高等数学：5-2-1第一类换元法

1、问题问题 xdx2cos,2sinCx 解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 5.2.1 第一类换元法第一类换元法5.2 基本积分法基本积分法在一般情况下：在一般情况下：设设),()(ufuF 则则.)()( CuFduuf如果如果)(xu （可微）（可微）dxxxfxdF)()()( CxFdxxxf)()()( )()(xuduuf 由此可得换元法定理由此可得换元法定理设设)(uf具有原函数，具有原函数， dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换

2、元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为.)()( dxxxf观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同.)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 1例例1 1 求求.2sin xdx解解（一）（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解解（三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 例例2 2 求求.231dxx 解解,)

3、23(23121231 xxxdxx 231dxxx)23(23121 duu 121Cu ln21.)23ln(21Cx dxbaxf)( baxuduufa)(1一般地一般地例例3 3 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121Cu ln21.ln21ln21Cx 例例4 4 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx 例例5 5 求求.122dxxa 解解dxxa 221d

4、xaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 例例6 6 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx 例例7 7 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 例例8 8 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 例例9 9 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx 123212321

5、232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 例例1010 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 例例1111 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明说明

6、 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例例1212 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 例例1313 求求解解（一）（一） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.cotcsclnCxx （使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）

7、解解（二）（二） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 类似地可推出类似地可推出.|tansec|lnsec Cxxxdx例例1414 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .|2arcsin|lnCx 解解例例1 15 设设 求求 .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,2

8、12Cuu .21)(2Cxxxf 问题问题?125 dxxx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）5.2.2 第二类换元法第二类换元法其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函数数. .证证设设 为为 的原函数的原函数,)(t )()(ttf 令令)()(xxF 则则dxdtdtdxF )()()(ttf ,)(1t 设设)(tx 是单调的、可导的函数，是单调的、可导的函数， )()()()

9、(xtdtttfdxxf 则有换元公式则有换元公式并且并且0)( t ，又设又设)()(ttf 具有原函数，具有原函数，定理定理2 2第二类积分换元公式第二类积分换元公式 CxFdxxf)()(,)(Cx )()()()(xtdtttfdxxf )(tf ).(xf 说明说明)(xF为为)(xf的原函数的原函数,例例1616 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsec1|tansec|lnCtt tax22ax 122lnCaaxax 2,2t.ln22Caxx 例例1717 求求解解).0(122 adx

10、ax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt |tansec|lntax22ax .ln22Caxx 例例1818 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 说明说明(1)(1) 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换

11、三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 说明说明(2)(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用换外还可用双曲代换双曲代换.1sinhcosh22 tttaxtaxcosh,sinh 也可以化掉根式也可以化掉根式例例 中中, 令令dxax 221taxsinh tdtadxcosh dxax 221 dttatacoshcosh CtdtCaxar sinh.l

12、n22Caaxax 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定根据被积函数的情况来定.说明说明(3)(3)例例1919 求求dxxx 251（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解例例2020 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt

13、11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx说明说明(4)(4) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换倒代换.1tx 例例2121 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解例例2222 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dxttt 22411111（分母的阶较高）（分母的阶较高）dttt 231222121dttt 2tu duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu

14、 11313.1131232Cxxxx 说明说明(5)(5) 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） lkxx,ntx n例例2323 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 基基本本积积分分表表;|cos|lntan)16( Cxxdx;|sin|lncot)17( Cxxdx;|tansec|lns

15、ec)18( Cxxxdx;|cotcsc|lncsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa ;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .|ln1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax 小结小结两类积分换元法：两类积分换元法： （一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)思考题思考题求积分求积分.)1(ln)ln(dxxxxp 思考题解答思考题解答dxxxxd)ln1()ln( dxxxxp)1(ln)ln(

16、 )ln()ln(xxdxxp 1,|ln|ln1,1)ln(1pCxxpCpxxp一、一、 填空题：填空题：1 1、 若若CxFdxxf )()(而而)(xu 则则 duuf)(_；2 2、 求求 )0(22adxax时，可作变量代换时，可作变量代换_ _，然后再求积分；，然后再求积分；3 3、 求求 dxxx211时可先令时可先令 x_；4 4、 dxx_)1(2xd ；5 5、 dxex2_ _ _ _)1(2xed ；6 6、 xdx_ _ _ _ _)ln53(xd ；练练 习习 题题7 7、 291xdx = =_ _ _ _ _)3arctan(xd；8 8、 21xxdx_ _

17、 _ _ _)1(2xd ；9 9、 dtttsin_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；1 10 0、 222xadxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二、二、 求下列不定积分：求下列不定积分： （第一类换元法）（第一类换元法）1 1、 dxxaxa； 2 2、 )ln(lnlnxxxdx；3 3、 221.1tanxxdxx； 4 4、 xxeedx；5 5、 dxxx321； 6 6、 dxxxx4sin1cossin；7 7、 dxxxxx3cossincossin； 8 8、 dxxx2491；9 9、 dxxx

18、239； 10 10、 )4(6xxdx；1111、 dxxxx)1(arctan ； 12 12、 dxxexxx)1(1；1313、 dxxx2arccos2110； 14 14、 dxxxxsincostanln. .三、三、 求下列不定积分：求下列不定积分： （第二类换元法）（第二类换元法）1 1、 21xxdx；2 2、 32)1(xdx；3 3、 xdx21；4 4、 dxxaxx2；5 5、设、设 xdxntan, ,求证：求证： 21tan11 nnnIxnI , , 并求并求 xdx5tan. .练习题答案练习题答案一一、1 1、CuF )(; ;； 2 2、taxsec 或或taxcsc ； 3 3、t1； 4 4、21； 5 5、- -2 2； 6 6、51； 7 7、31； 8 8、 ； 9 9、Ct cos2； 1 10 0、Cxaaxaxa )(arcsin22222. .二二、1 1、Cxaaxa 22arcsin； 2 2、Cx lnlnln； 3 3、Cx )1ln(cos2； 4 4、Cex arctan； 5 5、Cx 233)1(92； 6 6、C