2022年辽宁高考数学理科试卷

1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理科）第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.a为正实数，i为虚数单位，i2ia，则a( ) a.2 b.3c.2d.1 【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】给出复数的除法形式，求解等式得出未知数. 【难易程度】容易【参考答案】 b 【试题解析】2ii1i,1i12iiaaaaa, 233aa.故选 b 2.已知 m，n 为集合 i 的非空真子集，且m，n 不相等，若inmi e，则nm( ) a. mb.nc.id.【测量目标】集合的基本运算（交集，并集，补集

2、）. 【考查方式】给出集合并集的结果求交集的结果. 【难易程度】容易【参考答案】 a 【试题解析】inmqi e即是n是m的真子集，mnmu. 3.已知 f 是抛物线2yx的焦点， a， b 是该抛物线上的两点，=3afbf，则线段ab 的中点到 y 轴的距离为( ) a.34b.1 c.54d.74【测量目标】抛物线的简单几何性质. 【考查方式】给出抛物线上两点与焦点线段之和，利用准线求线段中点到y轴的距离 . 【难易程度】容易【参考答案】 c 【试题解析】f 是抛物线2yx的焦点精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 15 页

3、 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - -f（1,04）准线方程14x(步骤 1) 设 a11(,)xy,b22(,)xy|af|+|bf|=121144xx=3 解得1252xx（步骤 2）线段 ab 的中点横坐标为54线段 ab 的中点到y轴的距离为54.（步骤 3）4.abc 的三个内角a，b，c 所对的边分别为a，b，c，asinasinb+bcos2a=a2，则ab( ) a2 3b2 2c3d2【测量目标】正弦定理，余弦定理. 【考查方式】给

4、出三角形角与边满足的关系式，求两边的比值. 【难易程度】容易【参考答案】 d 【试题解析】2sin sincosaabba=2a由正弦定理可知22sinsinsincosabba=2 sin a（步骤 1）22sinsincossinbaab（）=2 sin asin2sinbbaa.（步骤 2）5.从 1，2，3，4，5 中任取 2 各不同的数，事件a=“ 取到的 2 个数之和为偶数 ” ，事件 b=“ 取到的 2 个数均为偶数” ，则 p（ba）= ( ) a.18b.14c.25d.12【测量目标】随机事件与概率. 【考查方式】给出两事件，通过求出两事件概率去求(|)p ba. 【难易程

5、度】容易【参考答案】 b 【试题解析】事件a=“ 取到的2 个数之和为偶数” 所包含的基本事件有： （1，3） 、 （1，5） 、 （3，5） 、（2，4） ，( )p a=25.（步骤 1）事件 b=“ 取到的 2 个数均为偶数 ” 所包含的基本事件有（2，4） ，()p ab=110（步骤 2）(|)p ba=()1()4p abp a （步骤 3）6.执行右面的程序框图，如果输入的n 是 4，则输出的p是( ) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f

6、 - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - -a.8 b.5 c.3 d.2 第 6 题图【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】给出流程图，将数值带入算法求解. 【难易程度】中等【参考答案】 c 【试题解析】k=1，满足条件k4，则执行循环体，p=0+1=1 ，s=1，t=1（步骤 1）k=2，满足条件k4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2（步骤 2）k=3，满足条件k4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3（步骤 3）k=4，不满足条件k 4，则退出执行循环体，此时p=3.（步骤 4）7.设

7、sin1+=43（），则sin2( ) a.79b.19c.19d.79【测量目标】三角函数的诱导公式. 【考查方式】给出三角函数的等式，求解sin2的值 . 【难易程度】容易【参考答案】 a 【试题解析】由sin（4）=sin4cos+cos4sin=22（sin+cos）=13， （步骤 1）两边平方得：1+2sincos=29，即 2sincos=79，则 sin2=2sincos=79故选 a. （步骤 2）8.如图，四棱锥sabcd 的底面为正方形，sd底面 abcd，则下列结论中不正确的是( ) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

8、 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - -a. acsbb.abp平面 scdc.sa与平面 sbd 所成的角等于sc 与平面 sbd 所成的角d. ab 与 sc所成的角等于dc 与 sa所成的角第 8 题图【测量目标】两条直线的位置关系，线面角，线面平行的判定. 【考查方式】给出四棱锥图示，验证选项结论. 【难易程度】中等【参考答案】 d 【试题解析】sd底面 abcd，底面 abcd 为正方形，连接 bd， ac,则 bd

