

19、OED , ADCODE （对顶角相等）ADC FEBHBO CADCAD FAH在AFB和AFH中AFB AFH 90AF AF （公共边）BAFFAH （已证）AFB AFH （ASA）BF HF （全等三角形对应边相等 ）在BOH和AOE中，HBO EAO （已证）BO AO （已知）BOH AOE 90BOH AOE （ASA）BH AE （全等三角形对应边相等）BH BF BH 2BFBF BF BF 1AE BH 2BF 2（3）如图，P为x轴上B点左侧任一点，以 AP为边作等腰直角 APM其中PA=PM直线MB交y轴于Q当 P在x轴上运动时，线段 OQ长是否发生变化？若不变，求其

20、值；若变化，说明理由。解：QQ的E不龛主史优过P车扑理直于工轴交AR十N 垂足雨P 丁力心同为等强直角三角形，又为等腰苴角三角形，-.-ZNLP =对攻年把等）:ANPB是等掇豆用三角脂PH = PBy'NTA = ZNFE + /F 产 d=900+&Fj4= ZMPA +ZBPA在心ITMCABPMR?H -尸3(己由iZbTPA=Z14L'E已近)AP =(已界).：ANPA-ABPM(SAS):./？NAzin：，M=4%只=/&BO = 43”上 AFLI = I at)D-ZOBA-?RM-町 Q"5°=第r/ M X AB一过一

21、直有且只有一条直线与己知直线垂直丁上QEO二d¥ 30因为等履方角=用用7.在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图像过点B (- 1, 2),与x轴交于点A (4,0 ),与y轴交于.- 0Q = QB = 4点C,与直线y=kx交于点P,且PO=PA(2)求k的值;(3) D为PC上一点，DF，x轴于点F,交OPT点E,若DE=2EF,求D点坐标.考点：一次函数与二元一次方程(组).专题：计算题；数形结合；待定系数法.分析：(1)根据题意知，一次函数 y=ax+b的图象过点B (-1, 5)和点A (4, 0),把A、B代入求值 2即可；(2)设P (x, y),根据PO=P

22、A ,列出方程，并与y=kx组成方程组，解方程组；设点D (x, x+2),因为点E在直线y= 'x上，所以E (x, ' x) , F (x, 0),再根据等量222关系DE=2EF列方程求解.解答：解：（1）根据题意得：5=-a+b0=4a+b解方程组得：a= - , b=222.a+b=-1+2=322(2)设 P (xy）,则点P即在一次函数y=ax+b上，又在直线y=kx上，由（1）得：一次函数y=ax+b的解析式是 y=-x+2,又PO=PA ,2:x2+y2=(4-x) 2+y2y=kxy= x+2,2 1解万程组得：x=2, y=1 , k=,21k的值是-；2

23、(3)设点 D (x, - lx+2),则 E (x, - x) , F (x, 0)22DE=2EF , . - -1 x+2- 1 x=2 X1 x,解得：x=1 ,贝1J x+2=-23X1+2= 一 ，2222点评：本题要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系.8.在直角坐标系中,（1）求C的坐标；B、A分别在x, y轴上,B的坐标为(3, 0), /ABO=30° , AC平分/ OAB交x轴于C;解：ZAOB=90° /ABO=30° / OAB=30°又 AC是/ OAB的角平分线 / OAC=/

24、CAB=30° .OB=3OA= 3 OC=1即 C(1, 0)(2)若 D 为 AB 中点，/ EDF=60° ,证明：CE+CF=OC证明：取 CB中点 H,连 CD,DH - AO=4'3 CO=1 ： AC=2又丁 D,H分别是AB,CD中点DB=1 AB=V3 BC=2 2BC=2 CD=2 /CDB=6CT / EOF=/ EDC吆 CDF=60 °1;DH=2AC/ ABC=30°CD=1=DHAB=2 3/ CDB之 CDF+/FDH=60°ZEDC=Z FDH . AC=BC=2： CD, AB ADC=90 / CB

