《圆锥曲线中的定点与定值问题)教学设计

1、精品教学教案课题名称：圆锥曲线中的定点与定值问题教学内容分析圆锥曲线在高考中占有重要的位置，也是高考命题的热点之一 .由于圆锥曲线内容的丰富性， 与其他章节知识交叉的综合性， 决定了圆锥曲线在高考中地位的特殊性 . 定点、定值问题与运动变化密切相关，这类问题常与函数，不等式，向量等其他章节知识综合， 是学习圆锥曲线的一个难点， 这就要求我们在圆锥曲线的复习中，要重视基础知识和方法的学习， 理解和掌握圆锥曲线中的基本知识与方法，帮助学生自我构架圆锥曲线思维导图，实现对圆锥曲线的整体把握.学情分析在学习本节课以前，学生对圆锥曲线中的基础知识和基本方法有了一定的理解和掌握，学生具备一定的探究问题、

2、分析问题和解决问题的能力， 但对圆锥曲线中的定点和定值等综合问题的解决缺乏一个明确的“主线” ，正确解答这类问题既要有较强的分析问题能力、 几何直观能力还要有较强的运算能力， 是对学生数学能力的综合体现， 但这几方面学生都比较欠缺， 这也是本节课需要对学生数学素养进行培育的重要着眼点 .教学目标（ 1）掌握圆锥曲线中定点与定值问题的分析方法和解题策略；（ 2）通过师生互动探究的过程，理解和掌握圆锥曲线中的基本知识与方法在处理定点和定值综合问题中的应用， 帮助学生自我构架圆锥曲线思维导图， 实现对圆锥曲线章节的整体把握；（ 3）通过合作学习，让学生在团队协作中，自我探究，进一步让学生学会思考问题

3、的方法，培养学生计算能力，严谨的推理能力和多角度思考问题的数学素养。教学重点掌握圆锥曲线中定点与定值问题的分析方法；参变量的选取原则教学难点对圆锥曲线基本知识与方法的综合运用；分析问题的能力和运算能力的突破教学方法启发式、讨论探究式 .教学过程设计教学环节（一）课题引入（二）范例讲解精品教学教案师生活动设计意图通 过提问学生：前面我们主要学习了圆锥曲线的哪些内提问，让容？学 生 总结 归 纳这节课我们来利用这些知识和方法一起研究圆锥曲线之 前 学中的一些综合问题 .习 的 圆锥 曲 线的 基 础知 识 和基 本 方法，为接下 来 的定 点 和定 值 问题 的 探究 作 铺垫.例 1：已知椭圆

4、x2y21，过点 F (1,0) 的直线与椭圆交于立足 于 学43A, B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 A ，求证：直线 A B 横生 现 有过一定点 .认 知 水平，通过教师活动： 让学生思考，小组讨论解决这一问题的策略 .此 中 等分析：直线 A B 是变化的，本质是由于过点 F (1,0) 的直线的难 度 的例题，与变化引起的，所以可以设过点 F (1,0) 的直线的斜率为参变学 生 一量，将直线 A B 的方程用斜率加以表示， 由于定点是与参变起 探 究精品教学教案量的变化是无关的，然后通过代数变形，将参变量分离出来，令参变量的系数为零，即可求出定点 .解法 1：设 l AB

5、 : x my 1 (m0) ， A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，则 A (x1,y1 ) ，联立 3x24 y212 ，得xmy 1(3m24) y26my90y1y26my1 y293m2,3m244直线 l A B : y y2y2y1 (x x2 ) ，x2x1又x2x1m( y2y1 ) ，代入上式，得( y1 y2 )xm( y1y2 ) y 2my1 y2 ( y1y2 )0 ，不妨设 y1y2 ，上式化为x 2 m21y 40y0x4因为定点与 m 的变化无关，所以4 0，即0xy直线 A B 恒过点 (4,0) ，经检验，当直线A B 的斜率为 0 时，