9、ac，根据三垂线定理，可得acsb，故 a 正确； （步骤 1）abpcd，ab平面 scd，cd平面 scd，abp平面 scd，故 b 正确； （步骤 2）sd底面 abcd，aso是sa与平面sbd所成角，cso是 sc 与平面 sbd 所成的角，而 sao cso， aso=cso，即 sa 与平面 sbd 所成的角等于sc 与平面 sbd 所成的角，故c 正确； （步骤 3）abpcd， ab 与 sc 所成的角是scd，dc 与 sa所成的角是sab，而这两个角显然不相等，故d 不正确；（步骤 4）9.设函数122,1( )1log,1xxf xx x,，则满足( )2f x ,的

10、 x 的取值范围是( ) a.1，2 b.0 ，2 c.1， + d.0，+ 【测量目标】指数函数与对数函数化简. 【考查方式】给出分段函数模型，求满足不等式未知数的取值范围. 【难易程度】中等【参考答案】 d 【试题解析】当1x,时，122x,的可变形为11,0 xx剠，01x剟 （步骤 1）当x 1时，21 log2x ,的可变形为12x，x 1，故 x 的取值范围 0，+） （步骤 2）10.若a，b，c均为单位向量，且0ga b，() ()0g,acbc，则|abc的最大值为 ( ) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共

11、 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - -a.12b.1 c.2d.2 【测量目标】向量的基本运算. 【考查方式】给出向量满足的关系式，求某向量关系的最大值. 【难易程度】中等【参考答案】 b 【试题解析】2() ()0()0ggg剟acbca bcabc又, ,a b c为单位向量，且ga b=0，()1gc ab， （步骤 1）而222222()ggabcabca bc ab=32()321g,c ab. abc的最大值为1 （步骤 2）1

12、1.函数)(xf的定义域为r，2)1(f，对任意xr，2)(xf，则42)(xxf的解集为 ( ) a. （1， 1）b （1，+）c （，1）d （，+）【测量目标】利用导数求函数的单调区间. 【考查方式】给出函数满足的等式，求不等式解集. 【难易程度】较难【参考答案】 b 【试题解析】设( )( )(24),( 1)( 1)( 24)0f xf xxff则又对任意,( )2,( )( )20 xfxfxfxr，即( )f x在r上单调递增，则( )0f x的解集为（1，+） ，即( )24f xx的解集为（1，+） 故选 b 12.已知球的直径sc=4，a，b 是该球球面上的两点，ab=3

13、，30bscasc，则棱锥 s abc的体积为( ) a33b32c3d1 【测量目标】圆的性质的应用，棱锥的体积. 【考查方式】给出球直径，及内接三棱锥的部分棱长与角度，求三棱锥的体积. 【难易程度】较难【参考答案】 c 【试题解析】设球心为点o，作 ab 中点 d，连接 sd，cd ,因为线段sc 是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得：sac=sbc=90o, 所以在 rtsac 中， sc=4， asc=30o， 得： ac=2，sa=2 3（步骤 1）又在 rtsbc 中， sc=4， bsc=30o，得： bc=2，sb=23则 sa=sb，ac=bc（步骤 2）精品学习资料 可

14、选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - -因为点 d 是 ab 的中点所以在等腰三角形asb中， sdab 且 sd=2233 51242saad, 在等腰三角形cab 中， cdab 且cd=22313442acad（步骤 3）又 sd 交 cd 于点 d ，所以 ab平面 scd ,即棱锥 sabc 的体积： v=13scdab sg.（步骤 4）因 为s

15、d=3 52， cd=132， sc=4, 由 余 弦 定 理 得 ： cossdc=2221()2sdcdscsd cdg-=4513(16)44113 51365222则 sinsdc=81cos65sdc（步骤 5）由三角形面积公式得scd 的面积 s=12sdgcdgsinsdc=3（步骤 6）所以棱锥sabc 的体积： v=13abgsscd=13333.（步骤 7）第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题， 每个试题考生都必须做答.第 22题第 24 题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分13.已知点（2， 3）在双曲线c：2

16、2221(0,0)xyabab上， c 的焦距为4，则它的离心率为【测量目标】双曲线简单几何性质. 【考查方式】定点在双曲线上，给出焦距，求双曲线离心率. 【难易程度】容易【参考答案】2 【试题解析】22221xyab，c的焦距为4，f1（2，0） ，f2（2，0） ，点（ 2，3）在双曲线c上， 2a=22( 22)( 3)32，a=1，e=ca=214.调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元） ，调查显示年收精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品