25、A=30° ： / ECD=60°HD=HB=1： / DHF=60° 在 ADCE和 DHF 中/ EDC之 FDH/DCE支 DHFDC=DH ADCE DHF(AAS). CE=HF . CH=CF+FH=CF+CE=1 OC=1： CH=OC ; OC=CE+CF(3)若D为AB上一点，以D作ADEC使DC=DE / EDC=12。,连BE,试问/ EBC的度数是否发生变化; 若不变，请求值。解：不变 /EBC=6CT 设 DB 与 CE交与点 G DC=DE ZEDC=12Cf / DEC=/ DCE=30° 在 DGC和 DCB 中/CDG=

26、/ BDCI /DCG=/ DBC=30： DGC A DCBDC DBDE DB=DC=DE =DG DCDG DE在EDG和BDE中.DE = DBd DG DE/ EBDDBE+-Z DBC=60°l / EDG=/ BDE： AEDG s BDE： / DEG=/ DBE=30° 9、如图，直线 AB交x轴正半轴于点A (a, 0),交y轴正半轴于点b (0, b),且a、b满足力04 + |4 b|=0(1)求A、B两点的坐标；(2) D为OA勺中点，连接 BD过点。作。曰BD于F,交AB于E,求证/ BDO/ EDA(3)如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以 B

27、P为边作等腰RtPBM其中P占PM直线M岐y轴于点Q,当点P在x轴上运动时，线段 OQ勺长是否发生变化？若不变,求其值；若变化，求线段OQ勺取值范等解决问题;过M作x轴的垂线，通过证明 PBO MPN得出MN=AN ,转化到等腰直角三角形中去就很好解决了.解答：解： v'a 4 +|4-b|=0;a=4 , b=4 , A (4, 0) , B (0, 4);(2)作/ AOB的角平分线，交 BD于G,Z BOG= / OAE=45 , OB=OA ,/ OBG= / AOE=90 -/ BOF ,.BOG OAE ,OG=AE . ,/GOD= /A=45 , OD=AD ,. .G

28、OD EDA .Z GDO= /ADE .(3)过M作MNx轴，垂足为N. :/ BPM=90 ,Z BPO+ / MPN=90 . :/ AOB= / MNP=90 ,Z BPO= / PMN , / PBO= / MPN .BP=MP , .PBO MPN , MN=OP , PN=AO=BO , OP=OA+AP=PN+AP=AN , MN=AN , / MAN=45 . :/ BAO=45 ,OB=OQ=4 .：无论P点怎么动 OQ的长不变.Z BAO+ / OAQ=90 : BAQ是等腰直角三角形.点评：(1)考查的是根式和绝对值的性质.(2)考查的是全等三角形的判定和性质.(3)本

29、题灵活考查的是全等三角形的判定与性质，还有特殊三角形的性质.10、如图，平面直角坐标系中，点 A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为(0,1),/ BAO30° . (1)求 AB的长度；(2)以AB为一边作等边 ABE彳OA勺垂直平分线 M岐AB的垂线ADT点D.求证：Bt=OE0(3)在(2)的条件下，连结 D段 AB于F.求证：F为DE的中点.30度角的直角三角形.考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；含 专题：计算题；证明题.分析：(1)直接运用直角三角形 30。角的性质即可.(2)连接OD,易证 ADO为等边三角形，再证 ABDAAEO即可.(

30、3)作 EHLAB 于 H,先证 ABOA AEH ,得 AO=EH ,再证 AFDEFH即可.解答：(1)解：:在 RtAABO 中，/ BAO=30 ,AB=2BO=2 ;(2)证明：连接OD ,ABE为等边三角形，AB=AE , / EAB=60 , Z BAO=30 ，作OA的垂直平分线 MN交AB的垂线AD于点D, ：/ DAO=60 .：/ EAO= / NAB又 ; DO=DA ,.ADO为等边三角形.DA=AO .在 ABD与 AEO中，AB=AE , / EAO= / NAB , DA=AO. .ABDAEO .BD=OE .(3)证明：作EH ±AB于H.AE=B