6、结论也成立综上，直线 A B 横过定点 (4,0)进一步提问： 这个定点能否通过分析，提前确定下来呢？解法 2： l A B : y y2y2y1 ( x x2 )x2x1根据椭圆的对称性，再结合几何直观感受，猜想直线很可能过 x 轴上一定点 .在直线 A B 方程中，令 y0 ，得分 析 解决 圆 锥曲 线 中的 定 点问 题 的主线，并对 解 决策 略 和通 性 通法 加 以梳理，体会 特 殊到 一 般思 想 的运用，培养 学 生的 逻 辑推 理 和数 学 运算 核 心素养 .与 学 生一 起 板书 解 决例 1，学生 能 够对例 1的分 析 和解 决 有精品教学教案x x2y2 (x2x

7、1 )(my21)y1y2 (my1 1)y2y1y2y1= 2my1 y2( y1y2 )y1y2将 y1 y26m, y1 y29代入上式，3m23m244化简得 x4所以，直线 A B 横过定点 (4,0)深入分析解题过程，与学生一起归纳定点问题的解决策略：（1）找到变化的根源，探究这一变化是由哪些量的变化引起的；进而引进参变量，根据题意建立这些参变量与已知量之间的关系；要使参变量的变化对建立的关系没有影响，其系数或整个代数结构就应满足一定的条件，而恰恰是这些条件决定了我们要探究的定点，这是解决定点问题的基本思路。（2）特殊到一般的思想可以先通过特殊情况找到这个定点，明确解决问题的目标，

8、然后就一般的情形进行推理计算证明.例2：设点 A, F 分别是双曲线 9x23y 21的左顶点和右焦点, 点 P 是双曲线右支上的动点 . 问：是否存在常数, 使得PFAPAF 对于任意 的动点 P 恒成立？证明你的结论.教师活动：引导学生类比例1 的解题策略进行分析，PFA, PAF 大小的变化是由于动点P 在双曲线右支上移动导致的，若存在满足条件的常数，则其值与动点 P 的变化无关，所以可以设点P 的坐标为参变量；进一步引导学生通过观察图形，可以把探究PFA,PAF 的倍数关系，转化为探究直线 PF 与直线 PA 斜率间的关系；清 楚 的梳理 .通 过 对例1的探究，再分析 此 例可知，定

9、值 问 题本 质 上与例 1中的 定 点问 题 是类似的，即 这 两个 问 题都 是 寻求 运 动变 化 过程 中 的不变性，而 这 些不 变 性常 常 反映 了 数学 对 象精品教学教案12解：由题意知： A(,0), F ( ,0) ,33（1）当直线 PF 与 x 轴垂直时，易知 PF1 AF ，所以PFA2PAF2（2）以下证明当直线 PF 与 x 轴不垂直时，PFA 2 PAF即可，设 P(x0 , y0 ) ，PFA,PAF，直线 PA 的斜率 k1tany03 y0；x013x013直线 PF 的斜率 k2tan()y03y0，23x02x03tan3y03x026y0而 tan

10、22k13x016 y0 (3x01)1 k123y0 )2(3 x01)29 y021 (3x01又 9 x023y021得 3 y029x021代入上式，得tan26 y03y0tan(3x01)3(3x01)3x02(0,)(,2(0,)(,),2234432综上，存在常数2, 使得PFAPAF 对于任意的动点 P恒成立.回顾分析解题过程，归纳定值问题的解决策略：与解决定点问题类似， 首先寻找变化的根源， 引入合适的参变量，建立参变量与其他已知量的关系；其次，把几何定值用引入的参变量表示； 最后，利用代数恒等变形进行的 本 质属性，通过 类 比思想，探究 定 值问 题 的解 决 策略.学

