高中数学必修5111正弦定理_公开课

1、辽宁白塔辽宁白塔千千 山山太子河太子河问题？问题？ 设设A,B两点在河的两岸两点在河的两岸, 只给你米尺和量角只给你米尺和量角设备设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗不过河你可以测出它们之间的距离吗?AB我们这一节所学习的内容就是解决这些问题我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具的有力工具.思考：思考：我们学过三角形的边角关系：我们学过三角形的边角关系： 大边对大角，小边对小角大边对大角，小边对小角. 1.我们能否得到三角形的边角中我们能否得到三角形的边角中 准确的量化关系呢？准确的量化关系呢？2.下面我们先在直角三角形来找它们的关系下面我们先在直角三角形来找它们的关系.在RtAB

2、C中,各角与其对边的关系:caA sincbB sin不难得到:CcBbAasinsinsinCBAabcccsin1.定理的推导定理的推导思考思考:对一般的三角形对一般的三角形,这个结论还能成立吗这个结论还能成立吗?cBbAasinsin1c(1) 若直角三角形,已证得结论成立.bADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC, 即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB图1过点A作ADBC于D,此时有证法(2)若三角形是锐角三角形, 如图1,(3) 若三角形是若三角形是钝角钝角三角形三角形,以上等式仍然成立以上等式仍然

3、成立.于是，对于任意的三角形，三边与三角的于是，对于任意的三角形，三边与三角的 等量关系是：等量关系是：CcBbAasinsinsinCcBbAasinsinsin 正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即对角的正弦的比相等，即定理隐含特征定理隐含特征:1 1、A+B+C=A+B+C=2 2、大角对大边，大边对大角、大角对大边，大边对大角剖析定理、加深理解4 4、一般地，把三角形的三个角、一般地，把三角形的三个角A A，B B，C C和它们的对和它们的对边边a a，b b，c c叫做叫做三角形的元素三角形的元素。已知三角形的几个。已知三角形

4、的几个元素求其他元素的过程叫元素求其他元素的过程叫解三角形解三角形sinsinsinabcABC正弦定理： AaCcCcBbBbAasinsin;sinsin;sinsin1变式变式: :剖析定理、加深理解3 3、正弦定理可以解决三角形中的问题：、正弦定理可以解决三角形中的问题： 已知已知两角和一边两角和一边，求其他角和边，求其他角和边 已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，求另一边，求另一边的对角，进而可求其他的边和角的对角，进而可求其他的边和角sinsinsinabcABC正弦定理：例 1在ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。 求 a , b (精确到

5、0.01）.解： 且 105C)(A180 BCcBbsinsin b = CBcsinsin19.32=30sin105sin10已知两角和任意边，已知两角和任意边，求其他两边和一角求其他两边和一角CcAasinsina = CAcsinsin14.14=21030sin45sin10BACbc)26(5a在ABC中，已知 A=30，B=120，b=12 求a ， c.a= ,c= 3434练习例 2 已知a=16， b= ， A=30 .求角B，C和边c已知两边和其中一边已知两边和其中一边的对角的对角,求其他边和角求其他边和角解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316si

6、nsinaAbB所以60,或120当 时60C=90.32cC=30.16sinsinACac316当120时B16300ABC163165.探究课题引入时问题的解决方法？探究课题引入时问题的解决方法？ABCbc1.1.1 正弦定理正弦定理b bs si in n A AB B = =s si in n( ( + + ) )（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：已知两角和任意边，求其他两边和一角已知两角和任意边，求其他两边和一角已知两边和其中一边的对角，求另一边已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。的对角。(注意解的情况注意解的情况)正弦定理：ABCsinsinsinabcABC

7、（1） （2） 已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其求其他边和角时他边和角时,三角形三角形什么情况下有什么情况下有一解一解,二解二解,无解无解?课后思考课后思考作作 业：业：习题习题1.1A组组P10 2.变式变式: 在ABC 中，已知a=2, b= , A=45 求角B.ABC2解：由正弦定理BbAasinsin得21245sin2sinsinaAbB所以300a b A B ,注意：三角形中大边对大角，大角对大边.22已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其他边和求其他边和角角1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30.A=90，C=60，c= 313(2) b=40，c=20，C=45.练习注：注：1.三角形中角的正弦值大于时，三角形不存在，三角形中角的正弦值大于时，三角形不存在， 2.三角形的正弦值大于三角形的正弦值大于0小于小于1时，可能有时，可能有2解。解。无解ACababsinA无解无解ACaba=bsinA一解一解ACabbsinA a b 两解两解BB1B2BACbaab一解一解aABabCABabCABabCab 一解一解4.基础练习题基础练习题00(1)45 ,2,2,10 3(2)60 ,4,3ABCAabBABCAabB在中，已知 求在中，已知求B=300无解无解CcAaAcCaAABjCCBjACjAB