全国高中数学联赛四川初赛试题及答案

1、2017 年全国高中联合竞赛（四川初赛）试题一、单项选择题（本大题共6 个小题，每小题5 分，共 30 分）1. 已 知 函 数2( )lnfxaxx在1x处 有 极 值 ， 则 实 数a的 值 是（ a ） a.2 b.12. 已知0,( ,), tan,tan是方程2310 xx的两个根，则cos()的值是（ b ） a.13b.23c.53d.523. 在8()xyz的 展 开 式 中 ， 所 有 形 如2( ,)abx y za bn的 项 的 系 数 之 和 是（ c ）4. 已知12,ff为椭圆222210()xyabab的左、右焦点，该椭圆上存在两点,a b，使得123f af

2、b，则该椭圆的离心率的取值范围是（ c ）a.102( ,)b.103( ,)c.112(, )d.113(, )5. 已 知abc中 ，3ab bccaab， 则|acabbc的 最 大 值 是（ b ）a.13b.23c.53d.526. 已知数列na满足：2121()() ()nnnann，用 x表示不超过实数x的最大整数，则2017a的个位数字是（ a ）二、填空题（本大题共6 个小题，每小题5 分，共 30 分）7. 已知函数25255( )xxfx，则201612017()kkf_。答案： 1008。8. 设ar， 复 数1232234,zai zai zai， 其 中i是 虚 数

3、 单 位 。 若123|,|,|zzz呈等比数列，则实数a的值是 _。答案： 0。9. 若( ,)p x y是 双 曲 线22184xy上 的 点 ， 则|xy的 最 小 值 是_。答案： 2。10. 设正方体1111abcda b c d的棱长为1，为过直线1bd的平面，则截该正方体的截面面积的取值范围是_。答案：622,。11. 已知实数123,xxx满足：22212312232xxxx xx x，则2|x的最大值是_。答案： 2。12. 设集合1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 , , , , , , , , ,m，3339(, ) |,|()ax y zx y zmxyz且，则集

4、合a中的元素的个数是 _。答案： 243。三、解答题（本大题共4 个小题，每小题20 分，共 80 分）13. 已知数列na满足：11581*,()nnnaaa anna。（1）若3a，求证：数列24nnaa成等比数列，并求出数列na的通项公式；（2）若对任意的正整数n，都有3na，求实数a的取值范围。年，美国数学家提出许多数论问题，引起国内外相关学者的关注，其中之一便是着名的 smarandache函数，正整数n的 smarandache函数定义为*()min|,|!s nm mnn m，比如223363( ),( ),( )sss。（1）求16()s和2016()s的值；（2）若7( )s n，求正整数n的最大值；（3）证明：存在无穷多个合数n，使得( )s np，其中p为n的最大质因数。15. 如图，点a与点a在x轴上，且关于y轴对称，过点a垂直于x轴的直线与抛物线22yx交于,b c，点d为线段ab上的动点，点e在线段ac上，满足|ceadcaab。（1）求证：直线de与此抛物线有且只有一个公共点；（2）设直线de与此抛物线的公共点为f，记bcf与ade的面积分别为12,s s，求12ss的值。16. 设,为实