17、学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - -入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：321.0254. 0?xy由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1 万元，年饮食支出平均增加_万元【测量目标】线性回归方程. 【考查方式】给出线性回归方程式，x的增加一定值求y增加的值 . 【难易程度】容易【参考答案】0.254 【试题解析】对x的回归直线方程1?y=0.254（x+1） +0.321，12?yy=0.254（x+1）+0.3210.254x0.321=0

18、.254. 15一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是第 15 题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积. 【考查方式】给出三棱锥的体积，及俯视图，求三棱锥左视图的面积. 【难易程度】容易【参考答案】2 3【试题解析】 设正三棱柱的侧棱长为a， 由题意可知332 34a,所以a=2， 底面三角形的高为3，所以左视图矩形的面积为23=2316.已知函数)(xf=atan（x+） （0,|2） ，y=)(xf的部分图象如下图，则()24f第 16 题图【测量目标】( )tan()fxax的图象与性质. 精品学习资料 可选

19、择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - -【考查方式】结合正切函数图象，在给定范围内求出周期，进而得出解析式和函数值. 【难易程度】中等【参考答案】3【试题解析】由题意可知a=1，t=2，所以=2，函数的解析式为：( )tan(2)f xx因为函数过（0，1） ，所以， 1=tan，所以=4，所以( )tan(2)4f xx则f()24=tan（124）=3.

20、三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分12 分）已知等差数列 an满足 a2=0，a6+a8=10 （i）求数列 an的通项公式；（ii）求数列12nna的前 n 项和【测量目标】等差数列的通项，数列的通项公式na与前n项和ns的关系 . 【考查方式】已知递推关系求通项，再结合给出的关系式，求数列的前n 项和 . 【难易程度】容易【试题解析】 （i）设等差数列na的公差为 d，由已知条件可得110,21210,adad解得11,1.ad故数列na的通项公式为2.nan（步骤 1）（ii）设数列12nna的前n项和为ns，即211,22nnnaasal故11s（步骤

21、2）12.2242nnnsaaal所以，当1n时，1211111222211121()2422121(1)22nnnnnnnnnnnsaaaaasannll=.2nn（步骤 3）所以1.2nnns精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - -综上，数列11.22nnnnanns的前项和（步骤 4）18 （本小题满分12 分）如图，四边形abcd 为

22、正方形， pd平面 abcd，pdpqa，qa=ab=12pd（i）证明：平面pqc平面 dcq；（ii）求二面角qbpc 的余弦值第 18 题图【测量目标】面面平行的判定，二面角. 【考查方式】给出空间线线、线面的关系，利用空间直角坐标系求解. 【难易程度】中等【试题解析】如图，以d 为坐标原点，线段da 的长为单位长，射线da 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz. 第 18 题（ i）图（i）依题意有q（1， 1，0） ，c（0，0，1） ，p（0，2，0）. 则(1,1,0),(0,0,1),(1, 1,0).dqdcpquuu ruuu ruu u r所以0,0.pq dqp

23、q dcuu u r uu uruuu r uuu rgg（步骤 1）即 pqdq， pqdc. 故 pq平面 dcq . （步骤 2）又 pq平面 pqc，所以平面pqc平面 dcq. （步骤 3）（ii）依题意有b（1，0， 1） ，(1,0,0),( 1,2,1).cbbpuuu ruu u r设( , , )x y zn是平面 pbc 的法向量，则0,0,20.0,cbxxyzbpuu u rguu u rg即nn因此可取(0,1, 2).n（步骤 4）设m是平面 pbq 的法向量，则0,0.bppqu uu rgu uu rgmm精品学习资料 可选择p d f - - - - - -

24、 - - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - -可取15(1,1,1).cos,.5所以mm n故二面角 qbpc 的余弦值为15.5（步骤 5）19.（本小题满分12 分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙（i）假设 n=4，在第一大块地

25、中， 种植品种甲的小块地的数目记为x，求 x 的分布列和数学期望；（ii）试验时每大块地分成8 小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：品种甲403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据nxxx,21的的样本方差)()()(1222212xxxxxxnsn，其中x为样本平均数【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征. 【考查方式】给出种植方式

26、求分布列与数学期望，再根据样本方差与样本平均数判断应选品种. 【难易程度】中等【试题解析】 （i）x 可能的取值为0，1，2，3，4，且481344482244483144484811(0),c70c c8(1),c35c c18(2),c35c c8(3),c3511(4).c70p xp xp xp xp x即 x 的分布列为x0 1 23 4 p 1708351835835170（步骤 1）x 的数学期望为精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f -

27、 - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - -181881()012342.7035353570e x（步骤 2）（ii）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(403397390404388400412406)400,81(3( 3)( 10)4( 12)0126 )57.25.8xs甲甲（步骤 3）品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7( 9)06( 4)11( 12)1 )56.8xs乙乙（步