31、E , : AH= 1AB2，BO= 1 AB, AH=BO ,2在 RtAAEH 与 Rt A BAO 中，AH=BO , AE=AB RtAAEHRtABAO , ： EH=AO=AD ,又EHF= / DAF=90 ,在 HFE 与 AFD 中，/ EHF= / DAF , / EFH= / DFA , EH=AD ; HFE AFD , ; EF=DF , ： F 为 DE 的中点.点评：本题主要考查全等三角形与等边三角形的巧妙结合，来证明角相等和线段相等.11.如图，直线y= x+1分别与坐标轴交于 A、B两点，在y轴的负半轴上截取 OC=OB.3(1)求直线AC的解析式；解：: 直

32、线y=1 x+1分别与坐标轴交于 A、B两点3 可得点A坐标为(-3, 0),点B坐标为(0, 1)OC=OB可得点C坐标为(0,-1)设直线AC的解析式为y=kx+b将A (-3, 0), C (0,-1)代入解析式-3k+b=0 且 b=-1 可得 k=- , b=-13直线AC的解析式为y=1 x-1 3(2)在x轴上取一点D (-1,0),过点D做AB的垂线，垂足为E,交AC于点F,交y轴于点G,求F点的坐标；解：; GE± ABk EG k AB 1kGE = T=33'设直线GE的解析式为y=-3x+b将点D坐标(-1, 0)代入，得y=-3b 0b 3直线GE的

33、解析式为y=-3x-31 一 一X 3联立y= x-1与y=-3x-3,可求出4 ，33将其代入方程可得y= 4，33F点的坐标为(4 ,4 )AH BI(3)过点B作AC的平行线BM,过点O作直线y=kx(k>0),分别交直线 AC、BM于点H、I,试求AB的值。解：过点。作AC的平行线ON交AB于点N BM/ACOI OBOH 0c . OB=OC . OI=OH： O 为 IH 的中点 BM/ACNB = OINA OH -. OI=OH： NB=NA： N为AB中点：ON是四边形ABIH的中位线AH+BI=2ON / N是AB的中点，aob是直角三角形AB=2ON （直接三角形斜

34、边的中线等于斜边的一半）AH+BI=AB.AH BI =1AB12.如图，直线AB: y=-x-b分别与x、y轴交于A （6, 0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C,且0B:0C=3: 1.（1）求直线BC的解析式；解：（1）因为直线AB: y=-xb过点A （6, 0）.带入解析式 就可以得到b=-6即直线AB: y=-x+6,B为直线AB与y轴的交点:点 B （0, 6） OB: 0C=3: 10C=2 点 C （-2, 0）已知直线上的两点 B、Co设直线的解析式为 y=kx+m带入B、C的坐标。可以算出 k=3 ,m=6所以BC的解析式为：y=3x+6（2）直线EF: y=kx-

35、k （k，0）交AB于E,交BC于点F,交x轴于D,是否存在这样的直线 EF,使得& EBD=S"FBD?若存在,求出k的 值；若不存在，说明理由？ （2）假设 存在满足题中条件的k值 因为直线EF: y=kx-k （k，0）交x轴于点D。所以D点坐标为（1,0）在图中标出点 D,且过点D做一直线，相交与直线 AB,BC分别与点E,F然后观察 EBD和 FBD贝U SEBD= DEX hSA FBD=1 DFX h22两个三角形的高其实是一样的要使这两个三角形面积相等，只要满足DE=DF就可以了点E在直线AB上，：设点E的坐标为（p, -p+6） 丁点F在直线BC上，：设点F的坐标为（q, 3q+6） 而上面我们已经得到点 D的坐标为（1,0）点E、F又关于点D对称，所以我们就可以得到两个等式，即：（p+q）/2=1（-p+