11、生的 难 点在 于 把代 数 恒等 式 进行 变 形化 简 或消参精品教学教案化简或消参变量， 求得定值。可根据特殊情形， 先确定定值，这对一般情形的推理指明了解决方向 .教师补充总结： 定值问题的含义比较丰富：可以是一些几何量：线段长度， 三角形面积，向量的数量积、线段的比例系数等， 但都有有个共同特征， 即：在变化过程中表现出来的不变量。（三）1、（ 2017 上海春考 20 改编）已知双曲线2: x2 y1，过课4堂点 M (0,2) 的直线 l 与双曲线交于P, Q两点， P为P关于练y 轴的对称点， 是否存在一个定点， 使得直线 P Q 总经过此习定点？若存在，求出该定点的坐标，若不

12、存在，请说明理由。2、过抛物线 y2x 上一点 A(4，2) 作倾斜角互补的两条直线AB, AC ，它们分别交抛物线于 B, C 两点，求证：直线 BC 的斜率为定值 .通 过 前面 两 道例 题 的分 析 和策 略 总结，学生对 解 决圆 锥 曲线 中 的定 点 与定 值 问题 有 了整 体 把握，利用这 两 道题，当堂检 验 学生 的 课堂 学 习效果；并让 学 生在 亲 自的 解 题精品教学教案体 验 中感悟“解决 圆 锥曲 线 的定 点 定值 问 题关 键 在于 寻 找产 生 变化 的 本质原因”.通 过 与学 生 一起 尝 试找 出 突破 圆 锥曲 线 的定 点 定值 问 题之“难”

13、的对策，从 而 实现 对 圆锥 曲 线内 容 的“ 整 体把握” .（四）小结（五）布置作业精品教学教案结合本节课所学内容，谈谈你的收获，与学生一起总结：1、数学知识：2、思想与方法：特殊到一般、类比、化归、设参的原则1、（ 2016 格致三模 22）已知抛物线 C : y 22 px( p0) ，过点 M (a,0) ( a0) 与x 轴不垂直的直线 l 与 C 交于 A( x1 , y1) 、B(x2、 y2 ) 两点。设 A 关于 x 轴的对称点为 D ，求证：直线 BD 过定点。2、（ 2017 金山一模 19） 已知椭圆 C 以原点为中心，左焦点 F 的坐标是 (1,0) ，长轴长是

14、短轴长的2 倍，直线 l 与椭圆C 交 于点 A 与 B ， 且 A、 B 都 在 x 轴 上 方， 满足OFAOFB180（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）对于动直线 l ，是否存在一个定点，无论OFA 如何变化，直线 l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标，若不存在，请说明理由。3、（ 2017 黄浦二模 20）设椭圆yx2y2的M: a2b21(a b0)左顶点为 A 、中心为 O ，若椭圆 M 过点 P(1,1) ，x22且AP PO（1）求椭圆 M 的方程；（2）若 APQ 的顶点 Q 也在椭圆 M 上，试求 APQ 面积的最大值；（3）过点 A作两条斜率分别为 k1 ,k2

15、的直线交椭圆 M 于 D,E两点，且 k1 k21，求证：直线 DE 恒过一个定点这 六 道作 业 题分 别 选自 上 海各 区 模拟考，有很 强 的代表性，一方面，让 学 生练 习 课上 分 析问 题 的思 路 和计 算 能力，另一方面，通过 这 些题 目 的选取，让学 生 感受 圆 锥曲 线 中的 这 类问 题 在精品教学教案x2y24、（ 2017 虹口一模 20） 椭圆 C : a2b21（ ab0 ）过点 M (2,0) ，且右焦点为 F (1,0) ，过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、B 两点，设点 P(4,3) ，记 PA 、PB 的斜率分别为 k1 和k2 ；（1）求椭圆 C 的方程；（2）探讨 k1k2 是否为定值？如果是，求出该定值，如果不是，求出 k1k2 的取值范围；5、（ 2017 奉贤一模 20）过双曲线 x2y 21 的右支上的一4点 P 作一直线 l 与两渐近线交于 A 、 B 两点，其中 P 是 AB 的中点 . 求证： OA OB 是一个定值高 考 中的 重 要地位，并对 学 生的 数 据分析，直观想象，数 学 运算，逻辑推 理 的数 学 素养 的 培养 大 有裨益 .6、 （2017 青浦一模 19）如图， F1