28、骤 4）由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 20.（本小题满分12 分）如图，已知椭圆c1的中心在原点o，长轴左、右端点m，n 在 x 轴上，椭圆c2的短轴为mn，且 c1，c2的离心率都为e，直线 l mn，l 与 c1交于两点，与c2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为a，b，c，d（i）设12e，求bc与ad的比值；（ii）当e变化时，是否存在直线l，使得 bopan，并说明理由第 20 题图【测量目标】椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系. 【考查方式】给出离心率求线段比值，判断在离心率变化时，是否存在

29、直线使已知两直线平行. 【难易程度】较难【试题解析】 （i）因为 c1，c2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)xyb yxccababaa(步骤 1) 设直线:(|)lxtta，分别与1c，2c的方程联立，求得2222( ,), ( ,).aba tatb tatba(步骤 2) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - -

30、- - - -当13,22abebayy时分别用表示,a b的纵坐标，可知222|3|:|.2|4baybbcadya(步骤 3) （ii）t=0 时的 l 不符合题意 .0t时， bo/an 当且仅当 bo 的斜率bok与 an 的斜率ank相等，即2222,baatatabtta解得222221.abetaabe(步骤 4) 因为2212| |,01,11,1.2etaeee又所以解得(步骤 5) 所以当202e,时，不存在直线l，使得 bopan；当212e时，存在直线l 使得 bopan. (步骤 6) 21.（本小题满分12 分）已知函数xaaxxxf)2(ln)(2（i）讨论)(x

31、f的单调性；（ii）设0a，证明：当ax10时，)1()1(xafxaf；（iii ）若函数)(xfy的图象与x 轴交于 a，b 两点，线段 ab 中点的横坐标为x0，证明：f（x0）0【测量目标】利用导数判断函数的单调性，利用导数解决不等式问题. 【考查方式】给出含参的函数式，利用导数判断函数的单调性，通过限定参数范围，证明不等式. 【难易程度】较难【试题解析】 （i）( )f x的定义域为(0,),1(21)(1)( )2(2).xaxfxaxaxx（i）若0,a ,则( )0,fx所以( )fx在(0,)单调增加 . （ii）若0,a则由( )0fx得1,xa且当1(0,)xa时,( )

32、0,fx当1xa时,( )0.fx(步骤 1) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - -所以1( )(0, )f xa在单调增加，在1(,)a单调减少 . (步骤 2) （ii）设函数11( )()(),g xfxfxaa则3222( )ln(1)ln(1)2,2( )2.111g xaxaxaxaaa xg xaaxaxa x(步骤 3

33、) 当10 xa时,( )0,g x而(0)0,( )0gg x. 故当10 xa时，11()().fxfxaa(步骤 4) （iii ）由（ i）可得，当0a,时,函数( )yf x的图象与x轴至多有一个交点，故0a，从而( )f x的最大值为11(),()0.ffaa且(步骤 5) 不妨设1212(,0),(,0),0,a xb xxx则1210.xxa由（ ii）得1112211()()()()0.fxfxf xf xaaa又( )f xq在1(,)a单调递减，从而212,xxa于是1201.2xxxa(步骤 6) 由（ i）知，0()0.fx(步骤 7) 请考生在第22、23、24 三

34、题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答是用2b 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑22.（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲如图， a，b，c， d 四点在同一圆上，ad 的延长线与bc 的延长线交于e 点，且 ec=ed（i）证明： cd/ab；（ii）延长 cd 到 f，延长 dc 到 g，使得 ef=eg，证明： a，b，g，f 四点共圆第 22 题图【测量目标】直线与圆的位置关系. 【考查方式】根据圆的性质和直线的位置关系证明出线段的平行，结合圆和三角形中的角度关系证明圆上各点对应关系. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - -

35、 - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - -【难易程度】容易【试题解析】 （i）因为 ec=ed，所以 edc=ecd. （步骤 1）因为,a b c d四点在同一圆上，所以edc=eba. 故 ecd=eba，所以 cd/ab. （步骤 2）（ii）由（ i）知， ae=be，因为 ef=eg，故 efd =egc从而 fed=gec. （步骤 3）连结 af， bg，则 efaegb，故 fae= gbe， （步骤 4）又 cdpab， edc = ecd，所以 fab=gba. （步骤 5）所以 afg gba=180o. 故,a b g f四点共圆 .（步骤 6）23.（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线c1的参数方程为sincosyx（为参数），曲线 c2的参数方程为sincosbyax（0ba，为参数），在以o 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l： =与